Ley de Hooke y el movimiento armónico Simple

Physics I

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Overview

Fuente: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Departamento de física & Astronomía, Facultad de ciencias física, Universidad de California, Irvine, CA

Energía potencial es un concepto importante en la física. Energía potencial es la energía asociada con las fuerzas que dependen de la posición de un objeto en relación con su entorno. Energía potencial gravitatoria, que se discute en otro video, es la energía asociada que es directamente proporcional a la altura de un objeto sobre la tierra. Asimismo, es posible definir la energía potencial del resorte, que es directamente proporcional al desplazamiento de un resorte de su estado de relajación. Un resorte estirado o comprimido tiene energía potencial, ya que tiene la capacidad de trabajar sobre un objeto. La capacidad de"trabajar" es a menudo citada como la definición fundamental de la energía.

Este video demuestra la energía potencial almacenada en los resortes. También verificará la restauración ecuación de fuerza de los resortes, o ley de Hooke. La constante del resorte es diferente para los resortes de diferentes elasticidades. Se verificará la ley de Hooke y la constante de resorte medida por diferentes pesos a un resorte suspendido y los desplazamientos resultantes de la medición.

Cite this Video

JoVE Science Education Database. Fundamentos de la física I. Ley de Hooke y el movimiento armónico Simple. JoVE, Cambridge, MA, (2017).

Principles

Sostiene un resorte en cualquiera posición estirado o comprimido requiere que alguien o algo ejerce una fuerza sobre el resorte. Esta fuerza es directamente proporcional a la dislocación, Δy, de la primavera. A su vez, el resorte ejercerá una igual y opuesta fuerza:

F = -k Δy, (ecuación 1)

donde k se llama la "constante de rigidez del resorte". Esto se refiere a menudo como una "fuerza de restauración" porque el resorte ejerce una fuerza en dirección opuesta al desplazamiento, indicado por el signo negativo. Ecuación 1 se conoce como ley de Hooke.

Movimiento armónico simple se produce cuando existe una fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento del equilibrio, como en la ley de Hooke. De la segunda ley de Newton, F = may reconociendo que la aceleración a es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, 1 de la ecuación puede ser reescrita como:

m (d2y/dt2) = y -k. (Ecuación 2)

La solución a este diferencial de segundo orden es bien conocida por ser:

y (t) = pecado (ωt + φ), (ecuación 3)

donde A es la amplitud de oscilación, ω = (k/m)1/2y la fase ángulo φ depende de las condiciones iniciales del sistema. Ecuaciones en la forma de la ecuación 3 describen lo que se denomina movimiento armónico simple. El período T, la frecuencia fy la constante ω están relacionados por:

Ω = 2πf = 2π/T. (ecuación 4)

Así, el período T está dado por:

T = 2π (m/k)1/2. (Ecuación 5)

Tenga en cuenta que T no depende de la amplitud A de la oscilación. Por lo tanto, si un peso se cuelga de un resorte suspendido de la vertical, el período resultante de la oscilación es proporcional a la raíz cuadrada del peso adjunto.

El trabajo requerido para estirar el resorte una distancia es W = <F> y, donde <F> es la fuerza promedio necesaria para estirar la cadena. Puesto que F es lineal en y, la media es a la fuerza en equilibrio (= 0) y la fuerza en y:

<F> = ½ [0 + ky]. (Ecuación 6)

El trabajo realizado y por lo tanto la energía potencial elástica, PE, se pueden escribir como:

PE = ½ k y2. (Ecuación 7)

En esta práctica se medirá la energía potencial de un resorte.

