Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.
You will only be able to see the first 20 seconds.

חוק הוק ותנועה הרמונית פשוטה
 
Click here for the English version

חוק הוק ותנועה הרמונית פשוטה

Overview

מקור: קטרון מיטשל-ווין, PhD, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה

אנרגיה פוטנציאלית היא מושג חשוב בפיזיקה. אנרגיה פוטנציאלית היא האנרגיה הקשורה לכוחות התלויים במיקום של אובייקט ביחס לסביבתו. אנרגיה פוטנציאלית כבידתית, הנדונה בסרטון אחר, היא האנרגיה הקשורה באופן ישיר לגובה של אובייקט מעל הקרקע. באופן דומה, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית באביב, אשר פרופורציונלית ישירות לעקירת מעיין ממצבו הרגוע. קפיץ מתוח או דחוס יש אנרגיה פוטנציאלית, כפי שיש לו את היכולת לעשות עבודה על אובייקט. "היכולת לעשות עבודה" מצוטט לעתים קרובות כהגדרת היסוד של אנרגיה.

וידאו זה ידגים את האנרגיה הפוטנציאלית המאוחסנת במעיינות. זה גם יאמת את משוואת הכוח המשקמת של מעיינות, או חוק הוק. קבוע האביב שונה עבור מעיינות של גמישות שונה. חוק הוק יאומת וקבוע הקפיץ יימדד על ידי הצמדת משקולות שונות לאביב מושעה ומדידת העקירות הנובעות מכך.

Principles

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

החזקת קפיץ במצבו הדחוס או המתוח דורשת שמישהו או משהו מפעיל כוח על המעיין. כוח זה הוא פרופורציונלי ישירות לעקירה, Δy, של האביב. בתורו, האביב יפעיל כוח שווה והפוך:

F = -k Δy, (משוואה 1)

כאשר k נקרא "קבוע נוקשות האביב". זה מכונה לעתים קרובות "כוח שחזור" כי האביב מפעיל כוח בכיוון ההפוך לעקירה, המצוין על ידי הסימן השלילי. משוואה 1 ידועה כחוק הוק.

תנועה הרמונית פשוטה תתרחש בכל פעם שיש כוח שחזור שהוא פרופורציונלי לעקירה משיווי משקל, כמו בחוק הוק. מהחוק השני של ניוטון, F = ma, וההכרה כי התאוצה a היא הנגזרת השנייה של עקירה ביחס לזמן, ניתן לשכתב את משוואה 1 כ:

m (d2y/dt2) = -k y. (משוואה 2)

הפתרון להפרש מסדר שני זה ידוע היטב להיות:

y(t) = A sin(ωt + φ), (משוואה 3)

כאשר A הוא משרעת התנודה, ω = (k/m)1/2, וזווית הפאזה φ תלויה בתנאים ההתחלתיים של המערכת. משוואות בצורת משוואה 3 מתארות את מה שנקרא תנועה הרמונית פשוטה. התקופה T, התדירות f, ואת קבוע ω קשורים על-ידי:

ω = 2πf = 2π/T. (Equation 4)

לפיכך, התקופה T ניתנת על ידי:

T = 2π (מ/k)1/2. (משוואה 5)

שים לב כי T אינו תלוי משרעת A של תנודה. לכן, אם משקל תלוי מתוך קפיץ תלוי מן האנכי, התקופה המתקבלת של תנודה יהיה פרופורציונלי לשורש הריבועי של המשקל המצורף.

העבודה הנדרשת כדי למתוח את הקפיץ מרחק y היא W = <F> y, שבו <F> הוא הכוח הממוצע הנדרש כדי למתוח את המחרוזת. מאז F הוא ליניארי ב y, הממוצע הוא רק הכוח בשיווי משקל (= 0) ואת הכוח ב y:

<F> = 1/2 [0 + ky]. (משוואה 6)

העבודה שנעשתה ולכן האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית, PE, ניתן לכתוב כמו:

PE = 1/2 k y2. (משוואה 7)

האנרגיה הפוטנציאלית של קפיץ תימדד במעבדה זו.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

1. למדוד את קבוע האביב ואת האנרגיה הפוטנציאלית של קפיץ ולאשר את הקשר בין המסה לתקופת תנודה T.

