Overview
Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA
Questo esperimento dimostra la cinematica del movimento in 1 e 2 dimensioni. Questo laboratorio inizierà studiando il movimento in 1 dimensione, in costante accelerazione, lanciando un proiettile direttamente verso l'alto e misurando l'altezza massima raggiunta. Questo laboratorio verificherà che l'altezza massima raggiunta sia coerente con le equazioni cinematiche derivate di seguito.
Il movimento in 2 dimensioni sarà dimostrato lanciando la palla con un angolo θ. Usando le equazioni cinematiche di seguito, si può prevedere la distanza da dove atterrerà il proiettile in base alla velocità iniziale, al tempo totale e all'angolo di traiettoria. Ciò dimostrerà il movimento cinematico con e senza accelerazione nelle direzioni y e x,rispettivamente.
Principles
Qualsiasi misurazione della cinematica di un oggetto, come posizione, spostamento e velocità, deve essere effettuata rispetto a un sistema di riferimento. La direzione xdegli assi delle coordinate corrisponderà alla direzione orizzontale e y alla verticale. L'origine degli assi delle coordinate (0, 0), sarà definita come la posizione iniziale della particella (qui, una palla).
Movimento in 1 quota
Iniziamo considerando il movimento 1-dimensionale di una palla su un particolare intervallo di tempo t, corrispondente alla posizione y. Denotare il tempo iniziale come t0, che corrisponde alla posizione y0. Lo spostamento della palla, Δy, è definito come:
Δy = y - y0. (Equazione 1)
La velocità media della palla, v-, è lo spostamento diviso per il tempo trascorso:
v-= (y - y0)/(t - t0) = Δx/Δt.(Equazione 2)
La velocità istantanea, v, è la velocità su un intervallo di tempo molto piccolo, definita come:
v = limΔt→→ 0 (Δx/Δt). (Equazione 3)
L'accelerazione costante, a, è la variazione di velocità divisa per il tempo trascorso:
a = (v - v0)/(t - t0). (Equazione 4)
Impostare t0 = 0 per essere il tempo iniziale e risolvere per v nell'ultima equazione per ottenere la velocità in funzione del tempo:
v = v0 + at. (Equazione 5)
Quindi, calcola la posizione y in funzione del tempo usando l'equazione 2. y viene riemarcare come:
y = y0 + v-t. (Equazione 6)
In accelerazione costante, la velocità aumenterà a velocità uniforme, quindi la velocità media sarà a metà strada tra la velocità iniziale e quella finale:
v- = (v0 + v)/2. (Equazione 7)
Sostituendo questo nell'equazione 6 e usando la definizione di velocità istantanea si ottiene una nuova equazione per y:
y = y0 + v0t + 1/2 a2. (Equazione 8)
t si risolve sostituendo l'equazione 7 nell'equazione 6:
t = (v - v0)/a. (Equazione 9)
Sostituendo quella t nell'equazione 6 e di nuovo usando la definizione dell'equazione 7 si cambia di nuovo l'equazione per y:
y = y0 + (v + v0)/2 (v - v0)/a = y0 + (v2 - v02)/2a. (Equazione 10)
La risoluzione per v2 dà:
v2 = v02 + 2a(y - y0). (Equazione 11)
Queste sono le equazioni utili che riguardano posizione, velocità, accelerazione e tempo in cui a è costante.
Movimento in 2 dimensioni
Ora, verrà considerato il movimento in 2 dimensioni. Le equazioni 5, 7, 8e 11 costituiscono un insieme generale di equazioni cinematiche nella direzione y. Questi possono essere espansi in movimento in 2 dimensioni, x e y, semplicemente sostituendo i componenti y con componenti x. Si consideri un proiettile lanciato con una velocità iniziale v0ad un angolo θ rispetto all'asse x,,come mostrato in Figura 1. Dalla figura, si può vedere che la componente di direzione xper la velocità iniziale, vx,0, è v 0cos(θ). Allo stesso modo, nella direzione y-, vy,0 = v0sin(θ).
L'unicaaccelerazione che la particella sperimenta è la gravità nella direzione negativa y. Pertanto, la velocità nella direzione x ècostante. La velocità nella direzione yraggiunge un minimo al picco della parabola, a metà dello spostamento, a t /2, dove t è il tempo totale. Usa le equazioni sopra per descrivere questo moto bidimensionale con equazioni. In questo fotogramma di coordinate, l'origine (0,0) corrisponde a (x0, y0). A partire dalla direzione x
x = x0 + vx,0 t + 1/2 axt2 (Equazione 12)
= v0 cos( θ)t. (Equazione 13)
Nella direzione y-
y = y0 + vy,0t + 1/2 ay t2 (Equazione 14)
= v0sin(θ)t - 1/2 g t2,(Equazione 15)
Figura 1. Movimento del proiettile in 2 dimensioni. Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale v0con un angolo θ rispetto all'asse x. Le due componenti di velocità sono vxe vy, dove V = vx +vy.
wqui g è l'accelerazione gravitazionale. Se si misura il tempo necessario al proiettile per completare il suo percorso e l'angolo θ e la velocità iniziale v0sono noti, è possibile calcolare lo spostamento nelle direzioni x e y. Prima di iniziare questo esperimento, la velocità del muso del lanciatore, 6,3 m / s, è nota. Questi calcoli di spostamento saranno confrontati con i risultati sperimentali. Una procedura simile può essere eseguita in 1 dimensione sparando il proiettile direttamente verso l'alto, con θ = 0.
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Procedure
1. Movimento in 1 dimensione.
- Ottieni una palla, un lanciatore con uno stantuffo, due poli, un secchio, due morsetti, un cavo elastico e un bastone da 2 m.
- Attaccare il lanciatore a un palo, con una lunghezza di 2 m di palo sopra di esso.
- Utilizzare lo stantuffo per posizionare la palla nel lanciatore alla massima tensione della molla.
- Inclina il lanciatore direttamente verso l'alto in modo da θ = 0.
- Lancia la palla e usa un cronometro per misurare il tempo totale che impiega la palla per raggiungere la sua altezzamassima. La posizione iniziale è dove la palla esce dal lanciatore.
- Si noti che la palla raggiunge un'altezza massima di 2 metri e si fermainstantanosamente quando raggiunge quell'altezza.
- Ripetere i passaggi da 1,5 a 1,6 cinque volte e utilizzare il tempo medio per i calcoli.
2. Movimento in 2 dimensioni.
- Impostare il lanciatore e l'altro polo a 4 m di distanza, alla stessa altezza orizzontale. Attaccare il secchio all'altro palo usando il morsetto e il cavo elastico (Figura 2). L'altezza del secchio deve essere uguale all'altezza alla qualela palla esce dal lanciatore.
- Utilizzare lo stantuffo per posizionare la palla nel lanciatore alla massima tensione della molla.
- Angolare il lanciatore con un angolo di 45° in modo che θ = π/4.
- Usa un cronometro per misurare il tempo totale che impiega la palla per atterrare nel secchio.
- Prendi nota dell'altezza approssimativa raggiunta dalla palla.
- Ripetere i passaggi 2,4-2,5 cinque volte e utilizzare il tempo medio per i calcoli.
Figura 2. Configurazione sperimentale.
La cinematica è la descrizione del movimento, che è spesso una conseguenza importante di molti eventi e fenomeni fisici.
Il movimento può essere unidimensionale, bidimensionale o tridimensionale. Le equazioni che si applicano al movimento di un oggetto in tutti questi casi usano le quantità vettoriali di posizione - che è lo spostamento rispetto all'origine, la velocità - che è il cambiamento di posizione con il tempo e l'accelerazione - che è il cambiamento di velocità con il tempo.
Con queste informazioni, è possibile calcolare i percorsi dei corpi in caduta libera, le traiettorie dei proiettili e le orbite dei pianeti, per fare solo alcuni esempi.
Qui, ci concentreremo sulle equazioni cinematiche relative all'ascesa e alla caduta unidimensionale di un oggetto e all'arco bidimensionale di un oggetto lanciato ad angolo
Prima di descrivere il movimento, è necessario disporre di un sistema di coordinate o di un sistema di riferimento. In genere, l'asse x è orizzontale e l'asse y è verticale. L'origine è arbitraria ma è spesso il punto di partenza di un oggetto.
Consideriamo un pallone da basket posto all'origine e lanciato dritto. La posizione della palla è la sua distanza e direzione dall'origine e ha unità di metri.
La velocità media vy è il cambiamento di posizione Δy diviso per il cambiamento nel tempo Δt, e ha unità di metri al secondo. Tuttavia, quando Δt si avvicina allo zero, l'equazione della velocità media diventa una per la velocità istantanea .
In pratica, pensa alla velocità istantanea come alla velocità in quell'istante. Quindi all'inizio la velocità istantanea v0 è la velocità di lancio, e in seguito la velocità istantanea diminuisce continuamente fino a quando non è zero al picco.
La diminuzione della velocità dovuta all'accelerazione costante fornita dalla gravità terrestre, che si oppone al movimento della palla ed è negativa in questo sistema di coordinate.
In tali condizioni di accelerazione costante, le relazioni cinematiche portano a queste equazioni per l'entità della velocità istantanea e della posizione in una dimensione. Usandoli, possiamo calcolare il movimento di un oggetto in un dato momento
Applichiamo queste formule all'esempio del basket. Diciamo che la velocità di lancio del pallone da basket, v0, è di 20 metri al secondo. Sappiamo che la velocità istantanea finale della palla al picco è zero. L'accelerazione qui è negativa g, poiché si oppone al movimento della palla. Quindi, riorganizzando questa equazione cinematica, possiamo ottenere t -- il tempo di salita, che risulta essere di circa due secondi. Ora, usando la formula cinematica per la posizione, e dicendo che la posizione iniziale y0 è zero, possiamo inserire i valori per l'accelerazione della velocità di lancio dovuta alla gravità e al tempo di salita, per calcolare lo spostamento massimo, che è l'altezza del picco qui, di circa 20,4 metri. Dopo aver raggiunto il picco, la palla cade per due secondi con velocità crescente fino a quando non colpisce il terreno da cui è iniziata, rendendo il tempo di volo totale di circa 4 secondi.
Per due dimensioni, i movimenti verticali e orizzontali di un oggetto sono indipendenti l'uno dall'altro e possono essere trattati separatamente, con il risultato netto della somma vettoriale. Usando questa intuizione, l'intero arco del movimento del proiettile può essere scomposto in due moti unidimensionali separati.
Studiamo questo usando un esempio: un lanciatore lancia una palla da baseball con una velocità iniziale di 20 metri / secondo con un angolo di trenta gradi da terra. La componente verticale iniziale della velocità è questa velocità volte il seno di 30 gradi, o 10 metri / secondo. La componente orizzontale iniziale è la velocità volte il coseno di 30 gradi, o circa 17 metri / secondo.
Durante il tempo di salita della palla da baseball, la velocità verticale è verso l'alto con la velocità che diminuisce a causa della gravità. Al picco, che è il punto medio, la velocità verticale è zero per un istante. Quindi durante il periodo autunnale, è verso il basso con velocità crescente.
Ignorando la resistenza dell'aria, il movimento orizzontale non ha accelerazione e quindi ha velocità costante.
L'aggiunta vettoriale di posizioni verticali e orizzontali e velocità verticali e orizzontali produce l'arco di movimento del proiettile. La somma dei tempi di salita e discesa è il tempo di volo totale, che determina l'intervallo o la distanza orizzontale.
Ora che abbiamo visto come calcolare i percorsi degli oggetti in movimento, testeremo le equazioni cinematiche su una palla lanciata dritta verso l'alto e una lanciata ad angolo.
Questi esperimenti usano una palla, un lanciatore con stantuffo, due poli, un secchio, due morsetti e un bastone lungo due metri e un cronometro. Si noti che la velocità della museruola del lanciatore è di 6,3 metri al secondo. Per il primo esperimento, che dimostra il movimento del proiettile unidimensionale, attaccare il lanciatore a un palo e posizionare il bastone di due metri sopra di esso.
Regola il launcher in modo che sia puntato direttamente verso l'alto con un angolo di zero gradi dalla verticale. Ciò corrisponde a un angolo di lancio di 90 gradi dall'orizzontale. Nota la posizione verticale della punta del lanciatore, dove uscirà la palla, e designalo y0. Utilizzare lo stantuffo per posizionare la palla nel lanciatore alla massima tensione della molla.
Lancia la palla e avvia un cronometro nello stesso istante. Misurare il tempo totale per il ritorno della palla al punto di partenza in posizione verticale y0 e registrare il risultato come tempo di volo. Si noti che la palla raggiunge un'altezza massima di circa 2 metri e si ferma per un istante a questo punto.
Ripetere questa procedura cinque volte e utilizzare il tempo totale medio per i calcoli successivi.
Questo secondo esperimento dimostra il movimento del proiettile bidimensionale. Impostare il lanciatore come nel primo esperimento e posizionare l'altro polo a quattro metri di distanza alla stessa altezza. Attaccare il secchio a questo secondo palo con il morsetto e regolare il secchio in modo che sia alla stessa altezza della punta del lanciatore.
Attacca il bastone da 2 metri al centro della configurazione e posizionalo in modo che ci sia almeno un metro sopra l'altezza del lanciatore, o y0. Regola il lanciatore in modo che sia ad un angolo di 45 gradi dalla verticale, che è un angolo di lancio di 45 gradi dall'orizzontale. Utilizzare lo stantuffo per posizionare la palla nel lanciatore alla massima tensione della molla.
Ora lancia la palla e avvia il cronometro nello stesso istante. Misurare il tempo di volo totale per l'atterraggio della palla nel secchio. Annotare e registrare l'altezza massima raggiunta dalla palla. Ripeti questo esperimento cinque volte e usa il tempo totale medio per i calcoli successivi.
Per l'esperimento che dimostra il movimento in una dimensione, la velocità iniziale della palla fuori dal meccanismo di lancio era di 6,3 metri al secondo. Ricorda, quando una palla viene lanciata dritta verso l'alto, la sua velocità è 0 al picco. Con queste informazioni e la formula cinematica per la velocità, possiamo calcolare il tempo di salita teorico della palla in 0,64 secondi. Moltiplicando questo per 2 ci dà il tempo di volo calcolato. Quindi, utilizzando la formula per la posizione, possiamo calcolare l'altezza del picco a 2,02 metri.
I risultati teorici e misurati sono comparabili, all'interno dell'errore sperimentale, convalidando le equazioni cinematiche per il moto unidimensionale
Per l'esperimento che dimostra il movimento in due dimensioni, la palla è stata lanciata con una velocità di 6,3 metri / secondo con un angolo di 45 gradi. Per calcolare il suo moto proiettile, determinare prima la componente xdella velocità iniziale-v•cosθ-e la componente y della velocità iniziale-v•sinθ. Quindi utilizzare la velocità verticale iniziale e l'accelerazione per determinare il tempo per raggiungere l'altezza di picco, che risulta essere di 0,45 secondi. Pertanto, il tempo di volo totale è il doppio di questo valore, o 0,9 secondi.
Per calcolare lo spostamento verticale massimo, utilizzare la velocità verticale iniziale, l'accelerazione dovuta alla gravità e il tempo di salita. Questo ci dà lo spostamento teorico massimo y di 1 metro. Per calcolare lo spostamento orizzontale massimo, utilizzare la velocità orizzontale iniziale e il tempo di volo totale, che si traduce in uno spostamento teorico massimo x di 4 metri.
Ancora una volta, la teoria concorda bene con l'esperimento, convalidando le equazioni cinematiche per il moto bidimensionale.
L'uso della cinematica e la comprensione del movimento del proiettile sono importanti, e spesso invisibili, in molte applicazioni quotidiane.
Gli ingegneri automobilistici usano spesso la cinematica per calcolare diverse specifiche dell'auto.
Uno di questi è lo spazio di arresto o di frenata, che è un importante parametro di sicurezza che può essere calcolato utilizzando equazioni cinematiche unidimensionali
Senza saperlo, un golfista esegue calcoli mentali usando la cinematica con ogni swing del club. Sperando in una buca in uno, il golfista oscilla, colpisce la palla e la lancia con una certa velocità e angolo per volare attraverso il campo. Il percorso bidimensionale ideale della pallina da golf obbedisce alle equazioni che regolano il movimento del proiettile.
Hai appena visto l'introduzione di JoVE alla cinematica e al movimento dei proiettili. Ora dovresti sapere come usare le equazioni cinematiche per calcolare la traiettoria di un oggetto che si muove in una o due dimensioni. Come sempre, grazie per aver guardato!
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Results
I risultati rappresentativi delle fasi 1 e 2 della procedura di cui sopra sono elencati di seguito nella Tabella 1. Questa tabella registra l'altezza massima raggiunta dalla palla in entrambe le dimensioni 1 e 2, con una velocità iniziale nota e un tempo di volo totale. Il valore dello spostamento verticale massimo misurato sperimentalmente viene confrontato con quello calcolato utilizzando l'equazione 15, il cui valore si trova anche di seguito. La tabella registra anche lo spostamento orizzontale massimo della palla per l'esperimento a 2 dimensioni. Questo viene confrontato con il valore calcolato dall'equazione 13 utilizzando la velocità iniziale nota e il tempo di volo misurato. Questi due risultati corrispondono molto bene, il che convalida le equazioni cinematiche.
| Tempo di volo calcolato (s) | Calcolato y (m) | Tempo medio di volo misurato (s) | Media misurata y (m) |
| 1.28 | 2.02 | 1.22 | 2.1 |
Tabella 1. Risultati calcolati e misurati in un'unicadimensione.
| Tempo di volo calcolato (s) | Calcolato y (m) | Calcolato x (m) | Tempo medio di volo misurato (s) | Media misurata y (m) | Media misurata x (m) |
| 0.9 | 1.01 | 4.01 | 1.02 | 1.1 | 4 |
Tabella 2. Risultati calcolati e misurati in due dimensioni.
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Applications and Summary
La cinematica viene utilizzata in una vasta gamma di applicazioni. I militari usano queste equazioni cinematiche per determinare il modo migliore per lanciare la balistica. Per una migliore precisione, la resistenza della resistenza dell'aria è inclusa nelle equazioni. I produttori di automobili utilizzano la cinematica per capire le velocità massime e le distanze di arresto. Per decollare, gli aerei devono raggiungere una certa velocità prima di esaurire la pista. Con la cinematica, è possibile calcolare la velocità con cui il pilota dovrà accelerare quando decolla in un determinato aeroporto.
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