Procedure

1. medir la constante elástica y la energía potencial de un resorte y confirmar la relación entre la masa y oscilatoria T. período

  1. Obtener un resorte con una constante de resorte conocido, un soporte para colocar el resorte, por lo menos 5 pesas de diferentes masas que pueden acoplarse a la primavera, un palo de metro y un cronómetro.
  2. Asegure el soporte de una base sólida y enganchar el resorte en el soporte. Asegúrese de que hay suficiente espacio debajo de la primavera para que estire sin golpear la mesa o el suelo.
  3. Cada una de las masas, calcular la fuerza ejercida sobre el muelle por la fuerza gravitacional de la tierra (F = mg). Comience con el peso menos masiva. Registrar estos valores en la tabla 1.
  4. Medir la primavera como muy por encima de la superficie de la mesa es en su posición sin estirado.
  5. El peso menos masiva a la primavera y medir el Δy1 de desplazamiento (ver figura 1). Grabar este desplazamiento en la tabla 1.
  6. Con el peso añadido, levante un poco el peso antes de soltarlo. Observar el movimiento oscilatorio. Medir el periodo T con un cronómetro. Para una medición más precisa, el tiempo durante múltiples períodos de registro y dividir ese tiempo por el número de períodos observados. No esta varias veces y registrar el promedio de tiempo medido para el período T en la tabla 1.
  7. Repita los pasos 1.5-1.6 para todas las masas, en orden creciente de masa.
  8. Calcular la energía potencial del resorte para cada una de las diferentes masas y regístrelos en la tabla 1.
  9. Parcela la fuerza F en función del desplazamiento Δy. Según la ecuación 1, este debe ser lineal. Montar una pista a la línea. Esta vertiente corresponde a primavera constante k. Compare el valor medido con el valor conocido de la primavera.
  10. La primavera conocida constante y la ecuación 5, calcular lo que debería ser el período T de oscilación para cada una de las masas; informan en la tabla 1. Compararlos con la T que se midió con un cronómetro en el paso 1.6.

Figure 1
Figura 1: Oscilación del muelle,

Ley de Hooke y el fenómeno de movimiento armónico simple ayuda en la comprensión de la física asociada con los objetos elásticos.

Ley de Hooke implica que para deformar un objeto elástico, como un tirachinas, una fuerza debe aplicarse para superar la fuerza de restauración ejercida por ese objeto. Esta fuerza restauradora es un producto de la elasticidad constante k del objeto y el desplazamiento Δy pero en la dirección opuesta al desplazamiento o fuerza aplicada.

Claramente el objeto elástico almacena energía que tiene el potencial de hacer el trabajo. Después de que el trabajo está hecho el objeto elástico sufre oscilaciones. Si trama este comportamiento oscilatorio como posición del objeto frente al tiempo, el gráfico representa movimiento armónico simple.

En este video demostraremos un experimento utiliza resortes y pesas para validar los conceptos de ley de Hooke y el movimiento armónico simple.

Antes de mostrar el comportamiento de un resorte, vamos a revisar los conceptos de su oscilación. Imaginar, aplicando una fuerza para la primavera, como un peso, lo que provoca que se extienden desde su inicial posición no deformada hasta que una fuerza de restauración oposición finalmente equilibra y equilibrio se establece.

Según ley de Hookes, esta fuerza de restauración es igual a la constante de resorte k, que depende de la elasticidad o rigidez del material se deforme, veces el desplazamiento del resorte desde su posición inicial, o Δy.

Por lo tanto, saber Δy y recordando que la fuerza restauradora es igual y opuesta a la fuerza aplicada, que es el peso en Newtons, se puede determinar la constante del resorte. También, trazar F aplicado versus Δy da una línea que pasa por el origen con pendiente que representa k.

Ahora, con el resorte en su posición de equilibrio, si se introduce una fuerza externa y levante el peso unido a una cierta altura, permite que el resorte ganar energía potencial elástico PE. Esta energía potencial viene dada por esta fórmula, donde k es la constante del resorte y Δy es la distancia desde la posición de equilibrio.

Ahora al liberar el resorte, se somete a un movimiento periódico, conocido como movimiento armónico simple. Si se trazan en un gráfico posición versus tiempo, el movimiento produce la forma de onda sinusoidal de movimiento armónico simple.

