Inércia Rotacional

Rotational Inertia

JoVE Science Education
Physics I

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JoVE Science Education Physics I

Rotational Inertia

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

1.13: Energy and Work

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07:48 min

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February 06, 2015

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Departamento de Física & Astronomia, Escola de Ciências Físicas, Universidade da Califórnia, Irvine, CA

Inércia é a resistência de um objeto a ser acelerado. Na cinemática linear, esse conceito está diretamente relacionado com a massa de um objeto. Quanto mais massivo um objeto, mais força é necessária para acelerar esse objeto. Isso é visto diretamente na segunda lei de Newton, que afirma que a força é igual à aceleração de massa.

Para rotação, há um conceito semelhante chamado inércia rotacional. Neste caso, a inércia rotacional é a resistência de um objeto a ser acelerado rotacionalmente. A inércia rotacional depende não apenas da massa, mas também da distância da massa do centro de rotação.

O objetivo deste experimento é medir a inércia rotacional de duas massas rotativas e determinar a dependência da massa e distância do eixo de rotação.

Principles

Um certo objeto ou sistema de objetos tem alguma inércia rotacional. A inércia rotacional sobre um certo eixo é chamada de momento de inércia. Como a distância da massa para o eixo de rotação é importante, um único objeto pode ter momentos muito diferentes de inércia dependendo do eixo sobre o qual ele gira. O momento de inércia para um objeto é definido como:

, (Equação 1)

onde eu sou o número de objetos.

Na Equação 1, r é a distância do eixo de rotação para a massa. Como pode ser visto na equação, o momento da inércia depende da massa do objeto e do quadrado da distância da massa ao eixo de rotação.

Assim como a cinemática linear tem equações de movimento, a cinemática rotacional tem equações análogas de movimento. Por exemplo, a segunda lei de Newton para o movimento linear é:

. (Equação 2)

Uma equação rotacional semelhante toma a forma:

, (Equação 3)

onde está o torque, é o momento da inércia, e é a aceleração angular. Aqui, o momento da inércia é o analógico do termo de massa na segunda lei de Newton. Da mesma forma, o momento da inércia está presente nas outras equações importantes do movimento rotacional:

, (Equação 4)

, (Equação 5)

onde está a velocidade angular do objeto.

Para este experimento, uma massa é conectada a um braço rotativo por uma corda ferida ao redor do eixo de rotação. Consulte a Figura 1 para obter uma imagem de como é a configuração experimental. Duas massas serão conectadas ao braço rotativo, o atrito será ignorado neste experimento, e o momento total da inércia será igual ao momento das massas rotativas mais o momento do braço giratório.

A massa, que cai devido à influência da gravidade, decretará um torque no braço rotativo. Da Equação 2, e . Aqui, está a força no objeto, que vem da tensão na corda, e é a distância da força para o eixo de rotação. Aqui, essa distância é a distância da borda da corda da ferida até o eixo de rotação.

A aceleração angular é definida por , onde está a aceleração linear de um ponto na corda da ferida que corresponde à aceleração do peso em queda. Juntar tudo dá. A segunda lei de Newton é usada para encontrar a tensão. A soma das forças no objeto deve ser igual à massa vezes a aceleração. Aqui, as forças sobre o peso em queda são a gravidade e a tensão, então . Assumindo uma aceleração constante, então, onde está a distância que o peso percorre e é o tempo que leva para cair essa distância. Isso vem das equações cinemáticas do movimento.

Juntar tudo resulta em uma equação para o momento da inércia em termos de quantidades mensuráveis durante o experimento:

. (Equação 7)

Se duas massas estiverem presas ao braço giratório a distâncias iguais do eixo de rotação, então o momento da inércia será:

, (Equação 8)

que é o valor teórico para este experimento.

Figura 1. Configuração experimental.

Procedure

1. Meça o momento de inércia da haste longa.

Enrole a corda presa ao peso até que o peso esteja perto do braço giratório.
Solte o peso e meça o tempo que leva para cair, assim como a distância que ele cai.
Realize a etapa 1.2 três vezes e calcule o momento médio da inércia usando a Equação 7.
Calcule o momento teórico da inércia da haste giratória usando a seguinte fórmula: , onde está a massa da haste e é o comprimento.
Compare o valor teórico com o valor medido e regisse a diferença.

