胡克的法律和简谐运动

Physics I

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Overview

资料来源: Ketron 米切尔韦恩博士, Asantha 库雷博士,物理系 & 天文,物理科学学院,加利福尼亚大学,加利福尼亚州欧文市

势能是物理学的一个重要概念。势能是与力量,取决于对象相对于其周围环境的位置相关联。重力势能,讨论在另一段视频,是相关联的能量,是对象地面以上的高度成正比。同样,也可以定义弹簧势能,它是春天的位移从放松的状态直接成正比。拉伸或压缩弹簧有潜在的能量,因为它有能力来做工作的对象。"能够做的工作"是经常引述能源的基本定义。

这个视频将展示存储在弹簧中的势能。它还将核查弹簧,或者胡克定律的恢复力方程。不同弹性的弹簧,弹簧常数是不同的。将验证胡克定律和弹簧常数测定附着一个悬浮的弹簧在不同的权重和测量结构的位移。

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JoVE Science Education Database. 物理学精要 I. 胡克的法律和简谐运动. JoVE, Cambridge, MA, (2019).

Principles

举行春季或者其压缩或拉伸的位置需要某人或某物在弹簧上施加一个力。这支部队是春天的位移,而主峰,成正比。反过来,弹簧产生一个相同大小的力:

F = -k Δy,(方程 1

在哪里k称为"弹簧刚度常数"。这是通常称为"恢复力"因为弹簧作用力方向相反的位移,负号表示。方程 1被称为胡克定律。

简谐运动将发生时是位移成正比的平衡,正如在胡克定律的恢复力。从牛顿第二定律, F = ma,并认识到加速度是位移随时间的二阶导数,方程 1可以重写为:

m (d2y/dt2) = -k y。(方程 2

此二阶微分方程的解决方案是众所周知的:

y(t) = (ωt + φ),罪 (方程 3

其中,A 是振幅,ω = (k/m)1/2和相角φ取决于系统的初始条件。中的方程 3形式的方程描述什么叫做简谐运动。周期 T,频率f,并且不断 ω 被相关的:

Ω = 2 πf = 2 π/t (方程 4)。

因此,通过给出周期 T:

T = 2 π (m/k)1/2。(方程 5

请注意,T 不取决于振荡的振幅 A。因此,如果重量吊吊垂直的弹簧,振荡的产生时期会附加重量的平方根成正比。

拉伸弹簧所需工作距离 y 是 W = <F> y,在那里 <F> 是伸展的字符串所需的平均力。由于F是线性的y,平均是只是武力处于平衡状态 (= 0) 和y力:

<F> = ½ [0 + ky]。(方程 6

做的工作,因此弹性势能,PE,可以写成:

PE = ½ k y2。(方程 7

势能的春天将在这个实验室中测量。

Procedure

1.测量的弹簧常数和弹簧的势能和确认的关系质量和振荡周期 t。

  1. 获取与已知的弹簧常数,立场要附加到春天,至少 5 权重的不同人群,可以附加到春天,一根米尺和秒表的春天。
  2. 安全立场到了坚实的基础和附上春天的立场。确保有足够的空间,下面为它没有击中的表或地面伸展弹簧。
  3. 对于每个群众,计算由地球的引力施加在弹簧上的力 (F =毫克)。从开始的最大规模的重量。在表 1中记录这些值。
  4. 衡量如何高出地面的表的春天是在其未拉伸的位置中。
  5. 附加到春天的最巨大的重量和测量位移 Δy1 (见图 1)。在表 1中记录此位移。
  6. 附加的重量,略有提高重前释放它。观察振荡运动。测量周期 T 用秒表。更准确的测量,记录的多周期时间和划分当时所观察到的期数。做这个多次和记录测量周期 T表 1中的平均时间。
  7. 重复步骤 1.5-1.6,所有的群众,在订单的质量增加。
  8. 计算为每个不同的群众弹簧势能和记录在表 1中。
  9. 情节的力F作为位移 Δy的函数。根据方程 1,这应该是线性的。适合边坡线。该边坡将对应于弹簧常数 k.春天的已知值的测量值比较。
  10. 使用已知的弹簧常数和方程 5,计算振荡周期 T 应为每个群众;报告他们在表 1中。它们比作测量用秒表在步 1.6 T。

