Overview
מקור: קטרון מיטשל-ווין, PhD, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה
ניסוי זה מדגים את הקינטמטיקה של התנועה בממד 1 ו-2. מעבדה זו תתחיל בחקר תנועה בממד אחד, תחת תאוצה מתמדת, על ידי שיגור קליע ישירות כלפי מעלה ומדידת הגובה המרבי שהגיע אליו. מעבדה זו תוודא שהגובה המרבי אליו הגיע עולה בקנה אחד עם המשוואות הקימטיות הנגזרות להלן.
תנועה ב 2 ממדים תודגם על ידי שיגור הכדור בזווית θ. באמצעות המשוואות הקיינמטיות שלהלן, ניתן לחזות את המרחק למקום שבו הקליע ינחת בהתבסס על המהירות הראשונית, הזמן הכולל וזווית המסלול. פעולה זו תדגים תנועה קינאמטית עם האצה החוצה בכיווני y ו- x,בהתאמה.
Principles
כל מדידה של הקינטמטיקה של אובייקט, כגון מיקום, תזוזה ומהירות, חייבת להתבצע ביחס למסגרת התייחסות כלשהי. כיוון x של צירי הקואורדינטות יתאים לכיוון האופקי, ו- y לאנכי. מקור צירי הקואורדינטות (0, 0), יוגדר כמיקום ההתחלתי של החלקיק (כאן, כדור).
תנועה בממד אחד
בואו נתחיל על ידי התחשבות בתנועה 1-ממדית של כדור על פני מרווח זמן מסוים t, המתאים למיקום y. ציין את השעה ההתחלתית כ- t0, המתאימה למיקום y0. עקירת הכדור, ΔY, מוגדרת כ:
Δy = y - y0. (משוואה 1)
המהירות הממוצעת של הכדור, v-, היא ההעתקה חלקי הזמן שחלף:
v-= (y - y0)/(t - t0) = Δx/Δt.(משוואה 2)
המהירות המיידית, v, היא המהירות על פני מרווח זמן קטן מאוד, המוגדר כ:
v = limΔt→→ 0 (Δx/Δt). (משוואה 3)
התאוצה הקבועה, a, היא השינוי במהירות חלקי הזמן שחלף:
a = (v - v0)/(t - t0). (משוואה 4)
הגדר t0 = 0 להיות הזמן ההתחלתי ולפתור עבור v במשוואה האחרונה כדי לקבל את המהירות כפונקציה של זמן:
v = v0 + at. (משוואה 5)
לאחר מכן, חשב את המיקום y כפונקציה של זמן באמצעות משוואה 2. y מתויג מחדש כ:
y = y0 + v-t. (משוואה 6)
תחת תאוצה קבועה, המהירות תגדל בקצב אחיד, כך שהמהירות הממוצעת תהיה באמצע הדרך בין המהירות ההתחלתית והאחרונה:
v- = (v0 + v)/2. (משוואה 7)
החלפת זה במשוואה 6 ושימוש בהגדרה של מהירות מיידית מעניקה משוואה חדשה עבור y:
y = y0 + v0t + 1/2ב- 2. (משוואה 8)
t נפתר על-ידי החלפת משוואה 7 במשוואה 6:
t = (v - v0)/a. (משוואה 9)
החלפת t במשוואה 6 ושוב באמצעות ההגדרה של משוואה 7 משנה שוב את המשוואה עבור y:
y = y0 + (v + v0)/2 (v - v0)/a = y0 + (v2 - v02)/2a. (משוואה 10)
פתרון עבור v2 נותן:
v2 = v02 + 2a(y - y0). (משוואה 11)
אלה המשוואות השימושיות המתייחסות למיקום, מהירות, תאוצה וזמן כאשר קבוע.
תנועה ב-2 dimensions
עכשיו, תנועה ב-2 מימדים תילקח בחשבון. משוואות 5, 7, 8ו- 11 מהוות קבוצה כללית של משוואות קינאמטיות בכיוון y. אלה ניתן להרחיב לתנועה ב 2 ממדים, x ו Y, פשוט על ידי החלפת רכיבי y עם רכיבי x. קחו למשל קליע שהושק במהירות התחלתית v0בזווית θ ביחס לציר x,כפי שמוצג באיור 1. מהאיור ניתן לראות שרכיב הכיוון xלמהירות ההתחלתית, vx,0, הוא v0cos(θ). באופן דומה, y-כיוון, vy,0 = v0חטא(θ).
