Overview
Fuente: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Departamento de física & Astronomía, Facultad de ciencias física, Universidad de California, Irvine, CA
Este experimento muestra la cinemática del movimiento en 1 y 2 dimensiones. Este laboratorio comenzará por estudiar movimiento en 1 dimensión, con aceleración constante, con el lanzamiento de un proyectil directamente hacia arriba y mide la altura máxima alcanzada. Este laboratorio se verificará que la altura máxima que alcanza es consistente con las ecuaciones cinemáticas derivadas por debajo.
Movimiento en 2 dimensiones se demostrará con el lanzamiento de la pelota en un ángulo θ. Utilizando las ecuaciones cinemáticas más abajo, se puede predecir la distancia a donde el proyectil aterrizará basado en la velocidad inicial, tiempo total y ángulo de trayectoria. Esto demostrará movimiento cinemática y a la aceleración en las direcciones y y x, respectivamente.
Principles
Cualquier medición de la cinemática de un objeto, de posición, desplazamiento y velocidad, debe hacerse con respecto a algún marco de referencia. X-la dirección de los ejes de coordenadas se corresponde a la dirección horizontal e y a la vertical. El origen de los ejes de coordenadas (0, 0), se define como la posición inicial de la partícula (aquí, una bola).
Movimiento en 1 dimensión
Empecemos por considerar la moción 1-dimensional de una bola en algunos momento determinado intervalo t, correspondiente a la posición y. Denotan el tiempo inicial t0, que corresponde a la posición y0. El desplazamiento de la bola, Δy, se define como:
Δy = y - y0. (Ecuación 1)
El promedio de la velocidad de la bola, v-, es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido:
v–= (y - y0) / (t - t0) = Δx /Δt. (Ecuación 2)
La velocidad instantánea, v, es la velocidad en algunos muy pequeño intervalo, definido como:
v = limΔt→→ 0 (Δx /Δt). ()Ecuación 3)
La aceleración constante, una, es el cambio de velocidad dividido por el tiempo transcurrido:
a = (v - v0) / (t - t0). (Ecuación 4)
Conjunto t0 = 0 el tiempo inicial y solucionar para v en la última ecuación para obtener la velocidad como función del tiempo:
v = v0 + at (Ecuación 5)
A continuación, calcular la posición y en función del tiempo usando la ecuación 2. y es re-etiquetado como:
y = y0 + v–t. (Ecuación 6)
Bajo aceleración constante, la velocidad aumentará a velocidad uniforme, por lo que la velocidad media será a mitad de camino entre las velocidades iniciales y finales:
v– = (v0 + v) / 2. (Ecuación 7)
Sustituyendo esto en la ecuación 6 y utilizando la definición de velocidad instantánea le da una nueva ecuación de y:
y = y0 + v0t + ½2. (Ecuación 8)
t es resuelto para sustituyendo la ecuación 7 en ecuación 6:
t = (v - v0) /a. (Ecuación 9)
Sustitución que t en la ecuación 6 y de nuevo utilizando la definición de ecuación 7 otra vez cambia la ecuación de y:
y = y0 + (v + v0) / 2 (v - v0) /a = y0 + (v2 - v02) / 2a. (Ecuación 10)
Resolviendo para v2 da:
v2 = v02 + 2a (y - y0). (Ecuación 11)
Estas son las ecuaciones útiles relacionadas con la posición, velocidad, aceleración y tiempo cuando una es constante.
Movimiento en 2 d IMENSIONES
Ahora, se considerará el movimiento en 2 dimensiones. Ecuaciones 5, 7, 8y 11 constituyen un conjunto general de las ecuaciones cinemáticas en la y -dirección. Estos pueden ampliarse a movimiento en 2 dimensiones, x e y, sustituyendo los componentes y con los componentes de x . Consideremos un proyectil lanzado con una velocidad inicial v0en un ángulo θ respecto al eje xcomo se muestra en la figura 1. De la figura, uno puede ver que el componente x -dirección de la velocidad inicial, vx, 0, v0cos (θ). Del mismo modo, en la y -dirección, v,y, 0 = v0pecado(θ).
