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12.9: Lois de probabilité
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Probability Laws
 
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12.9: Probability Laws

12.9: Lois de probabilité

Overview

The probability of inheriting a trait can be calculated using the sum and product rules. The sum rule is used to calculate the probability of mutually exclusive events. The product rule predicts the probability of multiple independent events. These probability rules determine theoretical probability—the likelihood of events occurring before they happen. Empirical probability, by contrast, is calculated based on events that have already occurred.

The Sum and Product Rules Are Leveraged to Calculate Inheritance Probabilities

Although Punnett squares are useful for visualizing the inheritance of one or two traits, they become cumbersome when applied to more complex scenarios. A Punnett square displaying just three traits contains 64 possible crosses. Probability laws enable much more efficient calculations of trait inheritance probabilities.

Consider a pregnant woman who wants to understand her child’s risk of inheriting biotinidase deficiency (BTD), an autosomal recessive disease that runs in her family. Infants with untreated BTD exhibit developmental delays, poor muscle tone, skin rashes, and hair loss. Severe cases are associated with seizures and loss of vision and hearing, among other symptoms. Neither the woman nor her parents have BTD, but her brother is affected, meaning that both parents must have one causal gene variant (i.e., both parents are heterozygotes, or carriers).

The probability of the woman’s child inheriting BTD is contingent on whether the woman is a carrier, possessing one causal allele. Since BTD is autosomal recessive and she is unaffected, she cannot have two causal alleles. However, she may carry one causal allele that could be passed to her child.

The first step toward ascertaining the child’s risk is to determine the likelihood of the mother being a carrier. This is achieved using the sum rule of probability. The sum rule states that the probability of mutually exclusive events is the sum of their individual probabilities. In this case, mutually exclusive events are possible parental allele combinations the pregnant woman may have inherited. Since both of her parents are heterozygotes (Bb genotype), she has one of four possible genotypes: paternal B and maternal B (BB), paternal B and maternal b (Bb), maternal B and paternal b (Bb), or paternal b and maternal b (bb). Since she doesn’t have BTD, the bb genotype can be ruled out. There are thus three possible genotypes with equal probabilities of 1/3, and two of these result in being a carrier (Bb). Hence, according to the sum rule, her probability of being a carrier is 2/3 (1/3 + 1/3).

Another critical factor in the child’s risk of BTD is the father’s probability of being a carrier. Here, the product rule comes into play. The product rule states that the probability of multiple independent events is the product of the events’ individual probabilities. If the mother is a carrier, this does not influence whether the father is a carrier. Thus, they are independent events.

For the child to inherit BTD, multiple independent events must occur. First, the mother must be a carrier (2/3 probability). Second, the father must be a carrier. If the father is unaffected and has no family history of BTD, his probability of being a carrier is considered equivalent to that of the general population (1/120). Third, the child must inherit the recessive allele from both parents (1/4 probability if both parents are carriers). According to the product rule, the child’s risk of inheriting BTD is the product of each of these probabilities: (2/3) x (1/120) x (1/4) = ~0.0014, or about 0.14%.

Theoretical and Empirical Probabilities Are Respectively Calculated before and after Events

The child’s 0.14% risk of BTD, a prediction calculated before birth, is a theoretical probability. It is possible, however, that the child and his or her siblings will inherit BTD, representing an empirical probability of 100%. Unlike theoretical probabilities, which are calculated before events have occurred, empirical probabilities are based on observations. When analyzing single pedigrees, theoretical and empirical probabilities may be very different. However, as more pedigrees are analyzed, theoretical and empirical probabilities become increasingly aligned.

Aperçu

La probabilité d’hériter d’un trait peut être calculée à l’aide de la somme et des règles du produit. La règle de somme est utilisée pour calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs. La règle du produit prédit la probabilité de plusieurs événements indépendants. Ces règles de probabilité déterminent la probabilité théorique — la probabilité que des événements se produisent avant qu’ils ne se produisent. La probabilité empirique, en revanche, est calculée en fonction des événements qui se sont déjà produits.