El período de oscilación T es dado por esta fórmula, que muestra que T es inversamente proporcional a k , la constante de elasticidad, y directamente proporcional a m , la masa del peso adjunto. Por lo tanto, cuanto mayor sea la masa, cuanto más tiempo la primavera llevaría a un ciclo completo de oscilación.

Si este sistema fue aislado - afectada por fuerzas externas, las oscilaciones se encenderán indefinidamente como la cinética y potencial de las energías, PEy KE se convertirían continuamente uno al otro. Pero en el mundo real siempre hay algunas fuerzas friccionales que causan la amortiguación y por lo tanto, la primavera llegará finalmente a un alto.

Ahora que tienes una idea sobre las leyes que rigen la oscilación de la primavera, vamos a ver como se prueba en un laboratorio de física. Este experimento consiste en un resorte con una constante de resorte conocido, un soporte, un conjunto de pesas con masas diferentes pero conocidas, un palo de metro y un cronómetro.

Fije el soporte a una base sólida, como una tabla. Enganchar el resorte a la base asegurándose de que hay suficiente espacio para estirar el resorte sin contacto con la parte superior de la tabla.

Usando el palillo del metro, tenga en cuenta la posición no deformada de la primavera, o la distancia entre la parte inferior de la primavera y el tablero de la mesa. Tome nota de esta posición de partida en la memoria del medidor.

Ahora, a partir de la masa más pequeña, calcular y registrar su peso gravitacional. Fije la pesa a la primavera y mida la distancia entre la parte inferior de la primavera que denota la posición de equilibrio y la posición inicial que se ha indicado anteriormente. Registre este valor de desplazamiento.

A continuación, levantar el peso ligeramente de su posición cargada y suéltelo para observar el movimiento armónico simple. Con el cronómetro, mida el período de oscilación dividiendo el tiempo necesario para períodos múltiples por el número de períodos. Repita este procedimiento tres veces para obtener un período de promedio. Puesto que el período no depende de la amplitud de la oscilación, los valores deben ser constantes.

Repita las mediciones de la dislocación del resorte y el período de oscilación para cada peso adicional en orden de masa creciente y registre todas las lecturas.

Utilizando los valores de las mediciones de desplazamiento, parcela el peso gravitacional en función de la distancia de desplazamiento. Como se esperaba de la ley de Hooke, la dependencia es lineal y la pendiente de la recta da la constante de resorte. Comparando este valor al valor constante de resorte conocido de k medido = 10 N/m revela buen acuerdo que dentro del error esperado para este tipo de medición.

Calcular la energía potencial para cada peso usando la constante de resorte conocido y los desplazamientos medidos. Dada la ecuación, un diagrama de energía potencial versus cuadrado de desplazamiento muestra la proporcionalidad lineal.

La constante de resorte conocido, calcular el período de oscilación para cada peso. Una comparación con los períodos de medición revela acuerdo fuerte y confirma la relación esperada; es decir, el período es proporcional a la raíz cuadrada de la masa.

La fuerza de restauración que un objeto elástico cuando se deforma se puede observar en varios eventos cotidianos.

La suspensión de los vehículos modernos consta de amortiguadores de choque, que ayudan a minimizar el impacto cuando se conduce por carreteras disparejas. Los amortiguadores de choque actúan como resortes amortiguados, absorbiendo la energía cinética en el impacto y luego disipándola. Reducir la constante de resorte hace el paseo más suave o mushier aumentarlo es preferido en los vehículos de alto rendimiento para un mejor manejo.

Otra aplicación de estos conceptos sería osciladores armónicos - sistemas que se someten a movimiento armónico simple y energía continua de intercambio de experiencias. Por ejemplo, relojes mecánicos convierten energía potencial almacenada en un resorte de torsión en energía mecánica, los engranajes y mover las manos del reloj. Otro ejemplo sería un circuito LC, que exhibe la oscilación entre la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador C y magnética energía potencial, almacenada en el inductor L. Esta oscilación ocurre en un período muy específico dado por esta fórmula, circuito LC que hace parte integral de muchos dispositivos electrónicos.

