Overview
资料来源: 布莱克斯堡弗吉尼亚理工大学土木与环境工程系罗伯特. 里昂
在土木工程的设计中, 重要的是要交付不仅是在意想不到的负荷下安全的结构, 而且在合理的经济成本下, 在日常负荷下提供优异的性能。后者通常与材料的最低使用、易于制造和在现场的快速施工联系在一起。钢构件的结构由于材料的巨大强度和构件和连接的广泛预制, 可以很经济地实现, 这有助于最大限度地提高现场施工速度。一般情况下, 钢结构的骨架将非常细长, 与钢筋混凝土结构相比。虽然其张力的行为主要由材料的强度来控制, 但在压缩过程中钢是受所有材料-屈曲的另一种失效模式所控制的。这种行为很容易证明, 按下一个细长的木尺, 在压缩载荷下会突然移动侧身和失去承载能力。这种现象将发生在任何结构细长的成员。在本实验室, 我们将测量一系列细长铝柱的屈曲能力, 以说明这种破坏模式, 随着时间的推移, 导致了许多灾难性的失败, 包括1918年竖立的魁北克河桥。
Principles
由于屈曲现象很容易被观测到, 它是众所周知的自古以来, 但对屈曲问题的分析洞察直到 1700s, 当物理学的数学基础成为一个受欢迎的学科的研究。莱昂哈德·欧拉欧拉, 著名的瑞士数学家, 是第一个提供解决的屈曲负载的简支柱在1742年。欧拉提出了他的解决方案的理由是, 一个完美的直列可以在平衡的两个配置: 一变形和变形的一个 (稍微弯曲的位置)。
对于变形柱, 欧拉假设平衡在一个稍微弯曲的配置, 其中外部矩, 由负载P作用于偏心y, 由内部矩 (M) 平衡:
(Eq 1)
数量y是沿长度z的横向位移。y的第一导数是斜率, y 的第二导数是成员的曲率。内阻与曲率成正比, 或由弯曲刚度 (EI) 除以内部力矩, 因此:
(Eq 2)
在这个方程E是弹性模量的弹性,我是转动惯量的时刻, 一个几何性质的部分。将 (eq 2) 改为 (eq 1), 并将其设置为等于零, 给出了传统的屈曲微分方程, 其中 y 为水平变形, k 是用于简化方程的替代变量。
(Eq 3)
如果我们假定沿其长度z的柱形变形是通过以下形式给定的:
(Eq 4)
并且柱子有固定的末端, 并且这些末端没有侧向互相偏移, 则z = 0和L的边界条件, 横向位移, 是零。因此
(Eq 5)
其中 N = 12,..。N 的最低值为 1, 即弹性屈曲载荷 (p临界或 p cr)。对于具有固定端的列 (即, 两端可自由旋转, 但不转换为上面给定的边界条件), Pcr由欧拉屈曲荷载提供:
(Eq 6)
必须注意的是, 这个方程不包含任何与材料强度有关的术语, 仅限于其弹性模量 (E)、尺寸和长度。由矩形零件组成的截面的转动惯量 (I) 由两个分量的截面质心的求和所给出: 单个矩形的转动惯量 (bd3/12) 加上其面积 (a) 乘以其从整个截面质心的距离 (d):
(Eq 7)
Eq 7 强调, 我的价值可以大大增加, 把大部分材料尽可能远离质心尽可能 (即最大化 d)。例如, 对于固定的总面积为13在.2中, 你可以选择两个发行: (a) 一个长方形13英寸 x 1 in., 导致总 I 183 在.4, 或者 (b) W 形状的部分与二个法兰6.5 在. x 0.45 in. 与网络连接0.35 in. x 19.1 英寸, 导致总计761在.4。显然 W 形状将是一个更有效地使用材料的压缩, 因为它将提供超过4倍的屈曲能力。实际标准鞍钢 W 形状与面积13在.2, 一个 W21x44 (名义深度 21 in 和重量44磅每脚) 提供843的 I 在.4或4.5 倍那长方形部分。
