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Instabilità delle colonne d'acciaio

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Buckling of Steel Columns

5.5: Rockwell Hardness Test and the Effect of Treatment on Steel

5.7: Dynamics of Structures

35,938 Views

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11:14 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Roberto Leon, Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Virginia Tech, Blacksburg, VA

Nella progettazione di opere civili, è importante fornire strutture che non solo siano sicure sotto carichi imprevisti, ma forniscano anche prestazioni eccellenti sotto carichi quotidiani a un costo economico ragionevole. Quest’ultimo è spesso legato all’uso minimo di materiali, alla facilità di fabbricazione e alla rapida costruzione sul campo. Le strutture realizzate con membri in acciaio possono essere molto economiche a causa della grande resistenza del materiale e dell’ampia prefabbricazione dei loro membri e connessioni, che aiutano a massimizzare la velocità di costruzione in loco. Generalmente, lo scheletro di una struttura in acciaio sarà molto snello rispetto a uno in cemento armato. Mentre il suo comportamento in tensione è governato principalmente dalla resistenza del materiale, l’acciaio in compressione è governato da un’altra modalità di guasto comune a tutti i materiali: la deformazione. Questo comportamento è facilmente dimostrabile premendo verso il basso su un righello di legno sottile, che sotto un carico di compressione si sposterà improvvisamente lateralmente e perderà capacità di carico. Questo fenomeno si verificherà in qualsiasi membro snello di una struttura. In questo laboratorio, misureremo la capacità di instabilità di una serie di esili colonne in alluminio per illustrare questa modalità di guasto, che nel tempo ha portato a molti guasti catastrofici tra cui quello del Quebec River Bridge, che è stato eretto nel 1918.

Principles

Poiché il fenomeno della deformazione è facilmente osservabile, era ben noto fin dall’antichità, ma le intuizioni analitiche sul problema della deformazione non hanno attirato l’attenzione fino al 1700, quando le basi matematiche della fisica sono diventate un popolare argomento di studio. Leonhard Euler, un famoso matematico svizzero, fu il primo a fornire la soluzione al carico di instabilità di una colonna semplicemente sostenuta nel 1742. Eulero formulò la sua soluzione ragionando che una colonna perfettamente diritta poteva essere in equilibrio in due configurazioni: una non deformata e una deformata (posizione leggermente piegata).

Per la colonna deformata, Eulero postulò che l’equilibrio in una configurazione leggermente piegata in cui i momenti esterni, dati dal carico P che agisce ad un’eccentricità y, sono bilanciati dai momenti interni (M):

(Eq. 1)

La quantità y è lo spostamento laterale lungo la lunghezza z. La derivata prima di y è la pendenza e la derivata seconda di y è la curvatura del membro. La resistenza interna è proporzionale alla curvatura, ovvero al momento interno diviso per la rigidità di flessione (EI), in modo che:

(Eq. 2)

In questa equazione E è il modulo di elasticità e I è il momento di inerzia, una proprietà geometrica della sezione. Sostituendo (Eq. 2) in (Eq. 1) e impostandolo uguale a zero si ottiene l’equazione differenziale tradizionale di instabilità, dove y è la deformazione orizzontale, e k è una variabile di sostituzione usata per semplificare le equazioni.

(Eq. 3)

Se assumiamo che la deformazione della colonna lungo la sua lunghezza z sia data da:

(Eq. 4)

e che la colonna ha estremità bloccate e che queste estremità non si spostano lateralmente l’una rispetto all’altra, quindi la condizione al contorno a z = 0 e L, lo spostamento laterale, è zero. Così

(Eq. 5)

dove N= 1,2, …. Il valore più basso per N è 1, che è il carico di deformazione elastico (P_critico o P_cr). Per una colonna con estremità bloccate, (cioè con estremità libere di ruotare, ma non di traslarsi come le condizioni al contorno sopra indicate) P_cr è dato dal carico di deformazione di Eulero:

(Eq. 6)

È importante notare che questa equazione non contiene termini relativi alla resistenza del materiale, ma solo al suo modulo di elasticità (E), dimensioni e lunghezza. Il momento di inerzia (I) di una sezione costituita da parti rettangolari è dato dalla sommatoria intorno al centroide della sezione di due componenti: il momento di inerzia del singolo rettangolo (bd³/12) più la sua area (A) volte la sua distanza dal centroide dell’intera sezione (d):