Figure 1
图 1: 霸气振荡,

胡克定律和简谐运动有助于了解与弹性的对象相关联的物理现象。

胡克定律暗示,以变形弹性物体,像弹弓,必须应用力,以克服该对象所施加的恢复力。此恢复力是弹性常数k的对象和位移 Δy但在相反方向的位移或施加的力的产物。

清楚地弹性对象存储能量,有可能要做的工作。工作完成后弹性物体受到振荡。如果我们绘制此振荡行为为对象的位置随时间,图表示简谐运动。

在这个视频中,我们将演示实验,那使用弹簧和权重,以验证胡克法和简谐运动背后的概念。

之前,现场演示春天的行为方式,让我们重温其振荡背后的概念。想象一下,到春天,就像重量,使它能够从其初始的非变形位置伸展,直到对方的恢复力最终平衡它和建立平衡力。

按照 Hookes 的法则,这种恢复力等于取决于弹性或材料变形,时代春天从其初始位置或 Δy位移刚度弹簧常数k

因此,知道 Δy和回顾的回复力是平等和与所施加的力,这是以牛顿的重量,可以测定的弹簧常数。此外,绘制中的 F 应用与 Δy给穿境而过的起源与边坡表示k线。

现在,春天在其平衡位置,如果你介绍一个外力和附加杠铃举到一定高度,你让春天获得一些弹性势能PE。这些潜在的能量,给出这一公式,其中k是弹簧常数和 Δy是从平衡位置的距离。

现在当你释放弹簧,它经历了称为简谐运动的周期运动。如果绘制的位置与时间关系图上,这项议案收益简谐运动的正弦波形。

用该公式表明, T k — — 弹性常数,成反比, m — — 直接成正比的大量重量附加给出T振荡周期。因此,质量越大,时间越长春会拿到完成一个工作循环的振荡。

如果这个系统是孤立-受外力,振荡将无限期地继续作为动力学和潜在的能量,PE,将不断转换到另一个。但在现实世界中总是有一些导致阻尼的摩擦力,因此春天最终将陷于停顿。

现在你有一个关于支配弹簧振荡规律的想法,让我们看看如何在物理实验室中测试它们。这项实验由已知的弹簧常数、 站、 一套的重量与不同但已知的群众,一根米尺,秒表弹簧组成。

安全到坚实的地基,如表立场。春天的重视确保有足够的空间来拉伸弹簧不联系表的顶部的立场。

用米尺,注意非变形位置的春天,还是春天的底部与桌面之间的距离。请记下此米尺上的起始位置。

现在,开始与最小质量,计算和记录其引力的重量。重视春季和措施表示平衡位置和前面提到的起始位置的弹簧底部之间的距离。记录此位移值。

接下来,提高重量略从其加载的位置并释放它观察简谐运动。使用秒表,衡量振荡周期划分为多个期间的期数所需的时间。此过程重复三次,以获得一个平均的时期。由于期间不取决于振荡的幅值,这些值应该是一致的。

对于每个额外的重量,越来越多的大众,为了重复弹簧位移和振荡周期的测量和记录所有的读数。

使用从位移测量值,绘制重力重量作为位移距离的函数。不出所料的胡克定律,依赖关系是线性的直线的斜率给出了弹簧常数。比较这测量值与已知的弹簧恒值的k = 10 N/m 显示好地吻合在预期的这种类型的测量误差范围内。

现在计算潜在的能量为每个使用已知的弹簧常数和实测的位移的重量。给出了方程,势能与位移广场情节演示线性比例。

使用已知的弹簧常数,计算每个重量的振荡期。与测量时间的比较揭示了强有力的协议和确认的预期的关系;也就是说,期间是质量的平方根成正比。

几个日常事件中,可以看到一个弹性的对象产生变形时的恢复力。

车辆悬挂系统的现代组成的避震器,帮助尽量减少影响,当驾驶在崎岖的道路。避震器作为阻尼弹簧,吸收动能在影响,然后消散它。减少弹簧常数使旅行更平滑或 mushier 而增加它更好的处理的高性能车辆的首选。

另一个应用程序的这些概念将谐波振荡器-接受简谐运动和经验连续能量交换的系统。例如,机械时钟转换存储在成机械能,驱动齿轮和移动时钟的手扭簧的势能。另一个例子就是 LC 电路,展品之间的电势能,存储在电容器C和磁势能,存储在电感L中的振荡。这种振动发生在非常具体的期间,按此公式计算得出,使 LC 电路组成部分的许多电子设备。

你刚看了胡克法和简谐运动的朱庇特的简介。现在,您应该了解的概念弹性势能,恢复力,以及这种力量在简谐运动的结果。谢谢观赏 !