הוארק מאיץ את חוויות החלקיקים הוא כוח המשיכה בכיוון yהשלילי. לכן, המהירות בכוון xהיא קבועה. המהירות בכיוון yמגיעה למינימום בשיא הפרבולה, באמצע ההעתקה, ב- t/2, כאשר t הוא הזמן הכולל. השתמש במשוואות לעיל כדי לתאר תנועה דו-ממדית זו עם משוואות. במסגרת קואורדינטות זו, המקור (0,0) מתאים ל- (x0, y0). החל מכוון x
x = x0 + vx,0 t + 1/2 axt 2 (משוואה12)
= v0 cos(θ)t. (Equation 13)
בכיוון y
y = y0 + vy,0t + 1/2 ay t2 (משוואה 14)
= v0sin(θ)t - 1/2 g t2,(משוואה 15)
איור 1. תנועת קליעים ב-2 מימדים. קליע מושק במהירות התחלתית v0בזווית θ ביחס לציר x. שני רכיבי המהירות הם vxו-v y, כאשר V = vx +vy.
wכאן g הוא תאוצת הכבידה. אם מודדים את הזמן שלוקח לקליע להשלים את הנתיב שלו ואת הזווית θ ואת המהירות ההתחלתית v0ידועים, ניתן לחשב את ההעתקה בכיווני x ו- y. לפני תחילת הניסוי הזה, מהירות הלוע של המשגר, 6.3 מ'/ש', ידועה. חישובי עקירה אלה יושוו לתוצאות הניסוי. הליך דומה יכול להיעשות בממד אחד על ידי ירי הקליע ישירות כלפי מעלה, עם θ = 0.
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Procedure
1. תנועה בממד אחד.
- להשיג כדור, משגר עם בוכנה, שני קטבים, דלי, שני מלחציים, כבל בנג'י, ומקל 2 מ '.
- חבר את המשגר למוט, עם אורך של 2 מ 'של מוט מעליו.
- השתמש בוכנה למקם את הכדור במשגר במתח האביב המרבי.
- זווית המשגר ישירות כלפי מעלה כך θ = 0.
- הפעל את הכדור והשתמש בשעון עצר כדי למדוד את הזמן הכולל t שלוקח לכדור להגיע לגובה המרבי שלו. המיקום הראשוני הוא המקום שבו הכדור יוצא מהמשגר.
- שימו לב שהכדור מגיע לגובה מרבי של 2 מטרים ועוצר באופן מיידי כשהוא מגיע לגובה הזה.
- חזור על שלבים 1.5-1.6 חמש פעמים והשתמש בזמן הממוצע לחישובים.
2. תנועה ב-2 מימדים.
- הגדר את המשגר ואת הקוטב השני 4 מ 'זה מזה, באותו גובה אופקי. חברו את הדלי לעמוד השני באמצעות חבל המלחציים והבנג'י(איור 2). גובה הדלי צריך להיות זהה לגובה שבו הכדור יוצא מהמשגר.
- השתמש בוכנה למקם את הכדור במשגר במתח האביב המרבי.
- זווית המשגר בזווית של 45° כך θ = π /4.
- השתמש בשעון עצר כדי למדוד את הזמן הכולל שלוקח לכדור לנחות בדלי.
- שימו לב לגובה המשוער אליו מגיע הכדור.
- חזור על שלבים 2.4-2.5 חמש פעמים והשתמש בזמן הממוצע לחישובים.
איור 2. התקנה ניסיונית.
Kinematics הוא תיאור התנועה, אשר לעתים קרובות תוצאה חשובה של אירועים פיזיים רבים ותופעות.
תנועה יכולה להיות חד-ממדית, דו-ממדית או תלת-ממדית. המשוואות החלות על תנועת האובייקט בכל המקרים הללו משתמשות בכמויות הווקטוריות של המיקום - שהיא תזוזה ביחס למקור, למהירות - שהיא שינוי במיקום עם הזמן, ותאוצה - שהיא שינוי במהירות עם הזמן.