Taceleración sólo experimenta la partícula es la gravedad en la negativa y-dirección. Por lo tanto, la velocidad en la dirección xes constante. La velocidad en la dirección yalcanza un mínimo en la cima de la parábola, a medio camino a través de la dislocación, en t /2, donde t es el tiempo total. Utilizar las ecuaciones anteriores para describir este movimiento de 2 dimensiones con ecuaciones. En este marco de coordenadas, el origen (0,0) corresponde a (x0, y0). A partir de la dirección de x
x = x0 + vx, 0 t + ½xt2 () ecuación 12)
= v0 cos (θ) t. (ecuación 13)
En la dirección y
y = y 0 + vy, 0t ½y t2 () ecuación 14)
= v 0 pecado(θ) t - g ½ t2,()ecuación 15)
Figura 1. Movimiento de proyectil en 2 dimensiones. Un proyectil es lanzado con velocidad inicial v0en un ángulo θ respecto al eje x. Los componentes de dos velocidad son vxy vy, donde V = vx + vy.
waquí g es la aceleración de la gravedad. Si uno mide el tiempo que tarda el proyectil completar su camino y se conocen el ángulo θ y la velocidad inicial v0 , el desplazamiento en el x - y ydirecciones pueden ser calculadas. Antes de comenzar este experimento, se conoce la velocidad inicial del lanzador, 6.3 m/s. Estos cálculos de desplazamiento se compararán con los resultados experimentales. Un procedimiento similar puede hacerse en 1 dimensión disparando el proyectil directamente hacia arriba, con θ = 0.
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Procedure
1. movimiento en 1 dimensión.
- Obtener una pelota, un lanzador con un émbolo, dos polos, un cubo, dos pinzas, una cuerda del amortiguador auxiliar y un palo de 2 m.
- Coloque el lanzador a un poste, con una longitud de 2 m del poste por encima de él.
- Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
- Ángulo del lanzador directamente hacia arriba tan θ = 0.
- Lanzar la pelota y usar un cronómetro para medir el tiempo total t que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima. La posición inicial es donde la bola sale del lanzador.
- Observe que la pelota alcanza una altura máxima de 2 metros y stopsinstantaneously cuando llegue a esa altura.
- Repita los pasos 1.5-1.6 cinco veces y utilizar el tiempo promedio para los cálculos.
2. movimiento en 2 dimensiones.
- Establece que el lanzador y el otro polo 4 m se aparte, a la misma altura horizontal. Coloque el cubo en el otro polo con la abrazadera y la cuerda del amortiguador auxiliar (figura 2). La altura del cubo debe ser el mismo como la altura a la bola de whichthe sale el launcher.
- Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
- El lanzador a un ángulo de 45° de ángulo tan θ = π /4.
- Use un cronómetro para medir el tiempo total t lleva la bola a la tierra en el balde.
- Tome nota de la altura aproximada que alcanza la pelota.
- Repita los pasos 2.4-2.5 cinco veces y utilizar el tiempo promedio para los cálculos.
Figura 2 . Disposición experimental.
Cinemática es la descripción del movimiento, que es a menudo una consecuencia importante de muchos fenómenos y acontecimientos físicos.
Movimiento puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional. Las ecuaciones que se aplican al movimiento de un objeto en todos estos casos usan las cantidades del vector de posición - que es el desplazamiento con respecto al origen, velocidad - que es el cambio de posición con el tiempo, y aceleración, que es cambio de velocidad con el tiempo.
Con esta información, es posible calcular las trayectorias de caída libre de los cuerpos, las trayectorias de los proyectiles y las órbitas de los planetas, para dar sólo algunos ejemplos.
Aquí, nos centraremos en cinemática ecuaciones relacionadas con la subida unidimensional y la caída de un objeto y el arco de dos dimensiones de un objeto lanzado con un ángulo
Antes de describir el movimiento, es necesario contar con un sistema de coordenadas, o un marco de referencia. Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es vertical. El origen es arbitrario pero es a menudo un objeto punto de partida.
Consideremos una pelota de baloncesto situado en el origen y lanzado hacia arriba. Posición de la bola es su distancia y dirección desde el origen y tiene unidades de metros.
Promedio de la velocidad vy es el cambio de posición Δy dividido por el cambio en tiempo Δt y tiene unidades de metros por segundo. Sin embargo, como Δt se acerca a cero, la ecuación de la velocidad media se convierte en uno de velocidad instantánea.
Prácticamente, creo que de la velocidad instantánea como la velocidad en ese instante. Así que al comienzo la velocidad instantánea v0 es la velocidad de lanzamiento, y sigue que disminuye continuamente hasta que de la velocidad instantánea es cero en el pico.
La disminución en la velocidad debido a la constante aceleración proporcionada por la gravedad de la tierra, que se opone a la bola del movimiento y es negativa en este sistema de coordenadas.