(Eq. 7)

Eq. 7 evidenzia che il valore di I può essere aumentato in modo significativo mettendo la maggior parte del materiale il più lontano possibile dal centroide (cioè massimizzando d). Ad esempio, per un’area totale fissa di 13 in.², si potrebbe optare per due distribuzioni: (a) un singolo rettangolo di 13 in. x 1 in., risultante in un totale I di 183 in.⁴, o (b) una sezione a forma di W con due flange di 6,5 in. x 0,45 in. collegato con un nastro di 0,35 in. x 19,1 in., risultando in un totale I di 761 in.⁴. Chiaramente la forma a W sarà un uso molto più efficiente del materiale rispetto alla compressione, in quanto fornirà una capacità di deformazione oltre 4 volte maggiore. L’attuale forma a W AISC standard con un’area di 13 in.², un W21x44 (profondità nominale di 21 pollici e un peso di 44 libbre per piede) fornisce un I di 843 in.⁴ o oltre 4,5 volte quello della sezione rettangolare.

La relazione tra il momento di inerzia (I) e l’area (A) è definita dal raggio di rotazione (r):

(Eq. 8)

La capacità di instabilità è talvolta espressa come sollecitazione critica (F_cr)dividendo il carico critico per l’area:

(Eq. 9)

Bisogna tenere presente che ci sono alcune limitazioni inerenti alla derivazione di Eq. (6) e Eq. (9) in quanto assumono:

Comportamento puramente elastico, e quindi sono validi solo fino al limite proporzionale del materiale.
Il carico viene applicato al centroide della colonna, che è difficile da ottenere nella pratica. Pertanto, le eccentricità iniziali accidentali avranno un ruolo nel design.
La colonna è inizialmente perfettamente dritta. Poiché le forme di acciaio sono prodotte da un processo di laminazione, avranno una campanatura e una spazzata (cioè, saranno leggermente curve lungo entrambi gli assi principali). Queste imperfezioni iniziali sono piccole, dell’ordine di L/1000, ma faranno deviare il comportamento reale della colonna da quello di una colonna idealizzata.
Una forma deviata, che nel nostro caso ha assunto la forma di una funzione trigonometrica (cioè una combinazione di funzioni seno e coseno). Per questo caso, abbiamo effettivamente utilizzato la soluzione analitica corretta, ma ciò non è sempre possibile. In generale, qualsiasi funzione che si avvicini alla soluzione corretta darà una soluzione approssimativa soddisfacente, ma non esatta.
Condizioni finali idealizzate. Per risolvere il carico di instabilità, è necessario stabilire le condizioni al contorno del problema matematico e abbiamo ipotizzato che la colonna avesse estremità bloccate. Inoltre, si presumeva che le estremità della colonna non si traducessero lateralmente l’una rispetto all’altra (cioè, questo è il caso impedito dall’oscillazione, che si verifica nei fotogrammi rinforzati, al contrario del caso consentito dall’oscillazione, che si verifica nei fotogrammi non bracci). Nella vita reale, queste condizioni idealizzate possono essere solo approssimate.
L’assenza di tensioni residue, che derivano dal raffreddamento e dalla laminazione delle forme dell’acciaio durante la produzione. Queste sollecitazioni provocano una resa prima del previsto e la perdita di momento di inerzia, poiché le sezioni che cedono hanno un modulo di elasticità pari a zero. Man mano che la rigidità della colonna diminuisce, la capacità della colonna deve diminuire, poiché Eq. 1 ha EI nel numeratore.

La seconda, la terza e l’ultima limitazione sono generalmente trattate insieme come imperfezioni iniziali e le loro grandezze sono fondamentali per stabilire la tolleranza di costruzione e fabbricazione. Sono state sviluppate curve di progettazione delle colonne che affrontano questi problemi in modo soddisfacente.