惯性矩 (I) 和面积 (A) 之间的关系是由回转半径 (r) 定义的:
(Eq 8)
屈曲能力有时表示为临界应力 (Fcr), 通过划分临界负荷的区域:
(Eq 9)
需要记住的是, eq 的推导中存在一些局限性. (6) 和 eq. (9) 由于他们假设:
- 纯粹弹性行为, 因而他们是有效的仅由材料的比例极限。
- 载荷在柱心上应用, 在实际中很难实现。因此, 意外的初始怪癖将在设计中发挥作用。
- 专栏最初是完全平直的。由于钢的形状是由轧制过程产生的, 他们将有一个拱度和扫 (即, 他们将略有弯曲沿两个主轴)。这些最初的缺陷是小的, 在 L/1000 的顺序, 但将使真正的专栏行为偏离理想化的专栏。
- 偏转的形状, 在我们的情况下采取了三角函数的形式 (即正弦和余弦函数的组合)。对于这种情况, 我们实际上使用了正确的分析解决方案, 但这并不总是可能的。一般来说, 任何近似于正确解的函数都会给出一个令人满意的近似, 但不是一个精确的解。
- 理想化的结束条件。为了求解屈曲载荷, 必须建立数学问题的边界条件, 并假定该柱有固定的端点。此外, 据认为, 这一列的两端没有横向相互转换 (即, 这是在支撑框架中发生的摇摆阻止的情况, 而不是在无支撑框架中发生的摇摆允许的情况)。在现实生活中, 这些理想化的条件只能是近似的。
- 不存在任何残余应力, 产生于在生产过程中的钢型材的冷却和轧制。这些应力产生的结果比预期的早, 惯性力矩的损失, 因为截面产生的弹性模量为零。当柱刚度减小时, 柱的容量必须减小, 因为 Eq 1 在分子中有 EI。
第二、第三和最后的限制通常被看作是最初的缺陷, 它们的大小与已建立的构造和制造公差相结合。已制定了列设计曲线, 以令人满意地解决这些问题。
如果不完善系统的承载能力大大低于完善系统, 则认为结构/机械系统的缺陷敏感。反之, 如果由于不完善, 系统被认为是不敏感的, 如果没有 loadcarrying 容量损失。如果一个列是直的, 并且负载是同心的, 则说它是一个完美的列。虽然这是不可能的在实践中, 我们是幸运的, 因为专栏是不完美的不敏感, 因此不会有任何突然损失负荷能力在正常负荷下。另一方面, 球体和气缸是不完善敏感的, 因此, 必须在建造炮弹 (圆顶, 冷却塔, 和储罐) 和其他这样的结构, 以获得正确的几何非常小心。缺陷的影响是加速侧向偏转率, 因为它们往往增加柱的弯矩。
与第五假设有关的限制, 即边界条件, 可以简单地使用有效长度的概念 (kL) 来处理。有效长度因子k给出了拐点点 (即零矩点或沿柱的零曲率) 的长度比例。因此, Eq (9) 可以重写为:
(Eq 10)
分母 (kL/r) 被称为柱的细长。低价值 (例如, kl/r < 20) 是一个粗壮的专栏的同义词, 这是不太容易屈曲, 而一个大的价值 (例如, kL/r > 100) 是同义词与细长柱, 这是非常容易屈曲。
应注意的是, 设计的临界应力 (σcr) 以材料屈服强度为上限 (σy)。这一约束意味着, 对于任何给定的钢强度, 说σy = Fy = 50 ksi ,将有一个细长的下面, 屈曲不会发生。如果我们把σcr = 50 ksi 在 Eq. (10), 极限长细为吉隆坡/r < 75.6。