En tales condiciones de aceleración constante, la relación cinemática conduce a estas ecuaciones para la magnitud de la velocidad instantánea y la posición en una dimensión. Utilizarlos, podemos calcular movimiento de un objeto en un momento dado
Vamos a aplicar estas fórmulas para el ejemplo de baloncesto. Digamos que la velocidad de lanzamiento de baloncesto, v0, es 20 metros por segundo. Sabemos que final velocidad instantánea de la bola en el punto más alto es cero. Aquí la aceleración es negativa g, puesto que se opone al movimiento de la bola. Así, por reordenar esta ecuación de cinemática, podemos obtener t , el tiempo de subida, que viene a ser aproximadamente dos segundos. Ahora, utilizando la fórmula cinemática de posición y diciendo que la posición inicial y0 es cero, nos podemos conectar los valores de aceleración de velocidad de lanzamiento debido a la gravedad y tiempo de subida, para calcular el desplazamiento máximo, que es la altura máxima, de aproximadamente 20,4 metros. Después de alcanzar la cima, la bola cae durante dos segundos con el aumento de velocidad hasta que golpea el suelo donde se inició, el tiempo de vuelo total sea aproximadamente 4 segundos.
Para dos dimensiones, movimientos verticales y horizontales de un objeto son independientes unos de otros y pueden tratarse por separado, con el resultado neto es la suma de vectores. Usando esta idea, el arco completo de movimiento proyectil se puede descomponer en dos movimientos separados, unidimensionales.
Vamos a estudiar esto con un ejemplo: un pitcher lanza una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 20 metros por segundo en un ángulo de treinta grados de la tierra. El componente vertical inicial de la velocidad es esta velocidad veces el seno de 30 grados, o de 10 metros por segundo. La componente horizontal inicial es la velocidad veces el coseno de 30 grados, o de 17 metros por segundo.
Durante el tiempo de subida del béisbol, la velocidad vertical es ascendente con velocidad decreciente debido a la gravedad. En el pico, que es el punto medio, la velocidad vertical es cero por un instante. Durante el tiempo de caída, es hacia abajo con velocidad creciente.
Ignorando la resistencia del aire, movimiento horizontal tiene no hay aceleración y por lo tanto tiene velocidad constante.
Adición de vector de posiciones verticales y horizontales y verticales y horizontales de velocidades produce el arco de movimiento de proyectil. La suma de los tiempos de subida y la caída es el tiempo de vuelo total, que determina el rango o la distancia horizontal.
Ahora que hemos visto cómo calcular las trayectorias de objetos en movimiento, vamos a probar las ecuaciones de cinemática en una bola lanzada directamente hacia arriba y uno lanzado en un ángulo.
Estos experimentos utilizan una pelota, un lanzador con un émbolo, dos polos, un cubo, dos pinzas y un palo largo de dos metros y un cronómetro. Tenga en cuenta que la velocidad del bozal del lanzador es de 6,3 metros por segundo. Para el primer experimento, que demuestra el movimiento proyectil unidimensional, coloque el lanzador a un poste y coloque el palo de dos metros por encima de él.
Ajustar el lanzador, por lo que se señala directamente hacia arriba en un ángulo de cero grados de la vertical. Esto corresponde a un ángulo de lanzamiento de 90 grados desde la horizontal. Tenga en cuenta la posición vertical de la punta del lanzador, donde la bola se salga y designar y0. Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
Lanzar la pelota y poner en marcha un cronometro en el mismo instante. Medir el tiempo total para la bola volver a su punto de partida en posición vertical y0 y anote el resultado como tiempo de vuelo. Aviso la pelota alcanza una altura máxima de aproximadamente 2 metros y se detiene por un instante en este punto.
Repita este procedimiento cinco veces y utilizar el tiempo total promedio para los cálculos posteriores.
Este segundo experimento muestra dos dimensiones movimiento proyectil. Configurar el launcher como en el primer experimento y colocar el otro polo cuatro metros de distancia a la misma altura. El cubo al este segundo Polo con la pinza y ajuste el cubo por lo que es a la misma altura que la punta del lanzador.
Coloque el palo de 2 metros en medio de la configuración y posición por lo que hay por lo menos un metro por encima de la altura del lanzador, o y0. Ajustar el lanzador quede en un ángulo de 45 grados desde la vertical, que es un ángulo de lanzamiento de 45 grados desde la horizontal. Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
Ahora lanzar la bola y poner en marcha el cronometro en el mismo instante. Medir el tiempo total del vuelo de la bola a la tierra en el balde. Observe y registre la altura máxima que alcanza la pelota. Repita este experimento cinco veces y utilizar el tiempo total promedio para los cálculos posteriores.