Un sistema strutturale/meccanico è detto sensibile all’imperfezione se la capacità di carico del sistema imperfetto è sostanzialmente inferiore a quella del sistema perfetto. Al contrario, un sistema è detto insensibile all’imperfezione se non vi è alcuna perdita di capacità di carico a causa delle imperfezioni. Si dice che una colonna è una colonna perfetta se è diritta e il carico è concentrico. Mentre questo è impossibile nella pratica, siamo fortunati perché le colonne sono insensibili all’imperfezione e quindi non avranno alcuna improvvisa perdita di capacità di carico sotto carichi normali. D’altra parte, sfere e cilindri sono sensibili all’imperfezione e, di conseguenza, è necessario prestare molta attenzione durante la costruzione di gusci (cupole, torri di raffreddamento e serbatoi di stoccaggio) e altre strutture simili per ottenere la geometria corretta. L’effetto delle imperfezioni è quello di accelerare la velocità di deflessione laterale, poiché tendono ad aumentare i momenti di flessione nella colonna.

Le limitazioni relative alla quinta ipotesi, quella delle condizioni al contorno, possono essere trattate semplicemente con l’uso del concetto di lunghezza effettiva (kL). Il fattore di lunghezza effettivo k fornisce la proporzione della lunghezza tra i punti di inflessione (cioè punti di momento zero o curvatura zero lungo la colonna). Pertanto, Eq. (9) può essere riscritto come:

(Eq. 10)

Il denominatore (kL/r) è noto come snellezza della colonna. Un valore basso (ad esempio, kL/r 100) è sinonimo di una colonna snella, che è molto suscettibile alla deformazione.

Va notato che la sollecitazione critica (σ_cr) per la progettazione è limitata dal limite di snervamento del materiale (σ_y). Questo vincolo significa che per ogni data resistenza dell’acciaio, diciamo σ_y= F_y = 50 ksi_,ci sarà una snellezza al di sotto della quale non si verificherà la deformazione. Se equipariamo σ_cr = 50 ksi in Eq. (10), il limite di snellezza è kl/r < 75,6.

Un altro avvertimento importante è che la formulazione di cui sopra indica che la deformazione si verificherà improvvisamente quando il carico assiale raggiunge il suo valore critico (P_cr). Matematicamente, questo fatto indica che la deformazione è un problema di biforcazione. A causa di imperfezioni iniziali, eccentricità accidentali e tensioni residue tra gli altri fattori, ci sarà una transizione tra lo stress di deformazione elastica e il carico di schiacciamento. Il risultato di queste imperfezioni iniziali è che nella vita reale ci sarà una transizione graduale tra la curva di deformazione elastica e gli stati limite di rendimento.

A questo punto, è importante notare che il fenomeno dell’instabilità o della deformazione in discussione è solo uno dei tanti che possono verificarsi. Le instabilità si verificano sia a livello locale che globale. L’instabilità a livello globale si presenta quando tutti gli elementi (un elemento è definito come qualsiasi sezione rettangolare che costituisce una forma) si muovono insieme durante la deformazione. La deformazione locale si verifica quando solo uno degli elementi si muove. Esempi di instabilità globale sono:

Instabilità flessionale, che è il caso discusso sopra.
Instabilità torsionale, in cui la sezione ruota intorno al suo centroide longitudinale. Le sezioni che hanno una piccola rigidità torsionale (J) sono soggette a questo tipo di guasto.
Flessione-torsionale o laterale-torsionale, che è una combinazione dei primi due tipi di deformazione globale ed è la modalità di instabilità predominante per le travi.
Deformazione a taglio, in cui la deformazione si verifica nelle sottili reti di travi profonde a causa della formazione di un campo di tensione nella direzione diagonale.

Le sezioni possono anche allacciarsi localmente. Questo è analogo a ciascuna sezione della colonna che si piega individualmente come una piastra. La deformazione locale è regolata dal rapporto larghezza-spessore (b/t) o dal rapporto di snellezza della sezione e dal rapporto di aspetto della piastra (b/a, dove a è la lunghezza). La snellezza dipende dal fatto che entrambi i bordi della piastra siano collegati a un’altra sezione (custodia irrigidita) o che sia collegato un solo bordo (caso non offeso). La capacità di deformazione di una lastra di larghezza b e spessore t,analoga a Eq. (10) per una colonna, è data da:

(Eq. 11)

Il coefficiente di deformazione K riflette le condizioni al contorno e le proporzioni (lunghezza-larghezza) della piastra. I valori di K sono ampiamente disponibili nei manuali di progettazione strutturale.