另外一个重要的警告是, 上面的公式表明, 当轴向载荷达到临界值时, 屈曲会突然发生 (Pcr)。在数学上, 这一事实表明, 屈曲是一个分岔问题。由于初始缺陷、意外怪癖和残余应力等因素的影响, 弹性屈曲应力与壁球载荷之间会发生过渡。这些初始缺陷的结果是, 在现实生活中, 弹性屈曲曲线与屈服极限状态之间会有平滑的过渡。
在这一点上, 必须指出, 讨论中的不稳定或屈曲现象只是可能发生的许多问题之一。不稳定性发生在本地和全球两级。全局级不稳定性是指所有元素 (元素被定义为构成形状的任何矩形截面) 在屈曲期间一起移动。只有其中一个元素移动时, 才会发生局部屈曲。全球屈曲的例子有:
- 弯曲屈曲, 这是上面讨论的情况。
- 扭屈曲, 截面扭转其纵向质心。具有小扭刚度 (J) 的截面容易发生这种类型的故障。
- 弯扭或侧扭屈曲是前两种整体屈曲的组合, 是梁的主要不稳定模式。
- 剪力屈曲, 在深梁薄腹板中由于对角方向的张力场的形成而发生屈曲。
节也可以在本地扣。这是类似的每一节柱屈曲单独作为一个板块。局部屈曲受截面的宽度-厚度比 (b/t) 或长细比和板块长宽比 (b/a, 其中a为长度) 的制约。细长度取决于板的两个边是否连接到另一节 (加筋大小写), 或者是否仅连接一个边 (圆贯大小写)。一个宽度b和厚度t的板的屈曲能力, 类似于 Eq. (10) 为专栏, 由:
(Eq 11)
屈曲系数 K 反映了板的边界条件和纵横比 (长宽)。K 值在结构设计手册中得到广泛的应用。
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Procedure
- 获得几个1in 的长片. ¼铝棒 (6061 或类似), 并将其剪切到72、60、48、36、24、12和8的长度分别。圆的两端的酒吧到周长 1/8 in。
- 测量条形图 (长度、宽度和厚度) 到最近0.02 的尺寸。
- 机器两个小块钢 (2 英寸 x 2 英寸), 有一个非常平滑的½. 沿其一侧的圆形穿透, 作为柱端支撑。 在另一侧提供一个插入件, 以便该块可以固定到测试机上。
- 将块和测试标本插入测试机中。一定要尽可能仔细地对准标本, 以消除怪癖。
- 将试验机设置在挠度控制上, 并对其进行编程, 使其缓慢地应用0.2 的变形, 并记录载荷和轴向变形。 限值可以随长度的不同而变化, 但当负载稳定或达到最大容量时不超过20% 的负载时, 应停止测试。
- 记录到达的最大负载并填写结果表。
- 对所有列重复步骤1.4 到1.6。
屈曲现象对于设计在意外荷载下安全的结构具有重要的意义, 在合理的成本下, 在日常负荷下也能提供优异的性能。
由于材料的强度, 与砖或钢筋混凝土相比, 钢结构的骨架非常细长。钢构件的预制提高了现场施工速度, 使钢结构比其他建筑材料更经济。
在荷载作用下, 结构元件受到张力或压缩力的压迫。在张力下, 钢的行为主要受材料强度的制约。在压缩下, 钢受到屈曲。这种现象发生在任何细长的结构中, 对材料漠不关心。
屈曲由柱的突然侧向偏转组成。应用负荷的小幅增加可能导致结构突然和灾难性崩溃。由于结构下部构件的屈曲, 魁北克河桥的倒塌是这种灾难性失败的一个例子。本视频将讨论屈曲失效模式, 并说明如何确定细长柱的屈曲能力。
轴压载荷下的柱体会扣紧, 或突然侧移, 并失去承载能力。欧拉, 瑞士数学家, 是第一个提供解决的屈曲负载, 通过推理, 一个完美的直列可能是一个平衡, 在两个配置: 一个变形和变形的一个。