Results

代表的实验,结果与弹簧常数k = 10m N,表 1所示。F与位移 Δy的情节是下面绘制在图 2中。线性函数拟合一条线,和直线斜率等于弹簧常数,在误差范围内。线性度的结果表明,胡克定律 (方程 1)。

检查表 1以查看如何振荡周期 T 附加到春天的质量有关。越重附加到春天,期限越长的质量会,因为它是大众 (方程 5) 的平方根成正比。另外,请注意,当较大的质量附加到春末,春天将进一步延伸。系统的潜在能量较大,因为它是从平衡 (方程 7) 平方位移的函数。时间较长的一大弥撒有道理 — — 因为春天流离失所进一步平衡,它需要更长的时间去旅行,更长的距离。
表 1。结果。

质量 (公斤) 重量 / F (N) Δy (m) PE (J) T 测量 (s) 计算 T (s)
0.5 4.9 0.49 2.4 1.3 1.4
0.75 7.4 0.74 5.4 1.6 1.7
1 9.8 0.98 9.6 1.9 1.9
1.5 14.7 1.5 21.6 2.5 2.4
2 19.6 2 38.4 2.9 2.8

Figure 2
图 2: 情节的作用力 (N) 与位移。

Applications and Summary

弹簧的使用是在我们的日常生活中无处不在。现代汽车的悬架是由正常阻尼的弹簧。这就需要知识的弹簧常数。凯迪拉克兜风顺畅,使用弹簧与较低的弹簧常数,和骑的是"mushier"。高性能的汽车使用弹簧与更高的弹簧常数更好的处理。跳水板也是用不同的弹簧常数,取决于"反弹"多少渴望当跳水板弹簧。岩石攀岩绳也是略有弹性,因此如果一名登山者攀爬时,绳子将不仅救她撞到地上,但它也会抑制秋天与它的弹性。越小的登山绳弹簧常数,越接近它类似于蹦极。

在此研究中,测量位移的弹簧产生的力的不同程度的应用。胡克定律的正确性通过绘制结构的位移作为函数的后悬挂弹簧施加的力。振荡运动也观察到,随着时间的平方根成正比的附加到春天的质量。

1.测量的弹簧常数和弹簧的势能和确认的关系质量和振荡周期 t。

  1. 获取与已知的弹簧常数,立场要附加到春天,至少 5 权重的不同人群,可以附加到春天,一根米尺和秒表的春天。
  2. 安全立场到了坚实的基础和附上春天的立场。确保有足够的空间,下面为它没有击中的表或地面伸展弹簧。
  3. 对于每个群众,计算由地球的引力施加在弹簧上的力 (F =毫克)。从开始的最大规模的重量。在表 1中记录这些值。
  4. 衡量如何高出地面的表的春天是在其未拉伸的位置中。
  5. 附加到春天的最巨大的重量和测量位移 Δy1 (见图 1)。在表 1中记录此位移。
  6. 附加的重量,略有提高重前释放它。观察振荡运动。测量周期 T 用秒表。更准确的测量,记录的多周期时间和划分当时所观察到的期数。做这个多次和记录测量周期 T表 1中的平均时间。
  7. 重复步骤 1.5-1.6,所有的群众,在订单的质量增加。
  8. 计算为每个不同的群众弹簧势能和记录在表 1中。
  9. 情节的力F作为位移 Δy的函数。根据方程 1,这应该是线性的。适合边坡线。该边坡将对应于弹簧常数 k.春天的已知值的测量值比较。
  10. 使用已知的弹簧常数和方程 5,计算振荡周期 T 应为每个群众;报告他们在表 1中。它们比作测量用秒表在步 1.6 T。