2. Duas massas presas à haste.

Coloque duas massas de 100 kg a 20 cm do centro da haste.
Repita as etapas 1.2 e 1.3 com as massas anexadas.
O momento total da inércia deve ser igual ao momento de inércia das massas anexadas mais o momento de inércia da haste. Use este fato, os resultados da etapa 1 e da Equação 8 para determinar os momentos teóricos e experimentais de inércia para as massas anexadas.
Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.

3. Efeito da distância no momento da inércia.

Repita o passo 2 do laboratório, mas mova as massas anexadas para 10 cm de distância do centro de rotação. Observe quaisquer alterações na queda do peso ou na fiação da haste.
Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.

4. Efeito da massa no momento da inércia.

Repita o passo 2 do laboratório, mas mude o tamanho da massa para 200 kg.
Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.

A inércia rotacional caracteriza a relação entre torque e aceleração rotacional de um objeto.

Inércia é a resistência que um objeto tem a uma mudança em seu estado de movimento. Na cinemática linear, o conceito de inércia está diretamente relacionado com a massa de um objeto. Quanto mais massivo um objeto, mais força é necessária para acelerar esse objeto.

Na cinemática rotacional, o conceito é chamado de inércia rotacional, que é a resistência de um objeto a ser acelerado rotacionalmente. A inércia rotacional, denotada pela letra I,depende não só da massa, mas também da distância da massa do centro de rotação, ou r. E matematicamente, é dado pela fórmula que eu sou igual a m*r-quadrado.

Observe que se há mais de um objeto rotativo, então a inércia rotacional de todo o sistema é a soma das inércias rotacionais individuais – dada por esta fórmula onde o minúsculo i é para o número de objetos em rotação.

Este vídeo mostrará como medir teoricamente e experimentalmente a inércia rotacional de um braço giratório com e sem massas anexadas.

Antes de entrar nos detalhes do protocolo, vamos falar sobre a configuração experimental e as leis e equações que regem a inércia rotacional neste sistema.

A primeira configuração consiste em um eixo, que é livre para girar em torno de um eixo de rotação. Em seguida, há um peso preso a uma corda e a corda é enrolada ao redor do eixo, de tal forma que o peso está perto da haste.

Quando o peso é liberado, a tensão na corda fornece a força para a haste girar. A inércia rotacional, também conhecida como momento de inércia ou massa angular ou I desta vara pode ser calculada experimentalmente usando esta fórmula. Aqui, r é o raio do eixo, m é a massa do objeto em queda, t é o tempo que o objeto requer para cair a uma distância medida d, e g é a aceleração devido à gravidade

Teoricamente, o momento de inércia de qualquer vara cilíndrica é dado por esta fórmula, onde M é a massa da vara e L é o comprimento da haste.

No próximo experimento, vamos enrolar a corda de volta, e anexar duas massas idênticas à haste na mesma distância x do centro. Essas duas massas têm seu próprio momento de inércia, teoricamente dada pela fórmula que eu equivale a dois vezes m x-quadrado.

Agora, quando o peso for liberado, a haste girará novamente. Neste caso, a inércia experimental do sistema dado pela fórmula previamente discutida levará em conta tanto a inércia das duas massas quanto a inércia da haste. Portanto, subtrair a inércia da haste obtida no primeiro experimento a partir deste valor, produzirá a inércia rotacional experimental apenas das massas deste sistema.

Agora que você entende como calcular teoricamente e experimental as inércias rotacionais para os elementos deste sistema, vamos ver como configurar o experimento e como registrar os valores

Como discutido, o primeiro experimento mede o momento de inércia da vara giratória sozinha. Pegue a corda que está presa ao peso e enrole-a ao redor do eixo até que o peso esteja perto do braço. Largue o peso. Meça e regisse a distância que cai e o tempo que leva para cair.

Enrole a corda e solte o peso mais três vezes. Use os resultados desses ensaios para calcular o momento médio de inércia para a haste giratória, em seguida, calcule o valor teórico.

O próximo conjunto de experimentos requer colocar massas adicionais na haste. Coloque duas massas de 1 kg em lados opostos da haste, com cada 20 centímetros do centro.

Enrole a corda ao redor do eixo até que o peso esteja perto do braço. Como antes, solte o peso e meça a distância que ele cai e o tempo que leva para cair. Repita este procedimento mais três vezes.

Com esses resultados experimentais, calcule o momento total médio de inércia para a haste giratória com massas anexadas.

Para estudar o efeito da distância no momento da inércia, reposicione as massas de 1 quilograma para que estejam cada uma a 10 centímetros do centro da haste.

