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Entropia

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Physics I

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Entropy

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

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07:32 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

La seconda legge della termodinamica è una legge fondamentale della natura. Afferma che l’entropia di un sistema aumenta sempre nel tempo o rimane costante nei casi ideali in cui un sistema è in uno stato stazionario o sta subendo un “processo reversibile”. Se il sistema sta subendo un processo irreversibile, l’entropia del sistema aumenterà sempre. Ciò significa che la variazione di entropia, ΔS, è sempre maggiore o uguale a zero. L’entropia di un sistema è una misura del numero di configurazioni microscopiche che il sistema può raggiungere. Ad esempio, il gas in un contenitore con volume, pressione e temperatura noti può avere un numero enorme di possibili configurazioni delle singole molecole di gas. Se il contenitore viene aperto, le molecole di gas fuoriescono e il numero di configurazioni aumenta drammaticamente, essenzialmente avvicinandosi all’infinito. Quando il contenitore viene aperto, si dice che l’entropia aumenti. Pertanto, l’entropia può essere considerata una misura del “disordine” di un sistema.

Principles

L’entropia è una “proprietà di stato”, che è una quantità che dipende solo dallo stato corrente del sistema. Le quantità che sono proprietà di stato non dipendono dal percorso con cui il sistema è arrivato al suo stato attuale. Pertanto, il modo più utile per quantificare una proprietà statale è misurare il suo cambiamento.

La variazione dell’entropia S è definita come:

ΔS = Q / T, (Equazione 1)

dove Q è il calore fornito al sistema e T è la temperatura del sistema. Nel contesto della termodinamica, il calore, come il lavoro, è definito come un trasferimento di energia. Il calore è energia trasferita da un oggetto all’altro a causa di una differenza di temperatura. Considera un bagno di ghiaccio e acqua a 0 °C. Se si fornisce calore al bagno di ghiaccio / acqua, parte del ghiaccio si scioglierà e il numero di stati disponibili per le molecole d’acqua aumenterà di una grande quantità, proporzionale alla quantità di calore che è stata aggiunta al sistema. L’entropia aumenterà quindi proporzionalmente a questa quantità. La relazione tra due oggetti a temperature diverse fu descritta per la prima volta da Newton.

La legge di Newton del raffreddamento afferma che il tasso di variazione della temperatura di qualche oggetto è proporzionale alla differenza tra la propria temperatura e la temperatura dell’ambiente circostante. Per un oggetto a temperatura T posto in un sistema chiuso alla temperatura T_f, questa variazione di temperatura in funzione del tempo t è descritta dall’equazione differenziale:

dT/dt = -k(T – T_f), (Equazione 2)

dove k è una costante che dipende dalle caratteristiche dell’oggetto e dell’ambiente circostante. L’equazione 1 è scritta in modo equivalente come:

-k dt = dT / (T – T_f). (Equazione 3)

L’integrazione di entrambi i lati dà:

–k t = log(T – T_f) + log C. (Equazione 4)

Applicando la funzione esponenziale a entrambi i lati dell’equazione e quindi riorganizzando si ottiene:

T – T_f= C e^-kt . (Equazione 5)

Se l’oggetto in questione si trova ad una temperatura iniziale T_i al tempo t = 0:

T_i– T_f = C. (Equazione 6)

Ne consegue che la temperatura in funzione del tempo è:

T(t) =T_f+ (T_i– T_f) e^-kt. (Equazione 7)

Pertanto, quando un oggetto caldo viene collocato in un sistema chiuso più freddo, la sua temperatura diminuirà a un ritmo esponenziale. In questo sistema chiuso, il calore dell’oggetto caldo Q aumenterà la temperatura dell’ambiente più fresco e quindi aumenterà il numero di stati disponibili. Quindi, il cambiamento di entropia, ΔS, è positivo e diverso da zero.

Procedure

1. Installazione.

Procuratevi un elemento riscaldante e un supporto, un termometro, un cronometro, alcuni asciugamani di carta, acqua e un grande becher.
Riempire il becher con acqua sufficiente in modo che il campione non si raffreddi troppo rapidamente(cioè almeno 500 ml).
Posizionare il becher pieno d’acqua sul supporto sotto l’elemento riscaldante e accenderlo.
Una volta che il becher d’acqua raggiunge l’ebollizione, inserire il termometro e spegnere l’elemento riscaldante.
Rimuovere con cura il becher dal supporto di riscaldamento e posizionarlo sul tavolo, sopra gli asciugamani di carta. Questi agiranno come isolamento dal tavolo.

2. Registrazione dei dati.

Avvia il cronometro e registra la temperatura e l’ora.
Per i primi 20 minuti, fai una misurazione circa ogni 1 minuto.
Per i prossimi 20 minuti, fai una misurazione circa ogni 3-5 minuti.
Registrare questi valori nella Tabella 1.
Tracciare i punti dati raccolti nella Tabella 1 in un grafico della temperatura rispetto al tempo.
Utilizzando la temperatura iniziale dell’acqua e due punti dati qualsiasi per il tempo e la temperatura, risolvere l’equazione 7 per la costante di raffreddamento k.
Usando questo valore per k, tracciate l’equazione 7 come una funzione continua di t. Confrontare la funzione con i punti dati raccolti.

L’entropia è un principio termodinamico fondamentale usato per descrivere il trasferimento di calore in un sistema.

Il termine entropia è spesso considerato una misura del “disordine” di un sistema e la seconda legge della termodinamica afferma che se il sistema sta subendo un processo irreversibile, allora l’entropia del sistema aumenterà sempre.

Pensa al gas intrappolato in un contenitore con volume, pressione e temperatura noti. Le molecole di gas possono avere un numero enorme di possibili configurazioni. Se il contenitore viene aperto, le molecole di gas fuoriescono e il numero di configurazioni aumenta drammaticamente, essenzialmente avvicinandosi all’infinito. Pertanto S, che denota entropia, è decisamente aumentato dopo l’apertura del contenitore. Quindi, ΔS, o il cambiamento di entropia, è maggiore di zero.

Allo stesso modo, l’entropia aumenta anche quando l’acqua calda viene lasciata a temperatura ambiente e lasciata raffreddare. In questo video, illustreremo come misurare il cambiamento di entropia di un sistema durante tali esperimenti di raffreddamento.

Prima di imparare a fare l’esperimento e raccogliere dati, impariamo alcune leggi ed equazioni che ci permettono di calcolare il tasso di variazione della temperatura e l’aumento dell’entropia durante gli esperimenti di raffreddamento.

La legge di raffreddamento di Newton afferma che la velocità di variazione della temperatura di un oggetto è proporzionale alla differenza tra la propria temperatura e la temperatura dell’ambiente circostante. Usando il calcolo, questa relazione può essere convertita in questa equazione, dove la t minuscola rappresenta il tempo, Ts denota la temperatura dell’ambiente circostante, T0 è la temperatura iniziale e k è una costante che dipende dalle caratteristiche dell’oggetto e dei suoi dintorni.

Usando questa equazione, si può calcolare la temperatura di un sistema di raffreddamento in qualsiasi momento se tutte le altre variabili sono note. Questa equazione mostra anche che la temperatura è una funzione esponenziale del tempo. Pertanto, quando un oggetto caldo, come un bicchiere di acqua calda, viene posto in un ambiente più fresco, la sua temperatura diminuirà a un ritmo esponenziale fino a raggiungere la temperatura dell’ambiente circostante.

Ora, vediamo come calcolare la variazione di entropia, o ΔS. Riavvolviamo a quando l’acqua era calda.

Quando si parla di entropia, dobbiamo prima definire il sistema. Qui, il sistema è il bicchiere d’acqua più l’aria nella stanza. Quindi il cambiamento di entropia del sistema, o ΔStotal è una somma del cambiamento di entropie di questi singoli componenti. Matematicamente, il cambiamento di entropia è definito come calore guadagnato o perso, indicato da Q, diviso per la temperatura.

In questo scenario, sappiamo che il calore lascia acqua, quindi ΔS per l’acqua diminuisce. Al contrario, l’aria circostante guadagna calore. Pertanto, l’aria ΔSaumenta. Dalla seconda legge della termodinamica, sappiamo che il cambiamento di entropia del sistema totale deve essere positivo.

Vediamo ora come condurre un esperimento per testare queste previsioni teoriche della legge di raffreddamento di Newton e della seconda legge della termodinamica.

Per iniziare, riempire un grande becher con tra 500 ml a una L di acqua. Posizionare il becher su una piastra calda e riscaldare l’acqua fino all’ebollizione. Una volta che l’acqua bolle, spegnere l’elemento riscaldante.

Quindi, rimuovere con cura il becher dalla piastra calda e posizionarlo sul tavolo sopra gli asciugamani di carta. Gli asciugamani di carta fungeranno da isolamento tra l’acqua e il tavolo fresco. Misurare la temperatura dell’acqua utilizzando il termometro.

Avvia il cronometro e registra la temperatura dell’acqua ogni minuto per i primi 20 minuti.

Per i successivi 20 minuti, registrare la temperatura ogni 5 minuti.

Smettere di prendere misure quando l’acqua si è avvicinata alla temperatura ambiente. Quindi, traccia i punti dati in un grafico della temperatura dell’acqua rispetto al tempo.

Ora analizziamo i dati ottenuti. La temperatura iniziale dell’acqua era di 100 gradi, a 35 minuti la temperatura è scesa a 50,6 e la temperatura circostante era di 28,5 gradi. Inserisci questi valori nella legge di raffreddamento di Newton e risolvi per la costante di raffreddamento k.

Ora usando il valore calcolato per k, traccia l’equazione come una funzione continua. Se mettiamo i nostri punti dati misurati su questo grafico, possiamo vedere che le funzioni teoriche e sperimentali seguono un percorso quasi identico.

Ora parliamo di entropia. Come sappiamo, il cambiamento totale di entropia, o delta S, è uguale al cambiamento di entropia per l’acqua più la stanza.

La variazione di entropia è uguale a Q, ovvero la quantità di calore trasferito dall’acqua calda all’aria, divisa per T, quindi la variazione di entropia può essere calcolata se Q è nota.

Q può essere calcolato utilizzando la relazione tra massa, m, calore specifico, c e la variazione di temperatura in Kelvin, delta T. Utilizzando i valori per l’acqua la quantità di calore rilasciata dall’acqua, Q può essere calcolato e utilizzato per risolvere per delta S.

Pertanto, i dati sperimentali mostrano che l’entropia del sistema totale è aumentata da quando il calore è stato trasferito dall’acqua alle molecole d’aria nella stanza. Questo convalida la seconda legge della termodinamica.

L’entropia e la seconda legge della termodinamica descrivono una vasta gamma di eventi in natura e ingegneria.

Un frigorifero è essenzialmente una pompa di calore e rimuove il calore da una posizione a una temperatura più bassa, la fonte di calore, e lo trasferisce in un’altra posizione, il dissipatore di calore, a una temperatura più elevata.

Secondo la seconda legge, il calore non può fluire spontaneamente da un luogo più freddo a uno più caldo. Pertanto, il lavoro, o l’energia, è necessario per la refrigerazione.

Un falò è un altro esempio di cambiamenti di entropia nella vita reale. Il legno massello utilizzato come combustibile brucia e si trasforma in un mucchio disordinato di cenere. Inoltre, vengono rilasciate molecole d’acqua e gas di anidride carbonica.

Gli atomi nei vapori si diffondono in una nube in espansione, con infinite disposizioni disordinate. Pertanto, il cambiamento di entropia dalla combustione del legno è sempre positivo.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE all’entropia e alla seconda legge della termodinamica. Ora dovresti capire il concetto di base di entropia, la legge di Newton del raffreddamento ed esempi di cambiamenti di entropia nella vita di tutti i giorni. Grazie per l’attenzione!

Results

I risultati rappresentativi per 680 ml di acqua sono riportati nella Tabella 1. La costante di raffreddamento k è stata trovata utilizzando i punti dati nella tabella e risolvendo l’equazione 7. Dopo 35 min, T(35) = 50,6. La temperatura iniziale era di 100 °C e la raccolta dei dati è cessata a 28,5 °C. Usando queste variabili si ottiene la seguente equazione per ottenere k:

50,6 = 28,5 + (100 – 28,5) e^{-k 35}. (Equazione 8)

Risolvendo per k si ottiene un valore k = 0,034. La curva con questa costante di raffreddamento è mostrata come una linea grigia tratteggiata nella Figura 1, insieme ai punti dati dell’esperimento. La forma funzionale dell’equazione 6 corrisponde molto da vicino ai risultati sperimentali.

Man mano che l’acqua si raffredda, l’entropia diminuisce, poiché il numero di stati disponibili per le molecole d’acqua diminuisce. L’entropia dell’aria ambiente nella stanza aumenta perché il becher d’acqua trasferisce calore alle molecole d’aria che lo circondano; l’entropia complessiva del sistema acqua + aria aumenta. Il numero di stati che le molecole d’aria ora più calde possono occupare è molto più alto rispetto a prima che l’acqua calda fosse introdotta nella stanza.

In forma differenziale, il calore dQ aggiunto o rimosso dall’acqua può essere calcolato utilizzando la relazione tra massa, calore specifico ce variazione di temperatura:

dQ = mc dT, (Equazione 9)

dove c è noto per essere 4,18 J/(gK) per l’acqua. Il cambiamento di entropia dell’acqua è quindi:

ΔS_acqua =

= m_acqua c_acqualn(T_finale / T_iniziale). (Equazione 10)

Usando la conversione in Kelvin come K = °C + 273,15, la variazione dell’entropia dell’acqua viene calcolata come:

Acqua ΔS = 680 g * 4,18 J/(g K) * ln[(28,5 + 273,15)/(100 + 273,15)]

= -604 J/K.

La temperatura dell’aria ambiente è costante a 20,4 °C, quindi questo è un processo isotermico. Il cambiamento di entropia dell’aria è quindi:

ΔS_aria = ,

dove Q è il calore rilasciato dall’acqua, che è dato dall’equazione 9. La variazione di entropia dell’aria viene quindi calcolata come:

ΔS_aria =

= 3337 J/K.

La variazione totale dell’entropia del sistema acqua + aria, ΔS_tot, è la somma dei singoli cambiamenti di entropia dell’acqua e dell’aria ambiente:

ΔS_tot = ΔS_acqua +ΔS_aria (Equazione 11)

= -604 J/k + 3337 J/K

= 2733 J/K.

Tabella 1. Temperature registrate durante l’esperimento.

Tempo (min s)	Temperatura dell’acqua (°C)
0 0	99.6
1 10	97.1
1 50	94.2
2 30	91.8
3 22	89
4 05	87.2
5 08	82.7
6 05	82.4
8 25	78
9 15	76.5
10 15	74.6
11 38	72.7
12 58	70.7
13 58	69.2
15 15	67.7
16 55	65.8
18 38	64
20 25	62.3
24 02	58.8
25 45	57.3
34 45	50.6
40 50	47.4
44 30	45.9
49 59	43.6
53 42	42.4
60 01	40.2
64 20	39.5
76 37	37
103 50	32.1
116 41	30.3
122 46	29.6
134 11	28.5

Figura 1. Grafico della temperatura rispetto al tempo. I punti blu indicano i dati sperimentali e la linea tratteggiata rappresenta i dati teorici basati sulla legge di raffreddamento di Newton.

Applications and Summary

Un paio di cuffie tenute in una borsa tende sempre ad annodarsi: questo è un aumento dell’entropia causato dal portare la borsa in giro. È necessario lavorare sulle cuffie per snodarle e diminuire l’entropia (questo può essere pensato come un “processo reversibile”). Il ciclo del motore termico più efficiente consentito dalle leggi fisiche è il ciclo di Carnot. La seconda legge afferma che non tutto il calore fornito a un motore termico può essere utilizzato per fare il lavoro. L’efficienza di Carnot imposta il valore limite sulla frazione di calore che può essere utilizzata. Il ciclo consiste in due processi isotermici seguiti da due processi adiabatici. Un frigorifero, che è essenzialmente solo una pompa di calore, è anche un classico esempio della seconda legge. I frigoriferi spostano il calore da una posizione a una temperatura più bassa (la “fonte”) a un’altra posizione a una temperatura più elevata (il “dissipatore di calore”) utilizzando il lavoro meccanico. Secondo la seconda legge, il calore non può fluire spontaneamente da un luogo più freddo a uno più caldo; pertanto, il lavoro (energia) è necessario per la refrigerazione.

La legge di Newton del raffreddamento è stata dimostrata da un becher pieno d’acqua a 100 °C che si raffredda a temperatura ambiente, il che ha portato ad un aumento dell’entropia del sistema acqua-aria. Misurando la temperatura dell’acqua in funzione del tempo per un periodo di 135 min, è stato possibile confermare che il raffreddamento dell’acqua era di forma esponenziale. La costante di raffreddamento del campione d’acqua è stata trovata risolvendo l’equazione di raffreddamento utilizzando i dati raccolti.

Transcript

Entropy is a fundamental thermodynamic principle used to describe heat transfer in a system.

The term Entropy is often considered a measure of the “disorder” of a system and the second law of thermodynamics states that if the system is undergoing an irreversible process, then the entropy of the system will always increase.