  1. להשיג קפיץ עם קבוע קפיץ ידוע, דוכן לצרף את הקפיץ, לפחות 5 משקולות של מסות שונות שניתן לחבר למעיין, מקל מטר, ושעון עצר.
  2. אבטחו את המעמד ליסוד מוצק וצרפו את הקפיץ לדוכן. ודא שיש מספיק מקום מתחת למעיין כדי שהוא יימתח מבלי לפגוע בשולחן או בקרקע.
  3. עבור כל אחת מההמונים, לחשב את הכוח המופעל על הקפיץ על ידי כוח הכבידה של כדור הארץ (F = מ"ג). תתחיל עם המשקל הכי פחות מסיבי. רשום ערכים אלה בטבלה 1.
  4. מדוד כמה גבוה מעל פני השטח של השולחן הקפיץ הוא בעוד במצבו הלא מתוח.
  5. חברו את המשקל הפחות מאסיבי לאביב ומדדו את ההעתקה Δy1 (ראו איור 1). הקלט עקירה זו בטבלה 1.
  6. עם המשקל מחובר, מעט להעלות את המשקל לפני שחרורו. שים לב לתנועה המתנדנדת. מדוד את התקופה T באמצעות סטופר. למדידה מדויקת יותר, תעד את הזמן עבור תקופות מרובות וחלק את הזמן הזה במספר התקופות שנצפו. בצע פעולה זו מספר פעמים ורשום את הזמן הממוצע הנמדד עבור התקופה T בטבלה 1.
  7. חזור על שלבים 1.5-1.6 עבור כל ההמונים, על מנת להגדיל את המסה.
  8. חשב את האנרגיה הפוטנציאלית של האביב עבור כל אחת מהמסות השונות ורשום אותם בטבלה 1.
  9. התווה את הכוח F כפונקציה של עקירה Δy. על פי משוואה 1,זה צריך להיות ליניארי. התאם שיפוע לקו. מדרון זה יתאים קבוע האביב. השווה את הערך הנמדד לערך הידוע של האביב.
  10. באמצעות קבוע האביב הידוע ומשוואה 5, לחשב מה התקופה T של תנודה צריך להיות עבור כל אחד ההמונים; דווח עליהם בטבלה 1. השווה אותם ל- T שנמדד עם שעון עצר בשלב 1.6.

Figure 1
איור 1: תנודות טרפד,

חוק הוק ותופעת התנועה ההרמונית הפשוטה מסייעים בהבנת הפיזיקה הקשורה לחפצים אלסטיים.

חוק הוק מרמז כי על מנת לעוות אובייקט אלסטי, כמו רוגטקה, יש להפעיל כוח כדי להתגבר על כוח השיקום המופעל על ידי אובייקט זה. כוח שחזור זה הוא תוצר של הגמישות הקבועה k של האובייקט ואת העקירה Δ y אבלבכיוון הנגדי לעקירה או כוח מיושם.

ברור שהאובייקט האלסטי מאחסן אנרגיה שיש לה פוטנציאל לעשות עבודה. לאחר ביצוע העבודה האובייקט האלסטי עובר תנודה. אם נתווה התנהגות תנודה זו כמיקום האובייקט לעומת הזמן, הגרף מייצג תנועה הרמונית פשוטה.

בסרטון זה, אנו להדגים ניסוי המשתמש קפיצים ומשקולות כדי לאמת את המושגים מאחורי החוק של הוק ותנועה הרמונית פשוטה.

לפני שנדגים כיצד מעיין מתנהג, בואו נחזור למושגים שמאחורי התנודה שלו. תארו לעצמכם, הפעלת כוח על הקפיץ, כמו משקל, שגורם לו למתוח מעמדתו הראשונית לא מעוותת עד כוח שחזור מנוגד בסופו של דבר מאזן אותו שיווי משקל נקבע.

על פי החוק של הוקס, כוח שחזור זה שווה k קבוע האביב, אשר תלוי בגמישות או נוקשות של החומר להיות מעוות, כפול עקירת הקפיץ ממקומו הראשוני, או Δy.

לכן, לדעת Δy ולזכור כי כוח השיקום שווה והפוך לכוח המיושם, שהוא המשקל בניוטון, קבוע האביב ניתן לקבוע. כמו כן, התוויית F-applied לעומת Δy מעניקה קו העובר דרך המקור עם שיפוע המייצג k .

עכשיו, עם הקפיץ בעמדת שיווי המשקל שלו, אם אתה מציג כוח חיצוני ולהרים את המשקל המצורף לגובה מסוים, אתה מאפשר את האביב כדי לקבל קצת אנרגיה פוטנציאלית אלסטית PE. אנרגיה פוטנציאלית זו ניתנת על ידי נוסחה זו, כאשר k הוא קבוע האביב ו Δy הוא המרחק מעמדת שיווי המשקל.

עכשיו כשאתה משחרר את האביב, הוא עובר תנועה תקופתית, המכונה תנועה הרמונית פשוטה. אם מתוותים על גרף של מיקום לעומת זמן, התנועה מניבה את צורת הגל הסינוסואידית של תנועה הרמונית פשוטה.

תקופת התנודה T ניתנת על ידי נוסחה זו, אשר מראה כי T הוא פרופורציונלי הפוך ל- k - קבוע האלסטיות, ומידתי ישירות ל- m - המסה של המשקל המצורף. לכן, ככל שהמסה גדולה יותר, כך ייקח יותר זמן לאביב להשלים מחזור אחד של תנודה.

אם מערכת זו הייתה מבודדת - לא הושפעה מכוחות חיצוניים, התנודות היו נמשך ללא הגבלת זמן כמו האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות, KE ו- PE, היו מומרות זו לזו ללא הרף. אבל בעולם האמיתי תמיד יש כמה כוחות חיכוך שגורמים שיכוך ולכן האביב בסופו של דבר יגיע לעצירה.

עכשיו שיש לכם מושג על החוקים השולטים בתנודות האביב, בואו נראה איך לבדוק אותם במעבדת פיזיקה. ניסוי זה מורכב ממעיין עם קבוע קפיץ ידוע, מעמד, סט משקולות עם מסות שונות אך ידועות, מקל מטר ושעון עצר.

אבטח את המעמד לבסיס מוצק, כגון טבלה. חברו את הקפיץ לדוכן כדי לוודא שיש מספיק מקום למתוח את הקפיץ מבלי ליצור קשר עם החלק העליון של השולחן.

באמצעות מקל המונה, שים לב למיקום הלא מעוות של הקפיץ, או למרחק בין תחתית הקפיץ לשולחן. שים לב לעמדת התחלה זו על מקל המונה.

עכשיו, החל במסה הקטנה ביותר, לחשב ולתעד את משקל הכבידה שלה. חבר את המשקל למעיין ומדוד את המרחק בין תחתית הקפיץ המציין את תנוחת שיווי המשקל לבין תנוחת ההתחלה שצוינה קודם לכן. הקלט ערך תזוזה זה.

לאחר מכן, להעלות את המשקל מעט ממקומו הטעון ולשחרר אותו כדי לצפות בתנועה הרמונית פשוטה. באמצעות שעון העצר, מדוד את תקופת התנודה על-ידי חלוקת הזמן הנדרש לתקופות מרובות במספר התקופות. חזור על הליך זה שלוש פעמים כדי להשיג תקופה ממוצעת. מאז התקופה אינה תלויה משרעת של תנודה, הערכים צריכים להיות עקביים.

חזור על המדידות של עקירת האביב ותקופת התנודה עבור כל משקל נוסף, על מנת להגדיל את המסה, ולתעד את כל הקריאות.

באמצעות הערכים ממדידות ההעתקה, התווה את משקל הכבידה כפונקציה של מרחק ההעתקה. כצפוי מחוק הוק, התלות היא ליניארית ושיפוע הקו נותן את קבוע האביב. השוואת ערך נמדד זה לערך הקבוע הידוע של האביב של k = 10 N/m חושפת הסכמה טובה לשגיאה הצפויה עבור סוג זה של מדידה.

כעת חישבו את האנרגיות הפוטנציאליות עבור כל משקל באמצעות קבוע הקפיץ הידוע והתזוזות הנמדדות. בהינתן המשוואה, חלקה של אנרגיה פוטנציאלית לעומת ריבוע תזוזה מדגימה מידתיות ליניארית.

באמצעות קבוע האביב הידוע, לחשב את תקופת התנודה עבור כל משקל. השוואה לתקופות הנמדדות חושפת הסכמה חזקה ומאשרת את היחסים הצפויים; כלומר, התקופה היא פרופורציונלית לשורש הריבועי של המסה.

כוח שחזור כי אובייקט אלסטי מפעיל כאשר הוא מעוות ניתן לראות במספר אירועים יומיומיים.

ההשעיה של כלי רכב מודרניים מורכבת בולמי זעזועים, אשר מסייעים למזער את ההשפעה בעת נסיעה בכבישים מחוספסים. בולמי הזעזועים פועלים כעיינות מעומעמים, סופגים את האנרגיה הקינטית בפגיעה ואז מתפזרים אותה. הפחתת קבוע הקפיץ הופכת את הנסיעה לחלקה יותר או רגשנית יותר תוך הגדלתה עדיפה על כלי רכב בעלי ביצועים גבוהים לטיפול טוב יותר.

יישום נוסף של מושגים אלה יהיה מתנדים הרמוניים - מערכות העוברות תנועה הרמונית פשוטה וחווים חילופי אנרגיה רציפים. לדוגמה, שעונים מכניים ממירים אנרגיה פוטנציאלית המאוחסנת באביב פיתול לאנרגיה מכנית כדי להניע את גלגלי השיניים ולהזיז את ידי השעון. דוגמה נוספת תהיה מעגל LC, המציג תנודה בין אנרגיה פוטנציאלית חשמלית, המאוחסנת בקבל C, לבין אנרגיה פוטנציאלית מגנטית, המאוחסנת ב- Lהמשרן . תנודה זו מתרחשת על פני תקופה ספציפית מאוד שניתנה על ידי נוסחה זו, מה שהופך את מעגל LC לחלק בלתי נפרד ממכשירים אלקטרוניים רבים.

הרגע צפית בהקדמה של ג'וב לחוק הוק ולתנועה הרמונית פשוטה. עכשיו אתה צריך להבין את המושגים של האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית, כוח שחזור, וכיצד כוח זה גורם תנועה הרמונית פשוטה. תודה שצפיתם!

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

תוצאות מייצגות של הניסוי, שנערך בקפיץ של k קבוע = 10 N / m, מוצגים בטבלה 1. העלילה של F לעומת העקירהΔ y מתווות למטה באיור 2. הפונקציה הליניארית מתאימה לקו, ושיפוע הקו שווה לקובוע הקפיצה, בתוך מרווח טעות. הליניאריות של התוצאה מראה את תוקפו של החוק של הוק (משוואה 1).

בדוק את טבלה 1 כדי לראות כיצד התקופה T של תנודה קשורה למסה המצורפת לאביב. ככל שהמסה תהיה כבדה יותר, כך התקופה תהיה ארוכה יותר, מכיוון שהיא פרופורציונלית לשורש הריבועי של המסה (משוואה 5). כמו כן, שים לב כי כאשר מסה גדולה יותר מחוברת לסוף האביב, האביב יימתח עוד יותר. האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת גדולה יותר, שכן היא פונקציה של תזוזה בריבוע משיווי משקל (משוואה 7). הגיוני שהתקופה ארוכה יותר עבור מסה גדולה יותר – מכיוון שהאביב נעקר עוד יותר משיווי משקל, ייקח זמן רב יותר לנסוע מרחק ארוך יותר.
טבלה 1. תוצאות.

מסה (ק"ג) משקל / F (N) Δy (m) PE (J) T נמדד (ים) T מחושב (ים)
0.5 4.9 0.49 2.4 1.3 1.4
0.75 7.4 0.74 5.4 1.6 1.7
1 9.8 0.98 9.6 1.9 1.9
1.5 14.7 1.5 21.6 2.5 2.4
2 19.6 2 38.4 2.9 2.8

Figure 2
איור 2: עלילת כוח שימושי (N) לעומת עקירה.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

השימוש במעיינות נמצא בכל מקום בחיי היומיום שלנו. ההשעיה של מכוניות מודרניות עשויה מעיינות כי הם סכר כראוי. זה דורש ידע על קבועי האביב. לרכיבות קדילאק חלקות יותר, נעשה שימוש במעיינות עם קבוע קפיץ נמוך יותר, והנסיעה "רגשנית יותר". מכוניות בעלות ביצועים גבוהים משתמשות בקפיצים עם קבוע קפיץ גבוה יותר לטיפול טוב יותר. לוחות צלילה נעשים גם עם קפיצים של קבועי אביב שונים, תלוי כמה "להקפיץ" הוא הרצוי בעת צלילה מהלוח. חבלי טיפוס צוקים הם גם מעט אלסטיים, כך שאם מטפס נופל תוך כדי טיפוס, החבל לא רק יציל אותה מפגיעה בקרקע, אלא גם ידכא את הנפילה עם גמישותה. ככל שקבוע האביב קטן יותר של חבל טיפוס, כך הוא דומה יותר לקפיצה בבנג'י.

במחקר זה נמדדה עקירה של קפיץ הנובע מיישום כוחות בסדרי גודל שונים. תוקפו של החוק של הוק אומת על ידי התוויית העקירות הנובעות מכך כפונקציה של הכוח המופעל על המעיין התלוי. תנועה תנודה נצפתה גם, עם תקופות פרופורציונליות לשורש הריבועי של המסה המחוברת למעיין.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter