Overview
Quelle: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomie, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA
Dieses Experiment zeigt die Kinematik der Bewegung in 1 und 2 Dimensionen. Diese Übungseinheit beginnt durch das Studium der Bewegung in 1 Dimension unter konstanter Beschleunigung durch die Einführung eines Projektils direkt nach oben und Mess die maximale Höhe erreicht. Dieses Labor überprüft, ob die maximale Höhe erreicht der kinematischen Gleichungen abgeleitet unter entspricht.
Bewegung in 2 Dimensionen werden durch die Einführung des Ball bei einem Winkel θvorgeführt. Mithilfe der kinematischen Gleichungen unten, kann man voraussagen, dass die Entfernung zum wo das Projektil landen wird Grundlage für die Anfangsgeschwindigkeit, Gesamtzeit und Winkel der Flugbahn. Dies zeigen bzw. kinematische Bewegung mit und aus Beschleunigung in der y- und X -Richtung.
Principles
Jede Messung der Kinematik eines Objekts, z. B. Position, Hubraum und Geschwindigkeit, muss im Hinblick auf einige Referenz-Frame erfolgen. Horizontaler Richtung und y auf der vertikalen entspricht die X -Richtung der Koordinatenachsen. Der Ursprung der Koordinatenachsen (0, 0), wird definiert als die ursprüngliche Position des Partikels (hier: eine Kugel).
Bewegung in 1 dimension
Lassen Sie uns zunächst auf die 1-dimensionale Bewegung einer Kugel über einige besondere Zeit Intervall t, entsprechend positionieren Sie y. Bezeichnen die erste Zeit als t0, entspricht positionieren y0. Die Verschiebung des Balls, Δy, ist wie folgt definiert:
Δy = y - y0. (Gleichung 1)
Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Balles, V-, ist die Verschiebung durch die verstrichene Zeit geteilt:
V–= (y - y0) / (t - t-0) = ΔX /Δt. (Gleichung 2)
Die momentane Geschwindigkeit, V, ist die Geschwindigkeit über einige sehr kleine Zeitintervall definiert als:
V = LimΔt→→ 0 (ΔX /Δt). ()Gleichung 3)
Die konstante Beschleunigung, ein, ist die Änderung der Geschwindigkeit geteilt durch die verstrichene Zeit:
ein = (V - V0) / (t - t-0). (Gleichung 4)
Set t0 = 0 bis zum ersten Mal und lösen für V in der letzten Gleichung, die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu erhalten:
V = V0 + at (Gleichung 5)
Als Nächstes berechnen der Position y als Funktion der Zeit unter Verwendung der Gleichung 2. y ist als neu gekennzeichnet:
y = y0 + V–t. (Gleichung 6)
Unter konstanter Beschleunigung wird die Geschwindigkeit mit einheitlichen Rate zu erhöhen, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit auf halbem Weg zwischen dem Anfangs- und Endwert Geschwindigkeiten werden:
V– = (V0 + V) / 2. (Gleichung 7)
Setzt man dies in Gleichung 6 und unter Verwendung der Definition der momentanen Geschwindigkeit gibt eine neue Gleichung für y:
y = y0 + V0t + ½2. (Gleichung 8)
t ist für durch die Gleichung 7 in Substitution gelöst Gleichung 6:
t = (V - V0) /a. (Gleichung 9)
Ersetzen, dass t in Gleichung 6 und noch einmal mit der Definition der Gleichung 7 wieder ändert die Gleichung für y
y = y0 + (V + V0) / 2 (V - V0) / a = y0 + (V2 - V02) / 2a. (Gleichung 10)
Lösung für V2 gibt:
V2 = V02 + 2a (y - y0). (Gleichung 11)
Dies sind die nützlichen Gleichungen über Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit, eine Konstante ist.
Bewegung in 2 d bmessungen
Nun wird Bewegung in 2 Dimensionen berücksichtigt werden. Gleichungen 5, 7, 8,und 11 bilden einen allgemeinen Satz von kinematischen Gleichungen in y -Richtung. Diese können auf Antrag in 2 Dimensionen, X und y, indem Sie einfach die Komponenten y mit X -Komponenten erweitert werden. Betrachten Sie ein Projektil mit einer Anfangsgeschwindigkeit V0bei einem Winkel θ in Bezug auf die X -Achse, ins Leben gerufen, wie in Abbildung 1dargestellt. Aus der Abbildung kann man sehen, dass die X -Richtung-Komponente für die Anfangsgeschwindigkeit VX, 0, V0cos ist (θ). Ebenso in y -Richtung, V,y, 0 = V0sin(θ).