Sólo ha visto la introducción de Zeus a la ley de Hooke y el movimiento armónico Simple. Ahora debe entender los conceptos de la energía potencial elástica, la fuerza de restauración y cómo esta fuerza resulta en el movimiento armónico simple. ¡Gracias por ver!

Results

Resultados representativos del experimento, llevado a cabo con un resorte de constante k = 10 N/m, se muestran en la tabla 1. La representación gráfica de F frente a la Δ de desplazamientoy se grafica a continuación en la figura 2. La función lineal se cabe con una línea y la pendiente de la recta es igual a la constante de resorte, dentro de un margen de error. La linealidad de los resultados demuestra la validez de la ley de Hooke (ecuación 1).

Revise la tabla 1 para ver cómo el período T de oscilación se relaciona con la masa que se une a la primavera. La más pesada la masa atada a la primavera, el período será, como es proporcional a la raíz cuadrada de la masa (ecuación 5). También, tenga en cuenta que cuando una masa más grande se adjunta al final de la primavera, la primavera se estirar aún más. La energía potencial del sistema es mayor, ya que es una función de los desplazamientos cuadrados de equilibrio (ecuación 7). Es lógico que el período es más largo para una masa más grande, porque la primavera es desplazada lejos de equilibrio, tarda más en recorrer esa distancia más.
Tabla 1. Resultados.

Masa (kg) Peso / F (N) Δy (m) PE (J) T medido (s) T calculado (s)
0.5 4.9 0.49 2.4 1.3 1.4
0.75 7.4 0.74 5.4 1.6 1.7
1 9.8 0.98 9.6 1.9 1.9
1.5 14.7 1.5 21.6 2.5 2.4
2 19.6 2 38.4 2.9 2.8

Figure 2
Figura 2: Diagrama de fuerza aplicada (N) versus desplazamiento.

Applications and Summary

El uso de resortes es omnipresente en nuestra vida cotidiana. La suspensión de los coches modernos está hecha de resortes que son bien amortiguados. Esto requiere el conocimiento de las constantes de resorte. Para los paseos más suaves de Cadillac, se utilizan resortes con una constante de resorte más baja, y el viaje es "mushier." Coches de alto rendimiento utilizan muelles con una constante de resorte más alta para un mejor manejo. Trampolines también se hacen con los resortes de constantes de resorte diferentes, dependiendo de cuánto se desea el "rebote" cuando buceo fuera del tablero. Cuerdas de escalada de roca son también ligeramente elásticos, así que si un escalador cae al subir, la cuerda no salvarla de golpear el suelo, sino también frenaría la caída con su elasticidad. El más pequeño la constante del resorte de una cuerda de escalada, más estrechamente se asemeja a puenting.

En este estudio, se midió el desplazamiento de un resorte resultante de la aplicación de fuerzas de diferentes magnitudes. La validez de la ley de Hooke se verificó mediante la representación de los desplazamientos resultantes en función de la fuerza ejercida sobre el resorte de suspensión. También se observó movimiento oscilatorio, con períodos de proporcionales a la raíz cuadrada de la masa atada a la primavera.

1. medir la constante elástica y la energía potencial de un resorte y confirmar la relación entre la masa y oscilatoria T. período

