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12.9: Leis de Probabilidade
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Probability Laws
 
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12.9: Probability Laws

12.9: Leis de Probabilidade

Overview

The probability of inheriting a trait can be calculated using the sum and product rules. The sum rule is used to calculate the probability of mutually exclusive events. The product rule predicts the probability of multiple independent events. These probability rules determine theoretical probability—the likelihood of events occurring before they happen. Empirical probability, by contrast, is calculated based on events that have already occurred.

The Sum and Product Rules Are Leveraged to Calculate Inheritance Probabilities

Although Punnett squares are useful for visualizing the inheritance of one or two traits, they become cumbersome when applied to more complex scenarios. A Punnett square displaying just three traits contains 64 possible crosses. Probability laws enable much more efficient calculations of trait inheritance probabilities.

Consider a pregnant woman who wants to understand her child’s risk of inheriting biotinidase deficiency (BTD), an autosomal recessive disease that runs in her family. Infants with untreated BTD exhibit developmental delays, poor muscle tone, skin rashes, and hair loss. Severe cases are associated with seizures and loss of vision and hearing, among other symptoms. Neither the woman nor her parents have BTD, but her brother is affected, meaning that both parents must have one causal gene variant (i.e., both parents are heterozygotes, or carriers).

The probability of the woman’s child inheriting BTD is contingent on whether the woman is a carrier, possessing one causal allele. Since BTD is autosomal recessive and she is unaffected, she cannot have two causal alleles. However, she may carry one causal allele that could be passed to her child.

The first step toward ascertaining the child’s risk is to determine the likelihood of the mother being a carrier. This is achieved using the sum rule of probability. The sum rule states that the probability of mutually exclusive events is the sum of their individual probabilities. In this case, mutually exclusive events are possible parental allele combinations the pregnant woman may have inherited. Since both of her parents are heterozygotes (Bb genotype), she has one of four possible genotypes: paternal B and maternal B (BB), paternal B and maternal b (Bb), maternal B and paternal b (Bb), or paternal b and maternal b (bb). Since she doesn’t have BTD, the bb genotype can be ruled out. There are thus three possible genotypes with equal probabilities of 1/3, and two of these result in being a carrier (Bb). Hence, according to the sum rule, her probability of being a carrier is 2/3 (1/3 + 1/3).

Another critical factor in the child’s risk of BTD is the father’s probability of being a carrier. Here, the product rule comes into play. The product rule states that the probability of multiple independent events is the product of the events’ individual probabilities. If the mother is a carrier, this does not influence whether the father is a carrier. Thus, they are independent events.

For the child to inherit BTD, multiple independent events must occur. First, the mother must be a carrier (2/3 probability). Second, the father must be a carrier. If the father is unaffected and has no family history of BTD, his probability of being a carrier is considered equivalent to that of the general population (1/120). Third, the child must inherit the recessive allele from both parents (1/4 probability if both parents are carriers). According to the product rule, the child’s risk of inheriting BTD is the product of each of these probabilities: (2/3) x (1/120) x (1/4) = ~0.0014, or about 0.14%.

Theoretical and Empirical Probabilities Are Respectively Calculated before and after Events

The child’s 0.14% risk of BTD, a prediction calculated before birth, is a theoretical probability. It is possible, however, that the child and his or her siblings will inherit BTD, representing an empirical probability of 100%. Unlike theoretical probabilities, which are calculated before events have occurred, empirical probabilities are based on observations. When analyzing single pedigrees, theoretical and empirical probabilities may be very different. However, as more pedigrees are analyzed, theoretical and empirical probabilities become increasingly aligned.

Visão geral

A probabilidade de herdar uma característica pode ser calculada usando a soma e as regras do produto. A regra da soma é usada para calcular a probabilidade de eventos mutuamente exclusivos. A regra do produto prevê a probabilidade de múltiplos eventos independentes. Essas regras de probabilidade determinam a probabilidade teórica — a probabilidade de eventos ocorrerem antes de acontecerem. A probabilidade empírica, em contraste, é calculada com base em eventos que já ocorreram.