THe nur Beschleunigung der Teilchen erfährt, ist die Schwerkraft in die negative y-Richtung. Daher ist die Geschwindigkeit in X -Richtung konstant. Die Geschwindigkeit in y -Richtung erreicht ein Minimum an der Spitze der Parabel, auf halbem Weg durch die Verschiebung im t /2, wo t die Gesamtzeit ist. Verwenden Sie die oben genannten Gleichungen dieser 2-dimensionale Bewegung mit Gleichungen beschreiben. In diesem Bezugssystem der Ursprung (0,0) entspricht (x0, y0). Beginnend mit der X -Richtung
X = x0 + VX, 0 t + ½Xt2 ()Gleichung 12)
= V0 cos (θ) t. (Gleichung 13)
In y -Richtung
y = y 0 + Vy, 0t + ½y t2 ()Gleichung 14)
= v 0 Sünde(θ) t - ½ g t2,()Gleichung 15)
Abbildung 1: Projektil Bewegung in 2 Dimensionen. Ein Geschosses mit Anfangsgeschwindigkeit V0bei einem Winkel θ in Bezug auf die X -Achse ins Leben gerufen. Die zwei Geschwindigkeitskomponenten sind VXund Vy, wo V = VX + Vy.
w g ist hier die Erdbeschleunigung. Wenn man die Zeit mißt es dauert, bis das Geschoss um den Pfad zu vervollständigen und den Winkel θ und die Anfangsgeschwindigkeit V0 bekannt sind, die Verschiebung in der X - und y -Richtungen können berechnet werden. Bevor Sie dieses Experiment beginnen, ist die Mündungsgeschwindigkeit der Trägerrakete, 6,3 m/s, bekannt. Diese Verschiebung Berechnungen werden mit den experimentellen Ergebnissen verglichen werden. Ein ähnliches Verfahren kann in 1 Dimension erfolgen durch erschießen das Projektil direkt nach oben, mit θ = 0.
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Procedure
1. Bewegung in 1 Dimension.
- Erhalten Sie einen Ball, eine Trägerrakete mit einem Kolben, zwei Pole, einen Eimer, zwei Klemmen, ein Bungee-Seil und eine 2-m-Stick.
- Legen Sie den Launcher auf ein Pole, mit einer Länge von 2 m Stange darüber.
- Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
- Winkel den Launcher direkt nach oben so θ = 0.
- Starten Sie den Ball und verwenden Sie eine Stoppuhr zur Messung der Gesamtzeit t dauert es den Ball zu erreichen ihre maximale Höhe. Die Ausgangslage ist, wo der Ball verlässt den Launcher.
- Beachten Sie, dass der Ball eine maximale Höhe von 2 Metern und Stopsinstantaneously, erreicht wenn es diese Höhe erreicht.
- Wiederholen Sie die Schritte 1,5-1,6 fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Zeit für Berechnungen.
2. Bewegung in 2 Dimensionen.
- Festlegen der Launcher und den anderen Pol 4 m auseinander, auf der gleichen horizontalen Höhe. Legen Sie den Eimer auf den anderen Pol mit der Klemme und Bungee-Seil (Abbildung 2). Die Höhe des Eimers sollte übereinstimmen, wie die Höhe auf großformatigen Ball Launcher beendet.
- Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
- Also den Launcher in einem Winkel von 45° Winkel θ = π /4.
- Verwenden Sie eine Stoppuhr, um die Gesamtzeit t zu messen, braucht es die Kugel landen im Eimer.
- Beachten Sie die ungefähre Höhe, die der Ball erreicht.
- Wiederholen Sie die Schritte 2,4-2,5 fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Zeit für Berechnungen.
Abbildung 2 . Versuchsaufbau.
Die Kinematik ist die Beschreibung der Bewegung, die oft eine wichtige Folge der viele physische Ereignisse und Phänomene.
Bewegung kann eindimensional, zwei- oder dreidimensional sein. Die Gleichungen, die für ein Objekt Bewegung in all diesen Fällen gelten Nutzung der Vektor Mengen von Position - die Verschiebung in Bezug auf Ursprung, Geschwindigkeit - die Veränderung der Position mit der Zeit ist, und Beschleunigung, die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit ist.