  1. Obtener un resorte con una constante de resorte conocido, un soporte para colocar el resorte, por lo menos 5 pesas de diferentes masas que pueden acoplarse a la primavera, un palo de metro y un cronómetro.
  2. Asegure el soporte de una base sólida y enganchar el resorte en el soporte. Asegúrese de que hay suficiente espacio debajo de la primavera para que estire sin golpear la mesa o el suelo.
  3. Cada una de las masas, calcular la fuerza ejercida sobre el muelle por la fuerza gravitacional de la tierra (F = mg). Comience con el peso menos masiva. Registrar estos valores en la tabla 1.
  4. Medir la primavera como muy por encima de la superficie de la mesa es en su posición sin estirado.
  5. El peso menos masiva a la primavera y medir el Δy1 de desplazamiento (ver figura 1). Grabar este desplazamiento en la tabla 1.
  6. Con el peso añadido, levante un poco el peso antes de soltarlo. Observar el movimiento oscilatorio. Medir el periodo T con un cronómetro. Para una medición más precisa, el tiempo durante múltiples períodos de registro y dividir ese tiempo por el número de períodos observados. No esta varias veces y registrar el promedio de tiempo medido para el período T en la tabla 1.
  7. Repita los pasos 1.5-1.6 para todas las masas, en orden creciente de masa.
  8. Calcular la energía potencial del resorte para cada una de las diferentes masas y regístrelos en la tabla 1.
  9. Parcela la fuerza F en función del desplazamiento Δy. Según la ecuación 1, este debe ser lineal. Montar una pista a la línea. Esta vertiente corresponde a primavera constante k. Compare el valor medido con el valor conocido de la primavera.
  10. La primavera conocida constante y la ecuación 5, calcular lo que debería ser el período T de oscilación para cada una de las masas; informan en la tabla 1. Compararlos con la T que se midió con un cronómetro en el paso 1.6.

Figure 1
Figura 1: Oscilación del muelle,

Ley de Hooke y el fenómeno de movimiento armónico simple ayuda en la comprensión de la física asociada con los objetos elásticos.

Ley de Hooke implica que para deformar un objeto elástico, como un tirachinas, una fuerza debe aplicarse para superar la fuerza de restauración ejercida por ese objeto. Esta fuerza restauradora es un producto de la elasticidad constante k del objeto y el desplazamiento Δy pero en la dirección opuesta al desplazamiento o fuerza aplicada.

Claramente el objeto elástico almacena energía que tiene el potencial de hacer el trabajo. Después de que el trabajo está hecho el objeto elástico sufre oscilaciones. Si trama este comportamiento oscilatorio como posición del objeto frente al tiempo, el gráfico representa movimiento armónico simple.

En este video demostraremos un experimento utiliza resortes y pesas para validar los conceptos de ley de Hooke y el movimiento armónico simple.

Antes de mostrar el comportamiento de un resorte, vamos a revisar los conceptos de su oscilación. Imaginar, aplicando una fuerza para la primavera, como un peso, lo que provoca que se extienden desde su inicial posición no deformada hasta que una fuerza de restauración oposición finalmente equilibra y equilibrio se establece.

Según ley de Hookes, esta fuerza de restauración es igual a la constante de resorte k, que depende de la elasticidad o rigidez del material se deforme, veces el desplazamiento del resorte desde su posición inicial, o Δy.

Por lo tanto, saber Δy y recordando que la fuerza restauradora es igual y opuesta a la fuerza aplicada, que es el peso en Newtons, se puede determinar la constante del resorte. También, trazar F aplicado versus Δy da una línea que pasa por el origen con pendiente que representa k.

Ahora, con el resorte en su posición de equilibrio, si se introduce una fuerza externa y levante el peso unido a una cierta altura, permite que el resorte ganar energía potencial elástico PE. Esta energía potencial viene dada por esta fórmula, donde k es la constante del resorte y Δy es la distancia desde la posición de equilibrio.

Ahora al liberar el resorte, se somete a un movimiento periódico, conocido como movimiento armónico simple. Si se trazan en un gráfico posición versus tiempo, el movimiento produce la forma de onda sinusoidal de movimiento armónico simple.

El período de oscilación T es dado por esta fórmula, que muestra que T es inversamente proporcional a k , la constante de elasticidad, y directamente proporcional a m , la masa del peso adjunto. Por lo tanto, cuanto mayor sea la masa, cuanto más tiempo la primavera llevaría a un ciclo completo de oscilación.