A soma e as regras do produto são aproveitadas para calcular probabilidades de herança

Embora os quadrados punnett sejam úteis para visualizar a herança de um ou dois traços, eles se tornam complicados quando aplicados a cenários mais complexos. Um quadrado punnett exibindo apenas três características contém 64 cruzes possíveis. As leis de probabilidade permitem cálculos muito mais eficientes de probabilidades de herança de traços.

Considere uma mulher grávida que quer entender o risco de seu filho herdar deficiência de biotinidase (BTD), uma doença recessiva autossômica que corre em sua família. Bebês com BTD não tratado apresentam atrasos no desenvolvimento, tônus muscular ruim, erupções cutâneas e queda de cabelo. Casos graves estão associados a convulsões e perda de visão e audição, entre outros sintomas. Nem a mulher nem seus pais têm BTD, mas seu irmão é afetado, o que significa que ambos os pais devem ter uma variante genética causal (ou seja, ambos os pais são heterozygotes, ou portadores).

A probabilidade do filho da mulher herdar BTD depende se a mulher é portadora, possuindo um alelo causal. Como o BTD é recessivo autossômico e ela não é afetada, ela não pode ter dois alelos causais. No entanto, ela pode carregar um alelo causal que poderia ser passado para seu filho.

O primeiro passo para verificar o risco da criança é determinar a probabilidade da mãe ser portadora. Isso é conseguido usando a regra de probabilidade. A regra da soma estabelece que a probabilidade de eventos mutuamente exclusivos é a soma de suas probabilidades individuais. Neste caso, eventos mutuamente exclusivos são possíveis combinações de alelo parental que a gestante pode ter herdado. Como ambos os pais são heterozygotes (Bb genótipo), ela tem um dos quatro genótipos possíveis: pera B e materno B (BB), B paterna e maternal b (Bb), b materna e paternidade b (Bb),ou b paterna b e maternal b (bb). Como ela não tem BTD, o genótipo bb pode ser descartado. Há, portanto, três genótipos possíveis com probabilidades iguais de 1/3, e dois deles resultam em ser um portador(Bb). Assim, de acordo com a regra da soma, sua probabilidade de ser portadora é de 2/3 (1/3 + 1/3).

Outro fator crítico no risco da criança de BTD é a probabilidade do pai ser portador. Aqui, a regra do produto entra em jogo. A regra do produto estabelece que a probabilidade de múltiplos eventos independentes é o produto das probabilidades individuais dos eventos. Se a mãe é portadora, isso não influencia se o pai é portador. Assim, são eventos independentes.

Para que a criança herde o BTD, vários eventos independentes devem ocorrer. Primeiro, a mãe deve ser portadora (probabilidade de 2/3). Segundo, o pai deve ser um portador. Se o pai não é afetado e não tem histórico familiar de BTD, sua probabilidade de ser portador é considerada equivalente à da população em geral (1/120). Em terceiro lugar, a criança deve herdar o alelo recessivo de ambos os pais (1/4 de probabilidade se ambos os pais forem portadores). De acordo com a regra do produto, o risco da criança herdar BTD é o produto de cada uma dessas probabilidades: (2/3) x (1/120) x (1/4) = ~0,0014, ou cerca de 0,14%.

Probabilidades teóricas e empíricas são respectivamente calculadas antes e depois dos eventos

O risco de 0,14% da criança de BTD, uma previsão calculada antes do nascimento, é uma probabilidade teórica. É possível, no entanto, que a criança e seus irmãos herdem o BTD, representando uma probabilidade empírica de 100%. Ao contrário das probabilidades teóricas, que são calculadas antes dos eventos terem ocorrido, as probabilidades empíricas são baseadas em observações. Ao analisar pedigrees únicos, as probabilidades teóricas e empíricas podem ser muito diferentes. No entanto, à medida que mais pedigrees são analisados, as probabilidades teóricas e empíricas tornam-se cada vez mais alinhadas.


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