עם מידע זה, ניתן לחשב את הנתיבים של גופים נופלים חופשיים, את המסלולים של קליעים, ואת המסלולים של כוכבי לכת, לתת רק כמה דוגמאות.
כאן נתמקד במשוואות קינפטיות הקשורות לעלייה ונפילה חד-ממדית של עצם וקשת דו-ממדית של עצם המשוגר בזווית
לפני תיאור התנועה, יש צורך במערכת קואורדינטות, או מסגרת התייחסות. בדרך כלל, ציר ה- x אופקי וציר ה- y אנכי. המקור שרירותי אך לעתים קרובות הוא נקודת המוצא של האובייקט.
בואו נשקול כדורסל שמוצב במקור ונזרוק ישר למעלה. מיקום הכדור הוא המרחק והכיוון שלו מהמקור ויש לו יחידות של מטרים.
מהירות ממוצעת vy הוא שינוי המיקום Δy חלקי השינוי בזמן ΔT, ויש לו יחידות של מטר לשנייה. עם זאת, כאשר Δt מתקרב לאפס, משוואת המהירות הממוצעת הופכת לאחת למהירות מיידית .
למעשה, חשוב על מהירות מיידית על המהירות באותו רגע. אז בהתחלה המהירות המיידית v0 היא מהירות השיגור, ובעקבות זאת המהירות המיידית פוחתת ברציפות עד שהיא אפסית בשיא.
הירידה במהירות עקב תאוצה מתמדת המסופקת על ידי כוח המשיכה של כדור הארץ, אשר מתנגד לתנועת הכדור והוא שלילי במערכת קואורדינטות זו.
בתנאי האצה קבועים כאלה, היחסים הקינסמטיים מובילים למשוואות אלה עבור גודל המהירות והמיציב המיידיים בממד אחד. באמצעותם, אנו יכולים לחשב את תנועת האובייקט בכל זמן נתון
בואו ניישם את הנוסחות האלה על דוגמת הכדורסל. נניח כי מהירות השיגור של הכדורסל, v0, היא 20 מטר לשנייה. אנחנו יודעים שהמהירות המיידית הסופית של הכדור בשיא היא אפס. התאוצה כאן היא שלילית g, שכן הוא מתנגד לתנועת הכדור. לכן, על ידי ארגון מחדש של משוואת הקינטמטיקה הזו, אנו יכולים להשיג t -- זמן העלייה, אשר יוצא להיות כשתי שניות. עכשיו, באמצעות הנוסחה הקינטמטית למיקום, ואומר כי המיקום הראשוני y0 הוא אפס, אנחנו יכולים לחבר את הערכים עבור האצת מהירות השיגור עקב כוח המשיכה וזמן העלייה, כדי לחשב את ההעתק המרבי, שהוא גובה השיא כאן, של כ 20.4 מטר. לאחר שהגיע לשיא, הכדור נופל במשך שתי שניות במהירות הולכת וגוברת עד שהוא פוגע בקרקע במקום שבו הוא התחיל, מה שהופך את זמן הטיסה הכולל להיות כ -4 שניות.
עבור שני ממדים, התנועות האנכיות והאופקיות של אובייקט אינן תלויות זו בזו וניתן לטפל בהן בנפרד, כאשר התוצאה נטו היא הסכום הווקטורי. באמצעות תובנה זו, כל קשת תנועת הקליע עשויה להיות מפורקת לשתי תנועות נפרדות וחד-ממדיות.
בואו נלמד את זה באמצעות דוגמה: קנקן זורק בייסבול במהירות התחלתית של 20 מטר לשנייה בזווית של שלושים מעלות מהקרקע. הרכיב האנכי ההתחלתי של המהירות הוא מהירות זו כפול הסינוס של 30 מעלות, או 10 מטר לשנייה. הרכיב האופקי ההתחלתי הוא המהירות כפול הקוסינוס של 30 מעלות, או כ-17 מטר לשנייה.
במהלך זמן העלייה של הבייסבול, המהירות האנכית היא כלפי מעלה עם מהירות יורדת עקב כוח המשיכה. בשיא, שהוא נקודת האמצע, המהירות האנכית היא אפס לרגע. ואז במהלך זמן הסתיו, זה כלפי מטה עם מהירות גוברת.
תוך התעלמות מהתנגדות האוויר, לתנועה אופקית אין תאוצה ולכן יש מהירות קבועה.