Mit diesen Informationen ist es möglich, frei fallenden Körper, die Bahnen der Geschosse und die Umlaufbahnen der Planeten, nur ein paar Beispiele zu berechnen.
Hier konzentrieren wir uns auf kinematische Gleichungen, die im Zusammenhang mit dem eindimensionalen Aufstieg und Fall eines Objekts und der zweidimensionalen Bogen eines Objekts in einem Winkel ins Leben gerufen
Vor der Beschreibung der Bewegung, ist es notwendig, ein Koordinatensystem oder einen Bezugsrahmen zu haben. In der Regel die x-Achse ist horizontal und vertikal ist die y-Achse. Der Ursprung ist beliebig, aber ist oft ein Objekt Ausgangspunkt.
Betrachten wir einen Basketball am Anfang gesetzt und senkrecht nach oben geworfen. Position des Balls ist seine Entfernung und Richtung vom Ursprung und Einheiten von Metern hat.
Durchschnittsgeschwindigkeit Vy ist die Änderung der Position Δy geteilt durch die Veränderung der Zeit Δt, mit Einheiten von Metern pro Sekunde. Aber wie Δt gegen Null geht, wird die Durchschnittsgeschwindigkeit Gleichung für blitzschnelle Geschwindigkeit.
Denken Sie in der Praxis der momentanen Geschwindigkeit als die Geschwindigkeit in diesem Augenblick. Also zu Beginn der momentanen Geschwindigkeit v0 ist die Start-Geschwindigkeit, und danach die momentane Geschwindigkeit verringert sich kontinuierlich bis es ist Null an der Spitze.
Die Abnahme der Geschwindigkeit aufgrund konstanter Beschleunigung zur Verfügung gestellt durch die Erdanziehungskraft, die den Ball gegen die Bewegung und negativ in diesem Koordinatensystem.
Unter solchen Bedingungen konstante Beschleunigung führen die kinematischen Beziehungen zu diesen Gleichungen für die Größenordnung der momentanen Geschwindigkeit und Position in einer Dimension. Mit ihrer Hilfe können wir ein Objekt Bewegung zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen
Lassen Sie uns gelten diese Formeln für das Basketball-Beispiel. Lassen Sie uns sagen, dass die Basketball starten Geschwindigkeit v0, 20 Meter pro Sekunde. Wir wissen, dass die momentane Endgeschwindigkeit die Kugel an der Spitze gleich Null ist. Die Beschleunigung hier ist negative g, da es den Ball Bewegung entgegensetzt. So können durch umstellen dieser Gleichung Kinematik, wir t - Anstiegszeit, erhalten, kommt auf etwa zwei Sekunden betragen. Jetzt ist mit Hilfe der kinematischen Formel für Position, und sagen, dass die Ausgangsposition y0 ist gleich Null, wir können die Werte für Start Geschwindigkeit Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft und Anstiegszeit, berechnen Sie die maximale Verschiebung einstecken die Peakhöhe hier, etwa 20,4 m. Nach erreichen der Spitze, der Ball fällt für zwei Sekunden mit zunehmender Geschwindigkeit, bis er den Boden berührt, wo es angefangen, machen die Gesamtflugzeit ca. 4 Sekunden lang sein.
Für zwei Dimensionen vertikale und horizontale Bewegungen eines Objekts sind unabhängig voneinander und können separat, mit das Nettoergebnis wird die Vektorsumme behandelt werden. Mit dieser Einsicht, kann der gesamte Bogen von Projektil Bewegung in zwei separate, eindimensionale Bewegungen zerlegt werden.
Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels studieren: ein Krug wirft einen Baseball mit einer Ausgangsgeschwindigkeit von 20 Metern/Sekunde in einem Winkel von 30 Grad aus dem Boden. Die erste vertikale Komponente der Geschwindigkeit ist diese Geschwindigkeit Zeiten der Sinus von 30 Grad oder 10 Meter/Sekunde. Die anfängliche horizontale Komponente ist die Geschwindigkeit Mal Kosinus von 30 Grad oder etwa 17 Meter/Sekunde.
Während der Baseball-Anstiegszeit ist die vertikale Geschwindigkeit nach oben mit Geschwindigkeit verringern aufgrund der Schwerkraft. Auf dem Höhepunkt, der Mittelpunkt ist, ist die vertikale Geschwindigkeit Null für einen Augenblick. Dann während die Fallzeit ist es nach unten mit zunehmender Geschwindigkeit.
