Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.
You will only be able to see the first 20 seconds.

 
Click here for the English version

Vetores em Várias Direções

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Departamento de Física & Astronomia, Escola de Ciências Físicas, Universidade da Califórnia, Irvine, CA

Este experimento demonstra como os vetores adicionam e subtraem em várias direções. O objetivo será calcular analiticamente a adição ou subtração de múltiplos vetores e, em seguida, confirmar experimentalmente os cálculos.

Um vetor é um objeto com magnitude e direção. A magnitude de um vetor é simplesmente denotada como o comprimento, enquanto a direção é tipicamente definida pelo ângulo que faz com o eixo x. Como as forças são vetores, elas podem ser usadas como uma representação física dos vetores. Ao criar um sistema de forças e descobrir qual força adicional criará um equilíbrio entre as forças, um sistema de vetores pode ser verificado experimentalmente.

Principles

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

Na Figura 1 mostra o vetor, Equation 21 bem como os eixos x e ye o ângulo que Equation 21 faz com o eixo x.

Figure 1

Figura 1.

Para adicionar ou subtrair dois vetores, é útil descrever o vetor em termos de seus componentes x e y. O componente xé a quantidade do vetor que aponta na direção x,que é matematicamente representada como:

Equation 1. (Equação 1)

O componente yé representado como:

Equation 2. (Equação 2)

A magnitude de Equation 21 é definida como:

Equation 3. (Equação 3)

Para adicionar ou subtrair dois vetores, basta quebrar os vetores em seus componentes x e y e,em seguida, adicionar ou subtrair, respectivamente, os componentes correspondentes.

Por exemplo, se vetor Equation 4 e Equation 5 vetor, então a adição dos dois vetores Equation 6 .

Para determinar o ângulo que um vetor faz em relação ao eixo x,use a seguinte equação:

Equation 7. (Equação 4)

Como os vetores têm magnitude e direção, multiplicar dois vetores não é tão simples quanto multiplicar dois números. Existem duas maneiras de multiplicar vetores: o produto ponto e o produto cruzado. O produto ponto pode ser escrito como Equation 8 ou Equation 9 aqui, φ é o ângulo entre os dois vetores. O resultado só tem uma magnitude, e não uma direção. Uma aplicação do produto ponto na física é o trabalho (W), onde o trabalho é definido como uma força vezes à distância Equation 10 O produto cruzado de dois vetores pode ser escrito como Equation 11 Enquanto semelhante ao produto ponto, o produto cruzado contém o termo Equation 12 , que é definido como um vetor com magnitude 1 que é perpendicular aos dois vetores Equation 21 e Equation 22 . O resultado do produto cruzado é um vetor. Um exemplo do produto cruzado na física é Equation 13 o torque, que é o resultado de uma força vezes por raio Equation 14

Vetores são úteis na física porque forças como gravidade ou atrito podem ser representadas como vetores. Neste laboratório, a força da gravidade é usada para demonstrar a natureza vetorial das forças e como essas forças adicionam em múltiplas direções. A força da gravidade na superfície da Terra está escrita como:

Equation 15, (Equação 5)

onde Equation 16 está a massa do objeto, enquanto é a Equation 17 aceleração da gravidade perto da superfície da Terra (9,8 m/s2).

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

1. Forças de equilíbrio.

  1. Na mesa de força, configure duas polias com a mesma massa voltada para direções opostas (180° diferença no ângulo).
  2. A força de cada um será igual a Equation 18 . Verifique se as duas forças são iguais e opostas examinando o anel no centro da tabela de força, que não deve se mover.
  3. Observe que se os componentes dos vetores associados a essas forças forem adicionados, o vetor resultante terá magnitude zero. É assim que se determina que todas as forças estão em equilíbrio.