Realize o procedimento experimental quatro vezes e observe qualquer efeito na taxa de rotação. Calcule o novo momento médio de inércia apenas para as massas e registe o resultado.

Por fim, para analisar o efeito da massa no momento da inércia, troque as duas massas para que cada uma sejam 2 kg e reposicione-as para que estejam a 20 centímetros do centro da haste.

Realize o procedimento experimental quatro vezes e observe novamente qualquer mudança no comportamento da haste giratória. Calcule o novo momento médio de inércia apenas para as massas e registe o resultado.

Valores teóricos e experimentais para o momento da inércia da haste, e das massas anexadas sozinhos, concordam razoavelmente bem, confirmando as equações descrevendo a inércia rotacional. Limitações na precisão da medição explicam a diferença percentual entre os resultados esperados e reais.

Como o momento de inércia é proporcional à massa, o resultado para as massas de 1 quilograma posicionadas a 20 centímetros do eixo de rotação é metade do que as massas de 2 kg na mesma distância.

Momento de inércia para as massas giratórias também é proporcional ao quadrado de distância do eixo de rotação. As massas de 1 quilograma localizadas a 20 centímetros do centro têm o dobro da distância e, como esperado, quatro vezes o momento de inércia em comparação com as mesmas massas a 10 centímetros.

A inércia rotacional é um efeito importante e pode ser usada de forma vantajosa em muitas situações.

Um andarilho da corda bamba carrega um longo poste para aumentar seu momento de inércia em comparação com o uso apenas de seus braços. Devido à maior inércia rotacional, o polo permanece estável e horizontal, permitindo que o andador da corda bamba permaneça equilibrado

As rodas de um carro ou qualquer veículo concentram a maior parte de sua massa no lado externo, mantendo o centro relativamente leve. Esta configuração semelhante a aro não só é mais leve, mas também tem menos inércia rotacional do que um disco sólido.

Como resultado, menos torque é necessário para girar e parar a roda, reduzindo as demandas do motor ao acelerar, além de desacelerar.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE à inércia rotacional. Agora você deve entender que momento de inércia é e como depende da massa e distância do centro de rotação. Como sempre, obrigado por assistir!

Results

	Valor Teórico (kg m²)	Valor Experimental (kg m²)	Diferença (%)
Parte 1	0.20	0.22	10
Parte 2	0.08	0.07	14
Parte 3	0.02	0.02	0
Parte 4	0.16	0.15	6

Os resultados do experimento confirmam as previsões feitas pelas Equações 7 e 8. O momento de inércia para uma haste giratória, como dado pela fórmula na etapa 1.4, foi confirmado experimentalmente. A distância reduzida na etapa 3 resultou em um momento menor de inércia, como previsto. A maior massa na etapa 4 resultou em um momento maior de inércia, como previsto pela Equação 8.

Applications and Summary

Você já se perguntou por que um andarilho da corda bamba carrega uma vara muito longa? A razão é que o polo longo tem um momento muito grande de inércia devido ao seu comprimento. Portanto, requer uma grande quantidade de torque para fazê-lo girar. Isso ajuda o andador da corda bamba a se manter equilibrado, pois o poste permanecerá estável.

Rodas de carros e bicicletas nunca são apenas discos sólidos; em vez disso, eles têm raios que suportam a roda do eixo. Isso permite um design mais leve, que auxilia na velocidade, no entanto, a verdadeira razão para este design pode ser explicada inércia rotacional. Um disco sólido tem um momento maior de inércia do que uma forma de aro. Com seu menor momento de inércia, um aro requer menos torque para girar e, talvez mais importante, requer menos torque para parar de girar.

Quando um jogador de beisebol está no bastão contra um arremessador jogando bolas rápidas, ele pode querer acelerar seu balanço a fim de obter um hit. Ele pode conseguir isso simplesmente movendo as mãos para mais perto da extremidade pesada do morcego, que é chamado de “sufocamento”. Isso reduz a distância do centro de massa do morcego para o eixo de rotação e, portanto, facilita a rotação do bastão.

Neste experimento, o momento de inércia para uma vara e duas massas foram medidos experimentalmente e teoricamente calculados. As diferenças entre esses valores foram examinadas. Foi testado o efeito da massa no momento da inércia, bem como o efeito da distância do eixo de rotação.

Transcript

Rotational inertia characterizes the relationship between torque and an object’s rotational acceleration.