Think about gas trapped in a container with known volume, pressure and temperature. The gas molecules can have an enormous number of possible configurations. If the container is opened, the gas molecules escape and the number of configurations increases dramatically, essentially approaching infinity. Therefore S, which denotes entropy, definitely increased after opening the container. Thus, ΔS, or the change in entropy,is greater than zero.

Similarly, entropy also increases when hot water is left at room temperature and allowed to cool down. In this video, we will illustrate how to measure the change in entropy of a system during such cooling experiments.

Before learning how to do the experiment and gather data, let’s learn some laws and equations that allow us to calculate rate of temperature change and increase in entropy during cooling experiments.

Newton’s Law of Cooling states that the rate of temperature change of an object is proportional to the difference between its own temperature and the temperature of the surroundings. Using calculus, this relationship can be converted into this equation, where lower case t represents time, Ts denotes temperature of the surroundings, T0 is the initial temperature, and k is a constant that depends on the characteristics of the object and its surroundings.

Using this equation, one can calculate the temperature of a cooling system at any time if all the other variables are known. This equation also shows that temperature is an exponential function of time. Thus, when a hot object, like a glass of hot water, is placed in a cooler environment, its temperature will decrease at an exponential rate until it reaches the temperature of the surroundings.

Now, let’s see how to calculate the change in entropy, or ΔS. Let’s rewind to when the water was hot.

When talking about entropy, we must first define the system. Here, the system is the glass of water plus the air in the room. So the change in entropy of the system, or ΔStotal is a sum of the change in entropies of these individual components. Mathematically, the change in entropy is defined as heat gained or lost, denoted by Q, divided by the temperature.

In this scenario, we know that heat leaves water, thus ΔS for water decreases. On the contrary, the surrounding air gains heat. Therefore, ΔSair increases. From the second law of the thermodynamics, we know the change in entropy of the total system must be positive.

Now let’s see how to conduct an experiment to test these theoretical predictions of Newton’s Law of Cooling and the second law of thermodynamics.

To begin, fill a large beaker with between 500 mL to one L of water. Place the beaker on a hot plate, and heat the water to boiling. Once the water boils, turn off the heating element.

Then, carefully remove the beaker from the hot plate, and place it on the table on top of paper towels. The paper towels will act as insulation between the water and the cool table. Measure the temperature of the water using the thermometer.

Start the stopwatch, and record the temperature of the water every minute for the first 20 minutes.

For the next 20 minutes, record the temperature every 5 minutes.

Stop taking measurements when the water has come close to room temperature. Then, plot the data points in a graph of temperature of the water versus time.

Now let’s analyze the data obtained. The initial temperature of the water was 100 degrees, at 35 minutes the temperature dropped to 50.6, and the surrounding temperature was 28.5 degrees. Plug in these values into Newton’s Law of Cooling, and solve for the cooling constant k.

Now using the calculated value for k, plot the equation as a continuous function. If we lay our measured data points on this chart, we can see that the theoretical and experimental functions follow an almost identical path.

Now let’s talk about entropy. As we know, the total change in entropy, or delta S, is equal to the entropy change for the water plus the room.

The change in entropy equals Q, or the amount of heat transferred from the hot water to the air, divided by T, so the change in entropy can be calculated if Q is known.

Q can be calculated using the relationship between mass, m, specific heat, c, and the change in temperature in Kelvin, delta T. Using the values for water the amount of heat released by the water, Q can be calculated and used to solve for delta S.

Thus, the experimental data shows that the entropy of the total system has increased since heat was transferred from the water to the air molecules in the room. This validates the second law of thermodynamics.

Entropy and the Second Law of Thermodynamics describe a wide range of occurrences in nature and engineering.

A refrigerator is essentially a heat pump, and removes heat from one location at a lower temperature, the heat source, and transfers it to another location, the heat sink, at a higher temperature.

According to the second law, heat cannot spontaneously flow from a colder location to a hotter one. Thus, work, or energy, is required for refrigeration.

A campfire is another example of entropy changes in real life. The solid wood used as fuel burns and turns into a disordered pile of ash. In addition, water molecules and carbon dioxide gas are released.

The atoms in the vapors spread out in an expanding cloud, with infinite disordered arrangements. Thus, the entropy change from burning wood is always positive.

You’ve just watched JoVE’s introduction to entropy and the second law of thermodynamics. You should now understand the basic concept of entropy, Newton’s Law of Cooling, and examples of entropy changes in everyday life. Thanks for watching!

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