חיבור וקטורי של מיקומים אנכיים ואופקיים ומהירויות אנכיות ואופקיות מייצר את הקשת של תנועת הקליע. סכום זמני העלייה והנפילה הוא זמן הטיסה הכולל, הקובע את הטווח, או את המרחק האופקי.
כעת, לאחר שראינו כיצד לחשב את הנתיבים של אובייקטים נעים, נבחן את המשוואות הקינסמטיות על כדור שנזרק ישר כלפי מעלה ואחד נזרק בזווית.
ניסויים אלה משתמשים בכדור, משגר עם בוכנה, שני קטבים, דלי, שני מלחציים, ומקל באורך שני מטרים ושעון עצר. שימו לב כי מהירות הלוע של המשגר היא 6.3 מטר לשנייה. לניסוי הראשון, המדגים תנועת קליע חד-ממדית, חברו את המשגר למוט ומקם את המקל של שני המטרים מעליו.
כווננו את המשגר כך שהוא יכוון ישירות כלפי מעלה בזווית של אפס מעלות מהאנכי. זה מתאים לזווית שיגור של 90 מעלות מהאופקי. שים לב למיקום האנכי של קצה המשגר, שבו הכדור ייצא, וייעד אותו y0. השתמש בוכנה למקם את הכדור במשגר במתח האביב המרבי.
הפעל את הכדור והפעל שעון עצר באותו רגע. מדוד את הזמן הכולל עבור הכדור לחזור לנקודת ההתחלה שלו במיקום אנכי y0 ולתעד את התוצאה כזמן טיסה. שימו לב שהכדור מגיע לגובה מרבי של כ-2 מטרים ועוצר לרגע בשלב זה.
חזור על הליך זה חמש פעמים והשתמש בזמן הכולל הממוצע לחישובים מאוחרים יותר.
הניסוי השני מדגים תנועת קליע דו-ממדית. הקימו את המשגר כמו בניסוי הראשון והניחו את הקוטב השני במרחק של ארבעה מטרים באותו גובה. חבר את הדלי לקוטב השני עם המהדק ולהתאים את הדלי כך שהוא באותו גובה כמו קצה המשגר.
חבר את מקל 2 מטר באמצע התצורה, ומקם אותו כך שיהיה לפחות מטר אחד מעל גובה המשגר, או y0. כוונן את המשגר כך שיהיה בזווית של 45 מעלות מהאנכי, שהיא זווית שיגור של 45 מעלות מהאופקי. השתמש בוכנה למקם את הכדור במשגר במתח האביב המרבי.
עכשיו להפעיל את הכדור ולהתחיל את שעון העצר באותו רגע. מדוד את זמן הטיסה הכולל עבור הכדור לנחות בדלי. שים לב ורשום את הגובה המרבי שהכדור מגיע אליו. חזור על ניסוי זה חמש פעמים והשתמש בזמן הכולל הממוצע לחישובים מאוחרים יותר.
עבור הניסוי המדגים תנועה בממד אחד, המהירות ההתחלתית של הכדור מתוך מנגנון השיגור הייתה 6.3 מטר לשנייה. זכור, כאשר כדור נזרק ישר למעלה, המהירות שלו היא 0 בשיא. עם המידע הזה ונוסחת הקינטמטיקה למהירות, אנחנו יכולים לחשב את זמן העלייה התיאורטי של הכדור להיות 0.64 שניות. הכפלת זה ב-2 נותנת לנו את זמן הטיסה המחושב. לאחר מכן, באמצעות הנוסחה למיקום, אנו יכולים לחשב את גובה השיא להיות 2.02 מטר.
התוצאות התיאורטיות והמדודות דומות, בתוך טעות ניסיונית, המאמתות את משוואות הקינטמטיקה לתנועה חד-ממדית
לניסוי הדגמת תנועה בשני ממדים, הכדור שוגר במהירות של 6.3 מטר לשנייה בזווית של 45 מעלות. כדי לחשב את תנועת הקליע שלו, תחילה קבעו את רכיב ה- xשל המהירות ההתחלתית-v•cosθ-ואת רכיב ה- y של המהירות ההתחלתית-v•sinθ. לאחר מכן השתמש במהירות האנכית ההתחלתית ובהאצה כדי לקבוע את הזמן להגיע לגובה השיא, שיוצא להיות 0.45 שניות. לכן, זמן הטיסה הכולל כפול מערך זה, או 0.9 שניות.
כדי לחשב את ההעתק האנכי המרבי, השתמש במהירות האנכית ההתחלתית, בתאוצה עקב כוח המשיכה וזמן העלייה. זה נותן לנו את ההעתק המקסימלי התיאורטי של מטר אחד. כדי לחשב את ההעתקה האופקית המרבית, השתמש במהירות האופקית ההתחלתית ובזמן הטיסה הכולל, מה שמביא להעתקה מקסימלית תיאורטית של 4 מטרים.
שוב, התיאוריה מסכימה היטב עם הניסוי, ומאמתת את משוואות הקינטמטיקה לתנועה דו-ממדית.
השימוש בקינומטיקה והבנת תנועת קליעים חשובים, ולעתים קרובות בלתי נראים, ביישומים יומיומיים רבים.
מהנדסי רכב משתמשים לעתים קרובות בקינאמטיקה כדי לחשב מפרטי רכב שונים.
אחד מהם הוא מרחק העצירה או הבלימה, שהוא פרמטר בטיחות חשוב שניתן לחשב באמצעות משוואות קינמטיות חד-ממדיות
בלי לדעת את זה, שחקן גולף מבצע חישובים מנטליים באמצעות קינמטיקה עם כל נדנדה של המועדון. בתקווה לחור באחד, שחקן הגולף מתנדנד, מכה את הכדור ומשגר אותו במהירות מסוימת וזווית לטוס על פני המסלול. הנתיב הדו מימדי האידיאלי של כדור הגולף מציית למשוואות השולטות בתנועת הקליע.
הרגע צפית בהקדמה של ג'וב לקינטיקה ותנועת קליעים. כעת עליכם לדעת כיצד להשתמש במשוואות קינמטיות כדי לחשב את המסלול של אובייקט הנע בממד אחד או שניים. כמו תמיד, תודה שצפית!
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Results
תוצאות מייצגות של שלבים 1 ו- 2 של ההליך לעיל מפורטות להלן בטבלה 1. טבלה זו רושמת את הגובה המרבי אליו הגיע הכדור בממדים 1 ו-2, עם מהירות התחלתית ידועה וזמן טיסה כולל. הערך של ההעתק האנכי המרבי הנמדד באופן ניסיוני מושווה לזה המחושב באמצעות משוואה 15, שערכה נמצא גם להלן. הטבלה גם רושמת את ההעתק האופקי המרבי של הכדור לניסוי הדו-ממדי. זאת בהשוואה לערך המחושב ממשוואה 13 באמצעות המהירות ההתחלתית הידועה וזמן הטיסה הנמדד. שתי התוצאות האלה תואמות היטב, מה שמאמת את המשוואות הקינטמטיות.
| זמן טיסה מחושב (ים) | מחושב y (m) | זמן טיסה ממוצע נמדד (ים) | ממוצע נמדד y (מ') |
| 1.28 | 2.02 | 1.22 | 2.1 |
טבלה 1. תוצאות מחושבות ונמדדות בממד אחד.
| זמן טיסה מחושב (ים) | מחושב y (m) | מחושב x (m) | זמן טיסה ממוצע נמדד (ים) | ממוצע נמדד y (מ') | ממוצע נמדד x (m) |
| 0.9 | 1.01 | 4.01 | 1.02 | 1.1 | 4 |
טבלה 2. תוצאות מחושבות ונמדדות בשני ממדים.
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Applications and Summary
Kinematics משמש במגוון רחב של יישומים. הצבא משתמש במשוואות הקינטמטיות האלה כדי לקבוע את הדרך הטובה ביותר לשגר בליסטיקה. לקבלת דיוק טוב יותר, גרירת התנגדות האוויר כלולה במשוואות. יצרני מכוניות משתמשים בקיינמטיקה כדי להבין מהירויות גבוהות ומרחקי עצירה. כדי להמריא, מטוסים חייבים להגיע למהירות מסוימת לפני שהם נגמרים מהמסלול. עם קינמטיקה, זה אפשרי לחשב כמה מהר הטייס יצטרך להאיץ בעת ההמראה בשדה תעופה מסוים.
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