Procedure

Ottenere diversi pezzi lunghi di una barra di alluminio da 1 pollici per 1/4 di in . (6061 o simile) e tagliarli a lunghezze di 72, 60, 48, 36, 24, 12 e 8 pollici, rispettivamente. Arrotondare entrambe le estremità delle barre fino a una circonferenza di 1/8 di in.
Misurare le dimensioni della barra (lunghezza, larghezza e spessore) con l’stanza più vicina di 0,02 pollici.
Lavorare due piccoli blocchi di acciaio (2 pollici x 2 pollici x 2 pollici) per avere una penetrazione circolare molto liscia di 1/2 pollici lungo uno dei suoi lati per fungere da supporto per l’estremità della colonna. Fornire un inserto sul lato opposto, in modo che il blocco possa essere fissato alla macchina di prova.
Inserire i blocchi e un campione di prova nella macchina di prova. Assicurarsi di allineare il campione il più attentamente possibile per eliminare le eccentricità.
Impostare la macchina di prova sul controllo della deflessione e programmarla per applicare lentamente una deformazione fino a 0,2 pollici e registrare il carico e la deformazione assiale. Il limite può essere variato con la lunghezza, ma la prova deve essere interrotta quando il carico si è stabilizzato o quando ha raggiunto una riduzione del carico non superiore al 20% rispetto alla capacità massima.
Registrare il carico massimo raggiunto e compilare la tabella dei risultati.
Ripetere i passaggi da 1.4 a 1.6 per tutte le colonne.

Il fenomeno della deformazione è di fondamentale importanza nella progettazione di strutture che siano sicure sotto carichi imprevisti e forniscano anche prestazioni eccellenti sotto carichi quotidiani a un costo ragionevole.

A causa della resistenza del materiale, lo scheletro di una struttura in acciaio è molto sottile rispetto al mattone o al cemento armato. La prefabbricazione di componenti in acciaio aumenta la velocità di costruzione in loco e rende le strutture in acciaio più economiche rispetto ad altri materiali da costruzione.

Sotto un carico, gli elementi strutturali sono soggetti a forze di tensione o compressione. Sotto tensione, il comportamento dell’acciaio è governato principalmente dalla forza del materiale. Sotto compressione, l’acciaio è soggetto a instabilità. Questo fenomeno si verifica in qualsiasi struttura snella indifferente al materiale.

La deformazione consiste in un’improvvisa deflessione laterale della colonna. Un piccolo aumento del carico applicato può portare a un crollo improvviso e catastrofico della struttura. Il crollo del Quebec River Bridge a causa della deformazione dei membri del cavo inferiore della struttura è un esempio di tale catastrofico fallimento. Questo video discuterà la modalità di guasto della deformazione e mostrerà come determinare la capacità di instabilità delle colonne sottili.

Una colonna sotto un carico di compressione assiale si allaccia, o si sposta improvvisamente lateralmente, e perde la capacità di carico. Eulero, un matematico svizzero, fu il primo a fornire la soluzione al carico di instabilità ragionando che una colonna perfettamente diritta poteva essere un equilibrio in due configurazioni: una non deformata e una deformata.

Eulero postulò che all’equilibrio in una configurazione leggermente deformata, i momenti interni M sono bilanciati dai momenti esterni dati dal carico P che agisce ad un’eccentricità y. La derivata seconda dello spostamento laterale y è la curvatura dell’elemento. Questa quantità è proporzionale alla resistenza interna o al momento interno diviso per la rigidità di flessione.

In questa equazione, E è il modulo di elasticità, e I è il momento di inerzia, una proprietà geometrica della sezione. Sostituendo la prima equazione nella seconda equazione, otteniamo l’equazione differenziale di buckling, dove k è una variabile di sostituzione.

Supponiamo che la deformazione della colonna sia data dalla seguente funzione. Supponiamo anche che la colonna abbia estremità bloccate che non si spostano lateralmente l’una rispetto all’altra. Quindi, la condizione al contorno a Z è uguale a zero e Z uguale a L è data dallo spostamento laterale y uguale a zero. Di conseguenza, kL è uguale a N pi. Qui, N è un numero intero e il suo valore più basso è quello che è il carico di deformazione elastico P critico. Per una colonna con estremità bloccate, P critico è dato dal carico di instabilità di Eulero.

Il carico critico è il carico minimo che può causare la fibbia della colonna. Si noti che questa equazione non contiene termini relativi alla resistenza del materiale, ma solo alla sua rigidità e dimensioni. Al fine di aumentare il valore del carico critico per una colonna, possiamo massimizzare il momento di inerzia.

Consideriamo una sezione a forma di W. Il suo momento di inerzia rispetto al centroide della sezione è dato dalla sommatoria del momento di inerzia per ogni rettangolo. Per ogni rettangolo, il momento totale ha due componenti. Il momento di inerzia del singolo rettangolo, più la sua area, volte la sua distanza dal centroide dell’intera sezione. Di conseguenza, il valore di I può essere aumentato in modo significativo mettendo la maggior parte del materiale il più lontano possibile dal centroide.

La relazione tra il momento di inerzia I e l’area A è definita dal raggio di rotazione r. La capacità di deformazione è talvolta espressa come una sollecitazione critica, Fcr, dividendo il carico critico per l’area. Tieni presente che ci sono alcune limitazioni inerenti alla derivazione della capacità di deformazione con la teoria di Eulero, poiché assumiamo: comportamento puramente elastico, carico applicato al centroide della colonna, la colonna è inizialmente perfettamente diritta, una forma deviata che dà una soluzione esatta, condizioni al contorno idealizzate, l’assenza di tensioni residue.

Queste limitazioni sono generalmente trattate come imperfezioni e le loro grandezze sono fondamentali per stabilire la tolleranza di costruzione. Le limitazioni relative alle condizioni al contorno possono essere trattate introducendo nell’espressione della capacità di deformazione di Eulero un fattore di lunghezza effettivo, k. Il denominatore è noto come snellezza della colonna. Un valore basso di questo fattore, ad esempio inferiore a 20, è sinonimo di una colonna tozza. Mentre un grande valore, ad esempio superiore a 100, è sinonimo di una colonna snella molto suscettibile di instabilità.

Tracciamo ora lo stress critico in funzione dell’effettiva snellezza lambda. Lo stress critico è limitato dalla resistenza allo snervamento del materiale. Ciò significa che per ogni data resistenza dell’acciaio, ci sarà un valore della snellezza al di sotto del quale non si verificherà la deformazione. La formulazione di Eulero indica che quando il carico assiale raggiunge il suo valore critico, la deformazione si verificherà improvvisamente. Tuttavia, a causa delle imperfezioni strutturali, esiste una transizione tra lo stress di deformazione elastica e il carico di schiacciamento. Di conseguenza, nella vita reale ci sarà una transizione graduale tra la curva di deformazione elastica e gli stati limite di rendimento.

Ora che hai capito la teoria della deformazione di Eulero, usiamola per analizzare la capacità di instabilità di sottili colonne di metallo.

Avere una serie di campioni di prova fabbricati da un pollice per un quarto di pollice barra di alluminio tagliata a lunghezze che vanno da otto pollici a 72 pollici. Lavorare entrambe le estremità di ciascun campione ad un raggio di 1/8 di pollice. Misurare le dimensioni, la lunghezza, la larghezza e lo spessore di ciascun campione con l’avvicinamento di 0,02 pollici.

Produrre un dispositivo di prova per i campioni da due piccoli blocchi di acciaio di circa due pollici su un lato. Lavorare una scanalatura circolare molto liscia da mezzo pollice lungo un lato per accoppiarsi con i campioni. Sui lati opposti alla scanalatura, deve essere fornito un inserto per il fissaggio alla macchina di prova universale. Prima di iniziare il test, familiarizzare con la macchina e tutte le procedure di sicurezza. Inserire i blocchi di acciaio nella macchina di prova con un campione e assicurarsi che tutto sia accuratamente allineato per eliminare le eccentricità.