Figure 1
图 1: 霸气振荡,

胡克定律和简谐运动有助于了解与弹性的对象相关联的物理现象。

胡克定律暗示,以变形弹性物体,像弹弓,必须应用力,以克服该对象所施加的恢复力。此恢复力是弹性常数k的对象和位移 Δy但在相反方向的位移或施加的力的产物。

清楚地弹性对象存储能量,有可能要做的工作。工作完成后弹性物体受到振荡。如果我们绘制此振荡行为为对象的位置随时间,图表示简谐运动。

在这个视频中,我们将演示实验,那使用弹簧和权重,以验证胡克法和简谐运动背后的概念。

之前,现场演示春天的行为方式,让我们重温其振荡背后的概念。想象一下,到春天,就像重量,使它能够从其初始的非变形位置伸展,直到对方的恢复力最终平衡它和建立平衡力。

按照 Hookes 的法则,这种恢复力等于取决于弹性或材料变形,时代春天从其初始位置或 Δy位移刚度弹簧常数k

因此,知道 Δy和回顾的回复力是平等和与所施加的力,这是以牛顿的重量,可以测定的弹簧常数。此外,绘制中的 F 应用与 Δy给穿境而过的起源与边坡表示k线。

现在,春天在其平衡位置,如果你介绍一个外力和附加杠铃举到一定高度,你让春天获得一些弹性势能PE。这些潜在的能量,给出这一公式,其中k是弹簧常数和 Δy是从平衡位置的距离。

现在当你释放弹簧,它经历了称为简谐运动的周期运动。如果绘制的位置与时间关系图上,这项议案收益简谐运动的正弦波形。

用该公式表明, T k — — 弹性常数,成反比, m — — 直接成正比的大量重量附加给出T振荡周期。因此,质量越大,时间越长春会拿到完成一个工作循环的振荡。

如果这个系统是孤立-受外力,振荡将无限期地继续作为动力学和潜在的能量,PE,将不断转换到另一个。但在现实世界中总是有一些导致阻尼的摩擦力,因此春天最终将陷于停顿。

现在你有一个关于支配弹簧振荡规律的想法,让我们看看如何在物理实验室中测试它们。这项实验由已知的弹簧常数、 站、 一套的重量与不同但已知的群众,一根米尺,秒表弹簧组成。

安全到坚实的地基,如表立场。春天的重视确保有足够的空间来拉伸弹簧不联系表的顶部的立场。

用米尺,注意非变形位置的春天,还是春天的底部与桌面之间的距离。请记下此米尺上的起始位置。

现在,开始与最小质量,计算和记录其引力的重量。重视春季和措施表示平衡位置和前面提到的起始位置的弹簧底部之间的距离。记录此位移值。

接下来,提高重量略从其加载的位置并释放它观察简谐运动。使用秒表,衡量振荡周期划分为多个期间的期数所需的时间。此过程重复三次,以获得一个平均的时期。由于期间不取决于振荡的幅值,这些值应该是一致的。

对于每个额外的重量,越来越多的大众,为了重复弹簧位移和振荡周期的测量和记录所有的读数。

使用从位移测量值,绘制重力重量作为位移距离的函数。不出所料的胡克定律,依赖关系是线性的直线的斜率给出了弹簧常数。比较这测量值与已知的弹簧恒值的k = 10 N/m 显示好地吻合在预期的这种类型的测量误差范围内。

现在计算潜在的能量为每个使用已知的弹簧常数和实测的位移的重量。给出了方程,势能与位移广场情节演示线性比例。

使用已知的弹簧常数,计算每个重量的振荡期。与测量时间的比较揭示了强有力的协议和确认的预期的关系;也就是说,期间是质量的平方根成正比。

几个日常事件中,可以看到一个弹性的对象产生变形时的恢复力。

车辆悬挂系统的现代组成的避震器,帮助尽量减少影响,当驾驶在崎岖的道路。避震器作为阻尼弹簧,吸收动能在影响,然后消散它。减少弹簧常数使旅行更平滑或 mushier 而增加它更好的处理的高性能车辆的首选。

另一个应用程序的这些概念将谐波振荡器-接受简谐运动和经验连续能量交换的系统。例如,机械时钟转换存储在成机械能,驱动齿轮和移动时钟的手扭簧的势能。另一个例子就是 LC 电路,展品之间的电势能,存储在电容器C和磁势能,存储在电感L中的振荡。这种振动发生在非常具体的期间,按此公式计算得出,使 LC 电路组成部分的许多电子设备。

你刚看了胡克法和简谐运动的朱庇特的简介。现在,您应该了解的概念弹性势能,恢复力,以及这种力量在简谐运动的结果。谢谢观赏 !

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