Les règles de la somme et du produit sont mises à profit pour calculer les probabilités d’héritage

Bien que les carrés Punnett soient utiles pour visualiser l’héritage d’un ou deux traits, ils deviennent encombrants lorsqu’ils sont appliqués à des scénarios plus complexes. Un carré Punnett affichant seulement trois traits contient 64 croix possibles. Les lois sur les probabilités permettent des calculs beaucoup plus efficaces des probabilités d’héritage des traits.

Prenons l’exemple d’une femme enceinte qui veut comprendre le risque de son enfant d’hériter d’une carence en biotinidase (BTD), une maladie récessive autosomale qui court dans sa famille. Les nourrissons atteints de DTT non traités présentent des retards de développement, un mauvais tonus musculaire, des éruptions cutanées et une perte de cheveux. Les cas graves sont associés à des convulsions et à la perte de vision et d’audition, entre autres symptômes. Ni la femme ni ses parents n’ont de DTT, mais son frère est affecté, ce qui signifie que les deux parents doivent avoir une variante du gène causal (c.-à-d. que les deux parents sont hétérozygotes, ou porteurs).

La probabilité que l’enfant de la femme hérite de BTD dépend de la question de savoir si la femme est porteuse, possédant un allèle causal. Puisque BTD est récessif autosomal et elle n’est pas affectée, elle ne peut pas avoir deux allèles causals. Cependant, elle peut porter un allèle causal qui pourrait être transmis à son enfant.

La première étape vers la détermination du risque de l’enfant consiste à déterminer la probabilité que la mère soit porteuse. Ceci est réalisé en utilisant la règle de la somme de la probabilité. La règle de la somme stipule que la probabilité d’événements mutuellement exclusifs est la somme de leurs probabilités individuelles. Dans ce cas, les événements mutuellement exclusifs sont des combinaisons d’allèles parentales possibles que la femme enceinte peut avoir héritées. Puisque ses deux parents sont hétérozygotes(génotype bb), elle a l’un des quatre génotypes possibles : le B paternel et le B maternel (BB), le B paternel et le b maternel b (Bb), le B maternel et le b paternel (Bb), ou paternel b et maternelle b (bb). Comme elle n’a pas btd, le génotype bb peut être exclu. Il y a donc trois génotypes possibles avec des probabilités égales de 1/3, et deux d’entre eux se traduisent par être un transporteur (Bb). Par conséquent, selon la règle de la somme, sa probabilité d’être un transporteur est de 2/3 (1/3 + 1/3).

Un autre facteur critique dans le risque de BTD de l’enfant est la probabilité du père d’être un porteur. Ici, la règle du produit entre en jeu. La règle du produit stipule que la probabilité de plusieurs événements indépendants est le produit des probabilités individuelles des événements. Si la mère est porteuse, cela n’influence pas la question de savoir si le père est porteur. Il s’en faut donc pour des événements indépendants.

Pour que l’enfant hérite du BTD, plusieurs événements indépendants doivent se produire. Premièrement, la mère doit être porteuse (probabilité 2/3). Deuxièmement, le père doit être porteur. Si le père n’est pas affecté et n’a pas d’antécédents familiaux de BTD, sa probabilité d’être porteur est considérée comme équivalente à celle de la population générale (1/120). Troisièmement, l’enfant doit hériter de l’allèle récessif des deux parents (1/4 probabilité si les deux parents sont porteurs). Selon la règle du produit, le risque d’héritage du BTD de l’enfant est le produit de chacune de ces probabilités : (2/3) x (1/120) x (1/4) = ~0,0014, soit environ 0,14 %.

Les probabilités théoriques et empiriques sont calculées respectivement avant et après les événements

Le risque de 0,14 % de BTD de l’enfant, une prédiction calculée avant la naissance, est une probabilité théorique. Il est toutefois possible que l’enfant et ses frères et sœurs héritent de la DTT, ce qui représente une probabilité empirique de 100 %. Contrairement aux probabilités théoriques, qui sont calculées avant que des événements se produisent, les probabilités empiriques sont basées sur des observations. Lors de l’analyse des pedigrees uniques, les probabilités théoriques et empiriques peuvent être très différentes. Cependant, à mesure que de plus en plus de pedigrees sont analysés, les probabilités théoriques et empiriques s’alignent de plus en plus.


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