Para el experimento que demuestra movimiento en una dimensión, la velocidad inicial de la pelota fuera el mecanismo de lanzamiento fue de 6,3 metros por segundo. Recuerdo, cuando una pelota se lanza hacia arriba, su velocidad es 0 en el pico. Con esta información y la fórmula cinemática para la velocidad, podemos calcular tiempo de aumento teórico de la bola que 0,64 segundos. Multiplicando esto por 2 nos da el tiempo de vuelo calculado. Luego, utilizando la fórmula para la posición, podemos calcular la altura para ser 2,02 metros.
Los resultados teóricos y medidos son comparables, dentro de error experimental, validar las ecuaciones de cinemática para el movimiento unidimensional
Para el experimento que demuestra movimiento en dos dimensiones, la bola fue lanzada con una velocidad de 6,3 metros por segundo en un ángulo de 45 grados. Para calcular su movimiento de proyectil, determine primero el x- componente de la velocidad inicial -v•cosθ- y el componente y del velocidad inicial -v•sinθ. Entonces utilice la velocidad vertical inicial y la aceleración para determinar el tiempo para alcanzar la altura máxima, que viene hacia fuera ser 0,45 segundos. Por lo tanto, el tiempo de vuelo total es doble este valor, o 0.9 segundos.
Para calcular el máximo desplazamiento vertical, utilice la velocidad vertical inicial, la aceleración debido a la gravedad y el tiempo de subida. Esto nos da el desplazamiento teórico máximo y de 1 metro. Para calcular el desplazamiento horizontal máximo, utilice la velocidad horizontal inicial y tiempo de vuelo total, que se traduce en máxima teórica x desplazamiento de 4 metros.
Otra vez, teoría concuerda bien con el experimento, validar las ecuaciones de cinemática para el movimiento de dos dimensiones.
El uso de la cinemática y la comprensión del movimiento del proyectil son importantes y a menudo invisibles, en muchas aplicaciones cotidianas.
Ingenieros del automóvil utilizan a menudo cinemática para calcular coche diferentes especificaciones.
Uno de ellos es la parada o la distancia de frenado, que es un parámetro de seguridad importante que se puede computar usando ecuaciones de cinemática unidimensional
Sin saberlo, un golfista realiza cálculos mentales usando cinemática con cada oscilación del club. Con la esperanza de un hoyo en uno, el golfista columpios, pulsa la bola y lanza con cierta velocidad y ángulo a volar sobre el curso. Ideal camino dos dimensiones de la pelota de golf obedece las ecuaciones que rigen el movimiento del proyectil.
Sólo ha visto la introducción de Zeus a cinemática y movimiento proyectil. Ahora debe saber cómo utilizar las ecuaciones cinemáticas para calcular la trayectoria de un objeto en movimiento en una o dos dimensiones. ¡Como siempre, gracias por ver!
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Results
Resultados representativos de los pasos 1 y 2 del procedimiento anterior se enumeran en la tabla 1. Esta tabla registra la altura máxima alcanza la pelota en dimensiones 1 y 2, con una velocidad inicial conocida y tiempo de vuelo total. Se compara el valor del desplazamiento vertical máximo medido experimentalmente a la calculada usando la ecuación 15, el valor que también se encuentra por debajo. La tabla también registra el desplazamiento horizontal máximo de la bola para el experimento 2-dimensional. Esto se compara con el valor calculado de ecuación 13 usando la velocidad inicial conocida y medida hora. Estos dos resultados coinciden muy bien, que valida las ecuaciones de cinemáticas.
| Tiempo de vuelo calculado (s) | Calculado y (m) | Tiempo de vuelo mide medio (s) | Medida promedio y (m) |
| 1.28 | 2.02 | 1.22 | 2.1 |
Tabla 1. Calculado y los resultados medidos en una dimensión .
| Tiempo de vuelo calculado (s) | Calculado y (m) | Calculado x (m) | Tiempo de vuelo mide medio (s) | Medida promedio y (m) | Medida promedio x (m) |
| 0,9 | 1.01 | 4.01 | 1.02 | 1.1 | 4 |
Tabla 2 . Calculado y los resultados medidos en dos dimensiones.
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Applications and Summary
Cinemática se utiliza en una amplia gama de aplicaciones. El ejército utiliza estas ecuaciones cinemáticas para determinar la mejor manera de lanzar balística. Para mayor precisión, la fricción de la resistencia del aire está incluida en las ecuaciones. Automóvil fabrica uso cinemática para calcular velocidades y distancias de frenado. Para sacar, aeroplanos deben alcanzar cierta velocidad, antes de que correr fuera de pista. Con cinemática, es posible calcular cuán rápido el piloto tendrá que acelerar cuando despegaba en un aeropuerto determinado.
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