Nel software di prova, impostare la macchina sul controllo della deflessione e registrare sia le deformazioni di carico che assiali. Programmare la macchina per applicare lentamente a deformazioni fino a 0,2 pollici e quindi iniziare il test. Questo limite può essere variato con la lunghezza del campione, ma la prova deve essere interrotta quando il carico si è stabilizzato o prima che scenda di oltre il 20% dalla capacità massima.

Al termine della prova, registrare il carico massimo raggiunto per questo campione. Quindi ripristinare la macchina e ripetere la procedura di prova per i campioni rimanenti. Dopo che tutti i campioni sono stati testati, sei pronto per guardare i risultati.

In primo luogo, calcolare il parametro di snellezza lambda, quindi utilizzando la formula di Eulero, calcolare lo stress di deformazione per ciascun campione. Quindi, utilizzare la resistenza del materiale per calcolare la caratteristica snellezza al di sotto della quale non si verificherà la deformazione.

Tracciate il rapporto tra la sollecitazione di deformazione e la resistenza del materiale in funzione del rapporto di snellezza. Sullo stesso grafico, traccia anche per tutti i campioni il carico di deformazione misurato normalizzato con la resistenza del materiale. Ora confronta i valori misurati con i valori calcolati.

I risultati sperimentali mostrano due regioni distinte. Quando le colonne sono relativamente lunghe, i dati seguono la curva di deformazione di Eulero. Quando le colonne iniziano ad accorciarsi, il carico critico inizia ad avvicinarsi alla forza del materiale. A questo punto, il comportamento si sposta da uno puramente elastico a uno parzialmente anelastico che si avvicina asintoticamente al carico di squash della colonna.

L’importanza della deformazione è ben riconosciuta nel settore delle costruzioni, dove la progettazione di strutture in acciaio si basa su una buona comprensione dei problemi di instabilità.

L’economia e il design richiedono che il volume di materiale sia ridotto al minimo, prevenendo al contempo instabilità di instabilità. Nelle strutture a ponte, ciò si ottiene con l’uso diffuso di membri a forma di W e aggiungendo irrigidimenti nelle travi delle piastre del ponte per ridurre le lunghezze di deformazione nelle piastre.

Un sistema strutturale è detto sensibile all’imperfezione se la sua capacità di carico è sostanzialmente inferiore a quella del sistema perfetto. Mentre le colonne sono insensibili all’imperfezione, le sfere e i cilindri sono sensibili alle imperfezioni e, di conseguenza, molta cura deve essere data durante la costruzione di conchiglie; ad esempio, cupole, torri di raffreddamento e serbatoi di stoccaggio e altre strutture simili per ottenere la geometria corretta.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE alla deformazione delle colonne d’acciaio. Ora dovresti capire come applicare la Teoria della deformazione di Eulero per determinare la capacità di deformazione di sottili membri metallici.

Grazie per l’attenzione!

Results

Traccia i risultati della tabella come sollecitazioni di deformazione rispetto alla snellezza (kL / r), insieme alla curva data da Eq. 9. Confronta i risultati con i valori previsti. I risultati sperimentali mostrano due regioni distinte. Quando le colonne sono relativamente lunghe, il carico critico è dato moltiplicando Eq. 9 per l’area della colonna. Quando le colonne iniziano ad accorciarsi, il carico critico inizia ad avvicinarsi alla forza del materiale. A questo punto il comportamento si sposta da uno puramente elastico ad uno parzialmente anelastico che si avvicina asintoticamente al carico di squash della colonna. Quando una colonna si piega elasticamente, la deformazione può diventare improvvisamente grande e innescare guasti sia nell’elemento piegato che in quelli adiacenti che si sovraccaricano man mano che l’elemento allacciato perde i suoi carichi. Pertanto, nella progettazione è importante prevenire i cedimenti di deformazione elastica negli elementi strutturali primari.

Applications and Summary

Questo esperimento ha dimostrato la validità dell’approccio di Eulero per il calcolo dei carichi di instabilità locali per colonne semplici. Sebbene il problema diventi molto più complicato se le condizioni al contorno non sono ben note, il membro non è prismatico, o se il materiale non presenta una curva tra sollecitazione e deformazione bi-lineare, la soluzione del problema segue lo stesso processo generale. In molti casi pratici, non sarà possibile risolvere esattamente le equazioni differenziali risultanti, ma ci sono molte tecniche numeriche che possono essere applicate per approssimare la soluzione a quei problemi. L’importanza della deformazione è riconosciuta nell’aforisma del settore delle costruzioni che sostiene che la progettazione di successo di strutture in acciaio si basa su una buona comprensione dei problemi di instabilità, mentre la progettazione di successo di strutture in cemento armato si basa su buoni dettagli.

L’economia nella progettazione richiede che il volume del materiale sia ridotto al minimo. Questo dettaglio è particolarmente vero per le costruzioni metalliche e le strutture a ponte, dove i costi dei materiali sono una parte significativa del costo strutturale totale. In generale, ridurre al minimo i costi si riduce a ottenere il più basso L /r. Per una L fissa, questo significa ottenere la più grande r possibile (o la più grande I per un dato A), portando all’uso diffuso di membri a forma di W. Per un rfisso , questo significa diminuire L, che comporta l’uso di membri di rinforzo. Per una forma a W, ci saranno sia un I_x che I_y, e corrispondenti (kL / r)_x e (kL / r)_y; per una progettazione ottimale, entrambi questi valori dovrebbero essere vicini l’uno all’altro, che spesso si ottiene fornendo più rinforzo nella direzione y. Un altro modo per prevenire la deformazione è aggiungere irrigidimenti, che riducono le lunghezze di deformazione nelle piastre; esempi di questi includono irrigidimenti nelle travi delle piastre del ponte e labbra di irrigidimento negli elementi strutturali a forma fredda.

Transcript

Buckling phenomenon is of critical importance in designing structures that are safe under unexpected loads and also provide excellent performance under everyday loads at a reasonable cost.

Due to the material’s strength, the skeleton of a steel structure is very slender when compared to brick or reinforced concrete. The prefabrication of steel components increases the onsite construction speed and makes steel structures more economical than other building materials.

Under a load, the structural elements are subjected to tension or compression forces. Under tension, steel behavior is governed primarily by the strength of the material. Under compression, steel is subjected to buckling. This phenomenon occurs in any slender structure indifferent of material.

Buckling consists of a sudden sideway deflection of the column. A small increase in the applied load can lead to a sudden and catastrophic collapse of the structure. The collapse of the Quebec River Bridge due to the buckling of the lower cord members of the structure is an example of such catastrophic failure. This video will discuss the buckling failure mode and show how to determine the buckling capacity of slender columns.

A column under an axial compressive load will buckle, or suddenly move sideways, and lose load carrying capacity. Euler, a Swiss mathematician, was the first to provide the solution to the buckling load by reasoning that a perfectly straight column could be an equilibrium in two configurations: an undeformed one and a deformed one.

Euler postulated that at the equilibrium in a slightly deformed configuration, the internal moments M are balanced by the external moments given by the load P acting at an eccentricity y. The second derivative of the lateral displacement y is the curvature of the member. This quantity is proportional with the internal resistance or to the internal moment divided by the bending stiffness.

In this equation, E is the modulus of elasticity, and I is the moment of inertia, a geometrical property of the section. By substituting the first equation into the second equation, we get the differential equation of buckling, where k is a substitution variable.

Let’s assume that the column deformation is given by the following function. We also assume that the column has pinned ends that do not displace laterally with respect to one another. Then, the boundary condition at Z equals zero and Z equals L is given by the lateral displacement y equals zero. As a consequence, kL equals N pi. Here, N is an integer, and its lowest value is one which is the elastic buckling load P critical. For a column with pinned ends, P critical is given by the Euler buckling load.

The critical load is the minimum load that may cause the column to buckle. Note that this equation does not contain any terms related to the strength of the material, only to its stiffness and dimensions. In order to increase the value of the critical load for a column, we can maximize the moment of inertia.

Let’s consider a W-shaped section. Its moment of inertia with respect to the centroid of the section is given by the summation of the moment of inertia for each rectangle. For each rectangle, the total moment has two components. The moment of inertia of the individual rectangle, plus its area, times its distance to the centroid of the entire section. In consequence, the value of I can be increased significantly by putting most of the material as far away from the centroid as possible.