欧拉假设在平衡在一个轻微地变形的配置, 内部片刻 M 由负载 P 给的外在片刻平衡由作用在偏心 y。侧向位移 y 的第二导数是成员的曲率。此量与内部电阻或内部力矩成正比, 由弯曲刚度除以。
在这个方程中, E 是弹性模量, 而我是转动惯量的矩, 是截面的几何性质。通过将第一个方程替换为第二个方程, 得到了屈曲的微分方程, 其中 k 是一个替代变量。
假设柱变形是由以下函数给出的。我们还假定该列有固定的两端, 而不会在彼此的侧面偏移。然后, 在 z 等于零和 z 等于 L 的边界条件由横向位移 y 等于零。因此, kL 等于 N pi。在这里, N 是一个整数, 它的最低值是弹性屈曲负载 P 关键。对于具有固定端的柱, 用欧拉屈曲载荷给出 P 临界。
临界负载是可能导致列扣的最小负载。请注意, 此方程不包含与材料强度有关的任何术语, 仅限于其刚度和尺寸。为了增加一列临界载荷的值, 我们可以最大程度地实现惯性力矩。
让我们考虑一个 W 形状的部分。对截面质心的转动惯量是由每个矩形转动惯量的总和给出的。对于每个矩形, 总矩有两个分量。单个矩形的转动惯量, 加上它的面积, 乘以它与整个截面质心的距离。因此, 我的价值可以大大增加, 把大部分材料尽可能远离质心。
转动惯量与面积 A 的关系是由回转 r 半径确定的。屈曲能力有时表示为临界应力, Fcr, 通过划分的临界负荷的区域。请记住, 在用欧拉理论推导屈曲能力时, 有一定的局限性, 因为我们假设: 纯粹的弹性行为, 荷载在柱子的质心上, 柱最初是完全直的, 一个偏转形状,给出一个精确的解, 理想化的边界条件, 没有任何残余应力。
这些限制通常被视为不完美, 它们的大小是建立建筑公差的关键。在欧拉屈曲能力的表达式中引入了有效的长度因子 k, 可以处理与边界条件有关的限制。分母被称为柱子的细长。这个因子的低值, 例如小于 20, 是一个粗壮的列的同义词。虽然一个大的价值, 例如高于 100, 是同义词与细长专栏非常容易屈曲。
让我们现在把临界应力作为有效长细 lambda 的函数来绘制。临界应力受材料屈服强度的限制。这意味着, 对于任何给定的钢强度, 将有一个价值的细长以下的屈曲将不会发生。欧拉公式表明, 当轴向载荷达到临界值时, 屈曲会突然发生。然而, 由于结构不完善, 弹性屈曲应力与壁球载荷之间存在着过渡。因此, 在现实生活中, 弹性屈曲曲线与屈服极限状态之间会有平滑的过渡。
现在你明白了欧拉屈曲理论, 让我们用它来分析细长金属柱的屈曲能力。
有一组测试标本, 由一英寸的一个季度英寸的铝棒切割到长度不等, 从八英寸到72英寸。机器两端的每个标本的半径为1/8 英寸。将每个试样的尺寸、长度、宽度和厚度测量到最接近的0.02 英寸。
制造一个测试夹具的标本从两个小块钢约两英寸的一侧。机器一个非常平滑, 半英寸圆形凹槽沿一侧与标本交配。在凹槽的两侧, 应提供一个用于固定在万能试验机上的插入件。在开始测试之前, 请熟悉机器和所有安全程序。用试样将钢块插入试验机, 确保所有的东西都小心地对准以消除怪癖。
在测试软件中, 将机器设置为偏转控制, 并记录载荷和轴向变形。程序将机器慢慢地应用到0.2 英寸的变形, 然后开始测试。这个极限可以是不同的标本长度, 但测试应停止时, 负载已稳定或之前, 它下降超过20% 的最大容量。
测试完成后, 记录此样本所达到的最大负载。然后重置机器并对剩余试样重复测试过程。测试完所有标本后, 您就可以查看结果了。