Inertia is the resistance an object has to a change in its state of motion. In linear kinematics, the concept of inertia is directly related to the mass of an object. The more massive an object, the more force is required to accelerate that object.

In rotational kinematics, the concept is termed as rotational inertia, which is the resistance of an object to being rotationally accelerated. Rotational inertia, denoted by letter I, is dependent not only on the mass but also on the distance of the mass from the center of rotation, or r. And mathematically, it is given by the formula I equals m*r-square.

Note that if there is more than one rotating object, then the rotational inertia of the whole system is the sum of the individual rotational inertias — given by this formula where lowercase i is for number of objects undergoing rotation.

This video will show how to theoretically and experimentally measure the rotational inertia of a spinning arm with and without attached masses.

Before going into the details of the protocol, let’s talk about the experimental set-up and the laws and equations that govern rotational inertia in this system.

The first set-up consists of an axle, which is free to rotate around an axis of rotation. Then there is a weight attached to a string and the string is wound around the axle, such that the weight is close to the rod.

When the weight is released, the tension in the string provides the force for the rod to spin. The rotational inertia, also known as moment of inertia or angular mass or I of this rod can be experimental calculated using this formula. Here, r is the radius of the axle, m is the mass of the falling object, t is the time the object requires to fall to a measured distance d, and g is the acceleration due to gravity

Theoretically, the moment of inertia of any cylindrical rod is given by this formula, where M is the mass of the rod and L is the length of the rod.

In the next experiment, we will wind the string back, and attach two identical masses to the rod at the same distance x from the center. These two masses have their own moment of inertia, theoretically given by the formula I equals two times m x-square.

Now when the weight is released, the rod will spin again. In this case, the experimental inertia of the system-given by the previously discussed formula- will take into account both, the inertia of the two masses and the inertia of the rod. Therefore, subtracting the rod’s inertia obtained in the first experiment from this value, will yield the experimental rotational inertia of just the masses in this system.

Now that you understand how to theoretically and experimental calculate the rotational inertias for the elements of this system, let’s see how to set-up the experiment and how to record the values

As discussed, the first experiment measures the moment of inertia of the spinning rod alone. Take the string that is attached to the weight and wind it around the axle until the weight is close to the arm. Drop the weight. Measure and record the distance it falls and the time it takes to fall.

Wind the string and drop the weight three more times. Use the results from these trials to calculate the average moment of inertia for the spinning rod, then calculate the theoretical value.

The next set of experiment requires placing additional masses on the rod. Place two 1-kilogram masses on opposite sides of the rod, with each 20 centimeters from the center.

Wind the string around the axle until the weight is close to the arm. As before, release the weight and measure the distance it falls and the time it takes to fall. Repeat this procedure three more times.

With these experimental results, calculate the average total moment of inertia for the spinning rod with attached masses.

To study the effect of distance on the moment of inertia, reposition the 1 kilogram masses so they are each 10 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and notice any effect on the spin rate. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Lastly, to analyze the effect of mass on the moment of inertia, change the two masses so they are each 2 kilograms and reposition them so they are 20 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and again notice any change in the behavior of the spinning rod. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Theoretical and experimental values for the moment of inertia of the rod, and of the attached masses alone, agree reasonably well, confirming the equations describing rotational inertia. Limitations in measurement accuracy explain the percentage difference between expected and actual results.

Because moment of inertia is proportional to mass, the result for the 1 kilogram masses positioned 20 centimeters from the axis of rotation is half that of the 2 kilogram masses at the same distance.

Moment of inertia for the spinning masses is also proportional to the square of distance from the axis of rotation. The 1 kilogram masses located 20 centimeters from the center have twice the distance and, as expected, four times the moment of inertia compared to the same masses at 10 centimeters.

Rotational inertia is an important effect and it can be used advantageously in many situations.

A tightrope walker carries a long pole to increase his moment of inertia compared to using only his arms. Because of greater rotational inertia, the pole remains steady and horizontal, allowing the tightrope walker to stay balanced

The wheels of a car or any vehicle concentrate most of their mass on the outer side while keeping the center relatively lightweight. This hoop-like configuration is not only lighter but also has less rotational inertia than a solid disk.

As a result, less torque is needed to spin and stop the wheel, reducing demands on the engine when accelerating, as well as decelerating.

You’ve just watched JoVE’s introduction to rotational inertia. You should now understand what moment of inertia is and how it depends on mass and distance from the center of rotation. As always, thanks for watching!