The relationship between the moment of inertia I and area A is defined by the radius of gyration r. The buckling capacity is sometimes expressed as a critical stress, Fcr, by dividing the critical load by the area. Keep in mind that there are some limitations inherent in the derivation of buckling capacity with Euler theory, since we assume: purely elastic behavior, load applied at the centroid of the column, the column is initially perfectly straight, a deflected shape which gives an exact solution, idealized boundary conditions, the absence of any residual stresses.

These limitations are generally treated as imperfections, and their magnitudes are key to established construction tolerance. The limitations related to the boundary conditions can be treated by introducing in the expression of Euler buckling capacity an effective length factor, k. The denominator is known as the slenderness of the column. A low value of this factor, for example less than 20, is synonymous with a stocky column. While a large value, for example higher than 100, is synonymous with a slender column very susceptible to buckling.

Let’s plot now the critical stress as a function of the effective slenderness lambda. The critical stress is capped by the yield strength of the material. Meaning that for any given steel strength, there will be a value of the slenderness below which buckling will not occur. Euler formulation indicates that as the axial load reaches its critical value, buckling will occur suddenly. However, because of structural imperfections, there is a transition between the elastic buckling stress and the squash load. As a result, in real life there will be a smooth transition between the elastic buckling curve and the yield limit states.

Now that you understand Euler Buckling Theory, let’s use this to analyze the buckling capacity of slender metal columns.

Have a set of testing specimens manufactured from one inch by a quarter inch aluminum bar cut to lengths ranging from eight inches to 72 inches. Machine both ends of each specimen to a radius of 1/8 of an inch. Measure the dimensions, length, width, and thickness, of each specimen to the nearest 0.02 inches.

Manufacture a testing fixture for the specimens from two small blocks of steel approximately two inches on a side. Machine a very smooth, half-inch circular groove along one side to mate with the specimens. On the sides opposite the groove, an insert should be provided for fixing to the universal testing machine. Before you begin testing, familiarize yourself with the machine and all safety procedures. Insert the steel blocks into the testing machine with a specimen and ensure that everything is carefully aligned to eliminate eccentricities.

In the test software, set the machine to deflection control and have both load and axial deformations recorded. Program the machine to slowly apply to deformation of up to 0.2 inches and then begin the test. This limit can be varied with specimen length, but the test should be stopped when the load has stabilized or before it drops more than 20% from the maximum capacity.

When the test is complete, record the maximum load reached for this specimen. Then reset the machine and repeat the testing procedure for the remaining specimens. After all of the specimens have been tested, you are ready to look at the results.

First, calculate the slenderness parameter lambda, and then using Euler’s formula, calculate the buckling stress for each specimen. Next, use the material strength to calculate the characteristic slenderness below which buckling will not occur.

Plot the ratio between the buckling stress and the material strength as a function of the slenderness ratio. On the same graph, also plot for all specimens the measured buckling load normalized with the material strength. Now compare the measured values with the calculated values.

The experimental results show two distinct regions. When the columns are relatively long, the data follow the Euler buckling curve. As the columns begin to get shorter, the critical load begins to approach the strength of the material. At this point, the behavior shifts from a purely elastic one to a partial inelastic one that approaches asymptotically the squash load of the column.

The importance of buckling is well-recognized in the construction industry where the design of steel structures is predicated on a good grasp of buckling issues.

Economy and design requires that the volume of material be minimized while also preventing buckling instabilities. In bridge structures, this is achieved by the widespread use of W-shaped members, and by adding stiffeners in the bridge plate girders to reduce the buckling lengths in plates.

A structural system is said to be imperfection sensitive if its load carrying capacity is substantially less than that of the perfect system. While columns are imperfection insensitive, spheres and cylinders are sensitive to imperfections and, as a result, much care must be given during construction of shells; for example, domes, cooling towers, and storage tanks, and other such structures to obtain the correct geometry.

You have just watched JoVE’s introduction to buckling of steel columns. You should now understand how to apply Euler’s Theory of Buckling to determine the buckling capacity of slender metal members.

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