Ignorieren den Luftwiderstand, horizontale Bewegung hat keine Beschleunigung und hat daher konstanten Geschwindigkeit.
Vektorsumme der vertikalen und horizontalen Positionen und vertikale und horizontale Geschwindigkeiten produziert den Bogen der Projektil Bewegung. Die Summe der Aufstieg und Fall Zeit ist die Gesamtflugzeit, bestimmt den oder die horizontale Entfernung.
Nun, wir gesehen haben, wie man von bewegten Objekten zu berechnen, testen wir die kinematischen Gleichungen auf einen Ball gerade nach oben geworfen und in einem Winkel geworfen.
Diese Experimente verwenden einen Ball, ein Launcher mit Kolben, zwei Pole, einen Eimer, zwei Klammern und einem zwei Meter langen Stock und eine Stoppuhr. Beachten Sie, dass die Mündungsgeschwindigkeit der Trägerrakete 6,3 Metern pro Sekunde. Befestigen Sie für den ersten Versuch, der eindimensionale Projektil Bewegung zeigt den Launcher an einen Pfahl und positionieren Sie den zwei-Meter-Stick darüber.
Passen Sie das Startprogramm, damit es direkt nach oben in einem Winkel von Null Grad aus der vertikalen gerichtet ist. Dies entspricht einem Launch-Winkel von 90 Grad aus der horizontalen. Beachten Sie die vertikale Position der Spitze der Trägerrakete, der Ball wird verlassen, wobei y0 zu benennen. Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
Starten Sie den Ball und im selben Augenblick starten Sie eine Stoppuhr. Die Gesamtzeit für den Ball zurück zum Ausgangspunkt in vertikaler Position y0 und dokumentieren Sie das Ergebnis als Flugzeit zu messen. Bekanntmachung der Ball erreicht eine maximale Höhe von ca. 2 Metern und Haltestellen für einen Augenblick an dieser Stelle.
Wiederholen Sie diesen Vorgang fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Gesamtdauer für spätere Berechnungen.
Das zweite Experiment zeigt zweidimensionale Projektil Bewegung. Richten Sie den Launcher wie das erste Experiment und stellen Sie den anderen Pol vier Meter entfernt, auf gleicher Höhe. Befestigen Sie den Eimer zu diesem zweiten Pol mit der Klemme, und stellen Sie den Eimer, so ist es auf der gleichen Höhe wie die Spitze der Trägerrakete.
Befestigen Sie den 2-Meter-Stick in der Mitte die Konfiguration, und positionieren Sie es so gibt es mindestens einen Meter über der Höhe der Launcher oder y0. Passen Sie das Startprogramm, so ist es bei einem Winkel von 45 Grad aus der vertikalen ist ein Launch-Winkel von 45 Grad aus der horizontalen. Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
Nun starten Sie den Ball und starten Sie die Stoppuhr im selben Augenblick. Messen Sie die gesamte Flugzeit für den Ball in den Eimer zu landen. Beachten Sie und notieren Sie die maximale Höhe, die der Ball erreicht. Wiederholen Sie dieses Experiment fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Gesamtdauer für spätere Berechnungen.
Für das Experiment demonstriert Bewegung in einer Dimension war die Anfangsgeschwindigkeit des Balles aus dem Start-Mechanismus 6,3 Metern pro Sekunde. Sich erinnern, wenn ein Ball gerade geworfen wird, ist seine Geschwindigkeit 0 an der Spitze. Mit diesen Informationen und der Kinematik Formel für Geschwindigkeit berechnen wir den Ball theoretische Anstiegszeit 0,64 Sekunden sein. Dies mit 2 multipliziert gibt uns die errechnete Flugzeit. Mit Hilfe der Formel für Position, können wir dann die Peakhöhe 2,02 Meter zu berechnen.
Die theoretischen und gemessenen Ergebnisse sind vergleichbar, in experimentellen Fehler, überprüfen die Kinematik Gleichungen für eindimensionale Bewegung
Für das Experiment demonstriert Bewegung in zwei Dimensionen startete der Ball mit einer Geschwindigkeit von 6,3 Metern/Sekunde in einem 45-Grad-Winkel. Um seine Projektil Bewegung berechnen, ermitteln Sie zunächst die X- Komponente des die Anfangsgeschwindigkeit -V•cosθ- und die y -Komponente von der ursprünglichen Geschwindigkeit -V•sinθ. Dann mithilfe der vertikalen Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung bestimmen die Zeit Peakhöhe, zu erreichen, die herauskommt, 0,45 Sekunden sein. Daher ist die Gesamtflugzeit doppelte dieser Wert oder 0,9 Sekunden.
