6.11:

6.11: z-Werte und Fläche unter der Kurve

<em>z</em> Scores and Area Under the Curve

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z Scores and Area Under the Curve

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6.10: Normal Distribution

6.12: Applications of Normal Distribution

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01:17 min

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April 30, 2023

Overview

Z-Werte sind die standardisierten Werte, die nach der Umwandlung einer Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung erhalten werden. Ein z-Wert wird in Einheiten der Standardabweichung gemessen. Der z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen der Wert x über (rechts von) oder unter (links von) dem Mittelwert liegt μ. Werte von x, die größer als der Mittelwert sind, haben positive Z-Werte, und Werte von x, die kleiner als der Mittelwert sind, haben negative Z-Werte. Wenn x gleich dem Mittelwert ist, dann hat x einen z-Wert von null. Der Z-Wert ermöglicht es uns, Daten zu vergleichen, die normalverteilt, aber unterschiedlich skaliert sind.

Ein standardisierter Graph kann helfen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu bestimmen. Die Fläche unter der Dichtekurve zwischen zwei Punkten entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Variable zwischen diesen beiden Werten liegt. Die Fläche unter der Kurve ist immer 1. Man kann die Fläche für einen bestimmten z-Wert auch finden, indem man sich auf die z-Score-Tabelle bezieht, die die kumulativen Flächen unter der Standardnormalverteilung von der linken Seite der Kurve zeigt.

Dieser Text wurde übernommen von Openstax, Introductory Statistics, Section 6.1

Transcript

Eine Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung umgewandelt werden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichte als Funktion des z-Werts neu gezeichnet wird.

Diese einfache Umrechnung gibt an, wie viele Standardabweichungen jeder Wert vom Mittelwert entfernt ist, und ermöglicht so einen direkten Vergleich der Datensätze.

Darüber hinaus bietet es eine einfache Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses zu ermitteln, indem die kumulative Fläche von links bis zum Z-Score-Wert berechnet wird.

Betrachten Sie das Geburtsgewicht von Babys in einem Krankenhaus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Geburtsgewicht unter 4 kg zu haben?

Zunächst wird der entsprechende z-Wert berechnet, der 4 kg Geburtsgewicht entspricht, der 1,25 beträgt.

Mit der z-Tabelle, die die Wahrscheinlichkeitswerte liefert, kann man nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln, die mit 1,25 verbunden ist.

Suchen Sie in der linken Spalte der z-Tabelle die erste Dezimalstelle 1,2.

Suchen Sie dann die Spalte für die zweite Dezimalstelle, 0,05.

Die Zahl an der Schnittstelle, 0,8944, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass Babys ein Geburtsgewicht von weniger als 4 kg haben.

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Z-Werte Standardnormalverteilung Mittelwert Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtekurve Fläche unter der Kurve kumulative Flächen Z-Score-Tabelle Normalverteilung