首先, 计算细长参数 lambda, 然后使用欧拉公式计算每个试样的屈曲应力。接下来, 使用材料强度计算的特点细长以下的屈曲不会发生。
将屈曲应力与材料强度的比值绘制成长细比的函数。在同一图上, 也为所有试样绘制了实测的屈曲载荷与材料强度正常化。现在, 将测量值与计算值进行比较。
实验结果显示两个不同的区域。当柱相对长时, 数据跟随欧拉屈曲曲线。当柱子开始变短时, 临界载荷开始接近材料的强度。在这一点上, 行为从一个纯粹的弹性到一个局部的非弹性的, 接近渐近的柱壁载荷。
屈曲的重要性在建筑行业得到了很好的认可, 钢结构设计的前提是对屈曲问题有很好的把握。
经济和设计要求最大限度地减少材料体积, 同时防止屈曲不稳定性。在桥梁结构中, 这是通过广泛使用 W 形构件, 并在桥板梁中加入加劲筋, 以减少板中的屈曲长度。
如果结构系统的承载能力大大低于完善系统, 则称其为缺陷敏感。虽然柱子是不敏感的, 球体和圆筒是敏感的不完美, 因此, 必须在建造贝壳时给予很大的注意;例如, 圆顶、冷却塔、储罐等结构, 以获得正确的几何形状。
你刚刚看了朱庇特关于钢柱屈曲的介绍。你现在应该了解如何运用欧拉的屈曲理论来确定细长金属构件的屈曲能力。
谢谢收看!
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Results
将结果从表中绘制为屈曲应力与长细 (kL/r), 以及 Eq 所给出的曲线. 9。将结果与预测值进行比较。实验结果显示两个不同的区域。当列相对较长时, 通过将 Eq 乘以9到列的区域来给出临界负载。 当柱子开始变短时, 临界载荷开始接近材料的强度。在这一点上, 行为从一个纯粹的弹性一到一个部分非弹性的, 接近渐近的壁球负荷的专栏。当柱扣弹性时, 变形可能会突然变成每一个大的, 并在屈曲成员或相邻的部分中触发失败, 因为屈曲的成员会将其载荷排出。因此, 在设计中, 防止主结构构件弹性屈曲失效是很重要的。
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Applications and Summary
实验证明了欧拉法计算简单柱局部屈曲荷载的有效性。虽然在边界条件不知名的情况下, 问题变得复杂得多, 但该成员不是棱镜, 或者如果材料不呈现双线性应力-应变曲线, 则问题的解决方法也遵循相同的一般过程。在许多实际的情况下, 不可能精确地求解产生的微分方程, 但有许多数值方法可以应用于近似解决这些问题的方法。屈曲的重要性在建筑业的格言中得到承认, 认为钢结构的成功设计是基于对屈曲问题的良好把握, 而钢筋混凝土结构的成功设计是基于良好详细。
设计中的经济要求最大限度地减少材料的体积。这一细节尤其适用于金属建筑和桥梁结构, 其中材料成本是总结构成本的重要部分。一般来说, 最小化成本归结为获得最低的升/r。对于固定 L, 这意味着获得最大可能r (或最大 I 为一个给定的), 导致广泛使用 W 形成员。对于固定r, 这意味着减少 L, 这需要使用支撑的成员。对于 W 形状, 将同时存在 ix和 iy, 以及相应的 (kl/r)x和 (kl/r)y;为了优化设计, 这两个值应该是相互接近的, 这通常是通过在 y 方向上提供更多的支撑来获得的。另一种防止屈曲的方法是增加加劲肋, 从而降低板的屈曲长度;这些例子包括桥板梁的加劲筋和冷态结构构件的加劲唇。
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