Si este sistema fue aislado - afectada por fuerzas externas, las oscilaciones se encenderán indefinidamente como la cinética y potencial de las energías, PEy KE se convertirían continuamente uno al otro. Pero en el mundo real siempre hay algunas fuerzas friccionales que causan la amortiguación y por lo tanto, la primavera llegará finalmente a un alto.

Ahora que tienes una idea sobre las leyes que rigen la oscilación de la primavera, vamos a ver como se prueba en un laboratorio de física. Este experimento consiste en un resorte con una constante de resorte conocido, un soporte, un conjunto de pesas con masas diferentes pero conocidas, un palo de metro y un cronómetro.

Fije el soporte a una base sólida, como una tabla. Enganchar el resorte a la base asegurándose de que hay suficiente espacio para estirar el resorte sin contacto con la parte superior de la tabla.

Usando el palillo del metro, tenga en cuenta la posición no deformada de la primavera, o la distancia entre la parte inferior de la primavera y el tablero de la mesa. Tome nota de esta posición de partida en la memoria del medidor.

Ahora, a partir de la masa más pequeña, calcular y registrar su peso gravitacional. Fije la pesa a la primavera y mida la distancia entre la parte inferior de la primavera que denota la posición de equilibrio y la posición inicial que se ha indicado anteriormente. Registre este valor de desplazamiento.

A continuación, levantar el peso ligeramente de su posición cargada y suéltelo para observar el movimiento armónico simple. Con el cronómetro, mida el período de oscilación dividiendo el tiempo necesario para períodos múltiples por el número de períodos. Repita este procedimiento tres veces para obtener un período de promedio. Puesto que el período no depende de la amplitud de la oscilación, los valores deben ser constantes.

Repita las mediciones de la dislocación del resorte y el período de oscilación para cada peso adicional en orden de masa creciente y registre todas las lecturas.

Utilizando los valores de las mediciones de desplazamiento, parcela el peso gravitacional en función de la distancia de desplazamiento. Como se esperaba de la ley de Hooke, la dependencia es lineal y la pendiente de la recta da la constante de resorte. Comparando este valor al valor constante de resorte conocido de k medido = 10 N/m revela buen acuerdo que dentro del error esperado para este tipo de medición.

Calcular la energía potencial para cada peso usando la constante de resorte conocido y los desplazamientos medidos. Dada la ecuación, un diagrama de energía potencial versus cuadrado de desplazamiento muestra la proporcionalidad lineal.

La constante de resorte conocido, calcular el período de oscilación para cada peso. Una comparación con los períodos de medición revela acuerdo fuerte y confirma la relación esperada; es decir, el período es proporcional a la raíz cuadrada de la masa.

La fuerza de restauración que un objeto elástico cuando se deforma se puede observar en varios eventos cotidianos.

La suspensión de los vehículos modernos consta de amortiguadores de choque, que ayudan a minimizar el impacto cuando se conduce por carreteras disparejas. Los amortiguadores de choque actúan como resortes amortiguados, absorbiendo la energía cinética en el impacto y luego disipándola. Reducir la constante de resorte hace el paseo más suave o mushier aumentarlo es preferido en los vehículos de alto rendimiento para un mejor manejo.

Otra aplicación de estos conceptos sería osciladores armónicos - sistemas que se someten a movimiento armónico simple y energía continua de intercambio de experiencias. Por ejemplo, relojes mecánicos convierten energía potencial almacenada en un resorte de torsión en energía mecánica, los engranajes y mover las manos del reloj. Otro ejemplo sería un circuito LC, que exhibe la oscilación entre la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador C y magnética energía potencial, almacenada en el inductor L. Esta oscilación ocurre en un período muy específico dado por esta fórmula, circuito LC que hace parte integral de muchos dispositivos electrónicos.

Sólo ha visto la introducción de Zeus a la ley de Hooke y el movimiento armónico Simple. Ahora debe entender los conceptos de la energía potencial elástica, la fuerza de restauración y cómo esta fuerza resulta en el movimiento armónico simple. ¡Gracias por ver!

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