Um die maximale vertikale Verschiebung zu berechnen, verwenden Sie die vertikale Anfangsgeschwindigkeit, die Erdbeschleunigung und die Anstiegszeit. Dies gibt uns die theoretische maximale y -Verschiebung von 1 Meter. Um die maximale horizontale Verschiebung zu berechnen, verwenden Sie die horizontale Anfangsgeschwindigkeit und Gesamtflugzeit, die theoretische maximale X -Verschiebung von 4 Metern ergibt.
Wieder stimmt Theorie gut mit dem Experiment, Validierung der Kinematik Gleichungen für zweidimensionale Bewegung.
Die Verwendung von Kinematik und das Verständnis von Projektil Bewegung sind wichtig und oft unsichtbar, in vielen alltäglichen Anwendungen.
Automobil-Ingenieure verwenden oft Kinematik um verschiedene Car-Spezifikationen zu berechnen.
Einer von ihnen ist das Anhalten oder Bremsweg, die ist eine wichtige Sicherheits-Parameter, der eindimensionalen Kinematik Gleichungen berechnet werden kann
Ohne es zu wissen, führt ein Golfer Kopfrechnen mit Kinematik mit jedem Schlag des Clubs. In der Hoffnung für ein Hole-in-One, der Golfer schwingt, schlägt den Ball und startet es mit einer gewissen Geschwindigkeit und Winkel über den Platz fliegen. Der Golfball ideal zweidimensionale Weg gehorcht die Gleichungen für Projektil Bewegung.
Sie habe nur Jupiters Einführung in die Kinematik und Projektil Bewegung beobachtet. Sie sollten jetzt wissen, wie man kinematische Gleichungen verwenden, um die Flugbahn eines Objekts in einer oder zwei Dimensionen bewegen zu berechnen. Wie immer vielen Dank für das ansehen!
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Results
Repräsentative Ergebnisse aus Schritt 1 und 2 des oben genannten Verfahrens sind unten in Tabelle 1aufgeführt. Diese Tabelle enthält die maximale Höhe der Ball erreicht in 1 und 2 Dimensionen, mit einem bekannten Anfangsgeschwindigkeit und Gesamtflugzeit. Der Wert der experimentell gemessenen maximalen vertikalen Verschiebung wird verglichen mit Gleichung 15berechnet, deren Wert findet sich auch unter. Die Tabelle enthält auch die maximale horizontale Verschiebung des Balles für die 2-dimensionalen Experiment. Dies ist im Vergleich mit den berechneten Wert aus Gleichung 13 mit dem bekannten Anfangsgeschwindigkeit und gemessenen Flugzeit. Diese beiden Ergebnisse passen sehr gut, die überprüft der kinematischen Gleichungen.
| Berechnete Flugzeit (s) | Berechneten y (m) | Durchschnittliche gemessen Flugzeit (s) | Durchschnittliche gemessene y (m) |
| 1.28 | 2.02 | 1.22 | 2.1 |
Tabelle 1. Berechnet und Messergebnisse in einer dimension .
| Berechnete Flugzeit (s) | Berechneten y (m) | Berechneten X (m) | Durchschnittliche gemessen Flugzeit (s) | Durchschnittliche gemessene y (m) | Durchschnittliche gemessene X (m) |
| 0,9 | 1.01 | 4.01 | 1.02 | 1.1 | 4 |
Tabelle 2 . Berechnet und Messergebnisse in zwei Abmessungen.
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Applications and Summary
Kinematik wird in den unterschiedlichsten Anwendungen eingesetzt. Das Militär nutzt diese kinematischen Gleichungen um zu bestimmen, den besten Weg um Ballistik zu starten. Für eine höhere Genauigkeit ist das Ziehen der Luftwiderstand in den Gleichungen enthalten. Auto produziert Verwendung Kinematik, Spitzengeschwindigkeiten und Bremswege herauszufinden. Um abzunehmen, müssen Flugzeuge eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen, bevor sie aus der Start-und Landebahn. Mit Kinematik ist es möglich berechnen, wie schnell der Pilot muss beim Abheben an einem bestimmten Flughafen zu beschleunigen.
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