2. Cálculos analíticos.

  1. Este laboratório consistirá de três forças em equilíbrio. Duas forças serão conhecidas, enquanto a terceira será encontrada em primeiro lugar analiticamente, usando a teoria dos vetores, e depois experimentalmente. Para este laboratório, Equation 21 mantenha-se em 0° durante a duração.
  2. Note que se Equation 21 e Equation 22 são conhecidos Equation 23 e, quando adicionados ao sistema, faz com que as duas forças estejam em equilíbrio, então Equation 23 é de igual magnitude, mas na direção oposta à soma ( Equation 21 + Equation 22 ).
  3. Calcule a magnitude de Equation 21 Equation 22 e. Use o fato de que Equation 18 e que 1 Newton (N) é uma unidade de força igual a Equation 19 .
  4. Usando a teoria dos vetores, calcule qual seria a magnitude Equation 23 se fosse a soma ( + Equation 21 Equation 22 ).
  5. Usando a teoria dos vetores, calcule qual seria o ângulo Equation 23 se fosse a soma ( + Equation 21 Equation 22 ).

3. Experimente.

  1. Seguindo os valores na primeira linha da Tabela 1 para Equation 21 e , configurar as duas forças na tabela de Equation 22 força. Lembre-se de manter Equation 21 a 0°.
  2. Configure a terceira força, Equation 23 adicionando pesos e mudando o ângulo até que o equilíbrio seja alcançado. Registo esses valores na Tabela 2.
  3. Repita a etapa 3.2 para cada um dos quatro casos.
  4. Determine a diferença percentual do resultado analítico calculando o Equation 20 . Tabela Completa 2 com estes valores calculados.

Os vetores são quantidades com magnitude e direção, diferentes de escalares, que têm apenas uma magnitude e sinal.

Força, aceleração e velocidade são exemplos de vetores. Enquanto massa, energia e tempo são exemplos de escalares.

Um vetor é geralmente representado por uma flecha. O comprimento da seta corresponde à sua magnitude e o ângulo indica direção.

Este vídeo mostrará um sistema de forças que podem ser analisados com adição de vetores e subtração, e demonstrará como tais operações produzem resultados importantes para a compreensão de vários fenômenos físicos.

Descrever um vetor requer um sistema de coordenadas. Dentro deste quadro de referência escolhido, este exemplo de uma bola chutada no ar tem um vetor de velocidade inicial. Como explicado anteriormente, o comprimento da seta representa a magnitude da velocidade. E a direção do vetor é seu ângulo do chão.

Qualquer vetor pode ser decomposto em componentes,que são os próprios vetores ao longo dos eixos x e y. Se a velocidade inicial da bola é de 20 metros por segundo a 60 graus, o componente horizontal é o tempo de velocidade cosseno de 60 graus e tem uma magnitude de 10 metros por segundo. O componente vertical é de velocidade de 60 graus e tem uma magnitude de cerca de 17,3 metros por segundo.

A adição vetorial de componentes horizontais e verticais reconstrói o vetor de velocidade original. Para adicionar vetores, imagine colocar a cabeça de um na cauda do outro. Neste exemplo, os vetores estão em um ângulo reto. A soma resulta quando viaja diretamente da cauda do primeiro para a cabeça do segundo.

Estes componentes estão em um ângulo reto, então a magnitude da soma é dada pelo teorema pitagórico. O ângulo é o arctangent do componente vertical dividido pelo componente horizontal.

Ao adicionar dois vetores que não são perpendiculares, decompondo cada um em componentes x e y, em seguida, adicione componentes correspondentes. Por fim, calcule a soma vetorial dos componentes horizontais e verticais, conforme explicado anteriormente. Subtrair um vetor de outro equivale a negar o segundo vetor e adicioná-lo ao primeiro. Como antes, decomposição cada vetor em x-e-componentes. Em seguida, subtraia o componente x menor do maior e faça o mesmo para componentes y. Em seguida, o mesmo de antes, calcule a soma vetorial dos componentes x e y resultantes.

Para demonstrar a adição e subtração de vetores em um laboratório de física, o equipamento comumente utilizado é uma tabela de força. Este é um disco com ângulos marcados ao redor do perímetro, um anel no centro ligado a cabos com massas na outra extremidade suspensos por polias. As massas produzem forças, que são os vetores a serem estudados. A força ao longo de cada cabo é igual à força gravitacional, ou mg,com unidades de Newtons.

Agora, nesta configuração, se há apenas duas massas iguais a 180 graus uma da outra, então eles produzem forças com uma soma vetorial de zero. Essa condição é chamada de equilíbrio,o que resulta em aceleração zero e, portanto, o anel não se move.

Mas se as duas forças puxando o anel não se cancelarem, por exemplo, devido a mudança de ângulo, então a força líquida não-zero faria com que o anel se movesse. Nesses casos, se soubermos as magnitudes e direções dessas forças, então podemos usar a adição de vetores e subtração para calcular a terceira força necessária para restabelecer o equilíbrio.

Na próxima seção mostraremos como realizar experimentos de tabela de força que testam os princípios teóricos de adição e subtração vetorial

Se as duas forças são iguais e opostas, o anel no centro da mesa não deve se mover. Neste caso, cada vetor de força se opõe exatamente ao outro em magnitude e direção. A soma vetorial tem magnitude zero, que é a condição de força líquida zero, ou equilíbrio.

Para validar os princípios de adição e subtração vetorial, configure as massas e ângulos para as forças A e B como indicado na primeira linha desta tabela. Mantenha o ângulo para A a zero graus. Agora, configure a terceira força adicionando massas e mudando o ângulo até que o anel não se mova.

Após alcançar o equilíbrio, calcule a força de C multiplicando sua massa pela aceleração devido à gravidade. Além disso, registo da magnitude e ângulo para força C.

Repita este teste para os três casos diferentes e regise a magnitude e o ângulo de força C cada vez.

Para as quatro configurações experimentais, esta tabela mostra as magnitudes calculadas das forças A e B, e ângulos de B em relação a A. Usando a primeira configuração como exemplo, podemos calcular a força C necessária para estabelecer o equilíbrio sobre a mesa.

Aqui a força A tem uma magnitude de 0,98 Newtons a 0°. Força B tem a mesma magnitude de 0,98 Newtons, mas um ângulo de 20°. Para determinar o vetor para C, decomposição força A e B em seus componentes x e y. A força de nota A é direcionada apenas ao longo do eixo x e não tem componente y. Em seguida, adicione os componentes para produzir os vetores x e y, que são a soma dos vetores A e B.

Para alcançar o equilíbrio, os componentes x e y de C devem ser o oposto desses vetores. Para obter o vetor C,mova a cauda do seu componente y para a cabeça do componente x. Em seguida, adicione os dois vetores usando o teorema pitagórico para encontrar a magnitude do vetor C. E o ângulo para C é o arctangent do componente vertical dividido pelo componente horizontal. Portanto, a magnitude calculada de C acaba por ser de 1,93 Newtons em um ângulo de 10° em relação ao eixo x.

Agora, durante o experimento, calculamos C através da observação e tentativa e erro, ajustando os pesos e ângulos para evitar o movimento do anel na mesa de força.

E esta tabela mostra que os resultados experimentais e calculados para magnitude e ângulo correspondem de perto para todas as quatro configurações. Este acordo valida a representação de forças como vetores. A diferença pode ser atribuída a limitações na precisão dos pesos, precisão de medição do ângulo e forças não contabilizadas causadas pelo atrito na mesa de força e com as polias.

A adição e subtração do vetor são usadas em aplicações simples e complexas. Vamos dar uma olhada em alguns deles.

Ao visitar uma cidade como Nova York, a distância geralmente é medida em blocos, e as direções são norte, sul, leste e oeste.

Uma pessoa caminhando quatro quadras a leste e três quadras ao norte sofre uma mudança de posição, que é uma quantidade vetorial. Portanto, aplicando as equações para adição de vetores, pode-se calcular a magnitude e a direção do vetor entre os pontos de partida e final da caminhada.

Da caminhada ao voo: um piloto está constantemente realizando adição de vetores mentais e subtração para manobrar o avião. Usando os retalhos e ailerons das asas, um piloto pode ajustar o elevador contra a gravidade. Se o elevador for maior que a força gravitacional, o plano sobe. Se o elevador é menor que a força gravitacional, ele desce.

Da mesma forma, um piloto usa os motores para ajustar o impulso contra o arrasto. Se o impulso for maior que o arrasto, o avião acelera. Se o impulso é menor que arrastar, ele desacelera.

Quando a soma dessas quatro forças é igual a zero, o avião está em equilíbrio e cruzeiros em velocidade e altitude constantes.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE aos vetores. Agora você deve saber como adicionar e subtrair vetores, e entender como certas quantidades físicas se comportam como vetores. Obrigado por assistir!

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

Os resultados do laboratório são mostrados na Tabela 1 e Tabela 2.

Mesa 1. Configuração.

Configuração # Um B
Missa Ângulo Missa Ângulo
1 100 0 100 20
2 100 0 150 40
3 200 0 150 60
4 200 0 250 80

Mesa 2. Resultados Analíticos.

Configuração # Magnitude Equation 21
(N)
Magnitude Equation 22
(N)
Ângulo Equation 22
(°)
Magnitude Equation 23
(N)
Ângulo Equation 23
(°)
1 0.98 0.98 20 1.93 10
2 0.98 1.47 40 2.31 24
3 1.96 1.47 60 2.98 25
4 1.96 2.45 80 3.39 45

Mesa 3. Resultados experimentais.

Configuração # Experimental Magnitude Equation 23
(N)
Magnitude Analítica Equation 23
(N)
Diferença
(%)
Ângulo Experimental Equation 23
(°)
Ângulo Analítico
Equation 23
(°)
Diferença
(%)
1 2.1 1.93 9 11 10 10
2 2.2 2.31 5 26 24 8
3 2.8 2.98 6 28 25 12
4 3.5 3.39 3 43 45 5

Os resultados do experimento estão de acordo com os cálculos analíticos. A soma de dois vetores e o ângulo entre eles podem ser calculados usando equações 1-5. As equações são válidas para fazer cálculos de vetores físicos, como a força.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

Um jogador de beisebol tem que entender vetores para pegar uma bola em movimento. Se o defensor soubesse apenas a velocidade da bola, ele poderia correr para o campo esquerdo em vez de para a direita e errar a bola. Se ele soubesse a direção do golpe, ele poderia atacar, apenas para ver a bola passar por cima de sua cabeça. Se ele entende vetores, então assim que a bola é atingida, ele pode considerar tanto a magnitude e a direção, a fim de estimar onde a bola vai estar quando ele faz uma captura.

Quando um avião está no céu, sua velocidade e direção podem ser escritas como um vetor. Quando há um vento forte, o vetor de vento adiciona ao vetor do avião para dar o vetor do sistema resultante. Por exemplo, se um avião está voando contra o vento, a magnitude do vetor resultante será menor do que a magnitude inicial. Isso corresponde ao avião se movendo mais devagar quando se dirige para o vento, o que faz sentido intuitivo.

Quando dois objetos colidem e ficam juntos, seu momento final (um vetor) pode ser aproximado como a soma dos dois vetores de momento inicial. Trata-se de uma simplificação, pois no mundo real, dois objetos colidindo têm fatores extras a considerar, como calor ou deformação da colisão. O momento é apenas a massa de um objeto multiplicado por sua velocidade. Se dois patinadores no gelo viajando em direções diferentes e em velocidades diferentes colidem e se agarram um ao outro, sua direção final e velocidade podem ser estimadas com base em seus componentes vetoriais iniciais.

Neste experimento, a natureza vetorial das forças foi examinada e medida. Os vetores foram somados, e a magnitude e direção resultantes foram determinadas tanto analiticamente quanto experimentalmente.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter