Overview
Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Departamento de Física & Astronomia, Escola de Ciências Físicas, Universidade da Califórnia, Irvine, CA
Inércia é a resistência de um objeto a ser acelerado. Na cinemática linear, esse conceito está diretamente relacionado com a massa de um objeto. Quanto mais massivo um objeto, mais força é necessária para acelerar esse objeto. Isso é visto diretamente na segunda lei de Newton, que afirma que a força é igual à aceleração de massa.
Para rotação, há um conceito semelhante chamado inércia rotacional. Neste caso, a inércia rotacional é a resistência de um objeto a ser acelerado rotacionalmente. A inércia rotacional depende não apenas da massa, mas também da distância da massa do centro de rotação.
O objetivo deste experimento é medir a inércia rotacional de duas massas rotativas e determinar a dependência da massa e distância do eixo de rotação.
Principles
Um certo objeto ou sistema de objetos tem alguma inércia rotacional. A inércia rotacional sobre um certo eixo é chamada de momento de inércia. Como a distância da massa para o eixo de rotação é importante, um único objeto pode ter momentos muito diferentes de inércia dependendo do eixo sobre o qual ele gira. O momento de inércia para um objeto é definido como:
, (Equação 1)
onde eu sou o número de objetos.
Na Equação 1, r é a distância do eixo de rotação para a massa. Como pode ser visto na equação, o momento da inércia depende da massa do objeto e do quadrado da distância da massa ao eixo de rotação.
Assim como a cinemática linear tem equações de movimento, a cinemática rotacional tem equações análogas de movimento. Por exemplo, a segunda lei de Newton para o movimento linear é:
. (Equação 2)
Uma equação rotacional semelhante toma a forma:
, (Equação 3)
onde 
está o torque, é o momento da 
inércia, e 
é a aceleração angular. Aqui, o momento da inércia é o analógico do termo de massa na segunda lei de Newton. Da mesma forma, o momento da inércia está presente nas outras equações importantes do movimento rotacional:
, (Equação 4)
, (Equação 5)
onde 
está a velocidade angular do objeto.
Para este experimento, uma massa é conectada a um braço rotativo por uma corda ferida ao redor do eixo de rotação. Consulte a Figura 1 para obter uma imagem de como é a configuração experimental. Duas massas serão conectadas ao braço rotativo, o atrito será ignorado neste experimento, e o momento total da inércia será igual ao momento das massas rotativas mais o momento do braço giratório.
A massa, que cai devido à influência da gravidade, decretará um torque no braço rotativo. Da Equação 2, e 
. Aqui, 
está a força no objeto, que vem da tensão na 
corda, e é a distância da força 
para o eixo de rotação. Aqui, essa distância é a distância da borda da corda da ferida até o eixo de rotação.
A aceleração angular é definida por , onde está a 
aceleração linear de um ponto na corda da ferida que corresponde à aceleração do peso em queda. Juntar tudo 
dá. A segunda lei de Newton é usada para encontrar a tensão. A soma das forças no objeto deve ser igual à massa vezes a aceleração. Aqui, as forças sobre o peso em queda são a gravidade 
e a tensão, então 
. Assumindo uma aceleração constante, 
então, onde 
está a distância que o peso percorre e é o tempo que leva para cair essa 
distância. Isso vem das equações cinemáticas do movimento.
Juntar tudo resulta em uma equação para o momento da inércia em termos de quantidades mensuráveis durante o experimento:
. (Equação 7)
Se duas massas estiverem presas ao braço giratório a distâncias iguais 
do eixo de rotação, então o momento da inércia será:
, (Equação 8)
que é o valor teórico para este experimento.
Figura 1. Configuração experimental.
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Procedure
1. Meça o momento de inércia da haste longa.
- Enrole a corda presa ao peso até que o peso esteja perto do braço giratório.
- Solte o peso e meça o tempo que leva para cair, assim como a distância que ele cai.
- Realize a etapa 1.2 três vezes e calcule o momento médio da inércia usando a Equação 7.
- Calcule o momento teórico da inércia da haste giratória usando a seguinte fórmula:
, onde está a massa da 
haste e é o 
comprimento. - Compare o valor teórico com o valor medido e regisse a diferença.
, onde está a massa da 
haste e é o 
comprimento.2. Duas massas presas à haste.
- Coloque duas massas de 100 kg a 20 cm do centro da haste.
- Repita as etapas 1.2 e 1.3 com as massas anexadas.
- O momento total da inércia deve ser igual ao momento de inércia das massas anexadas mais o momento de inércia da haste. Use este fato, os resultados da etapa 1 e da Equação 8 para determinar os momentos teóricos e experimentais de inércia para as massas anexadas.
- Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.
3. Efeito da distância no momento da inércia.
- Repita o passo 2 do laboratório, mas mova as massas anexadas para 10 cm de distância do centro de rotação. Observe quaisquer alterações na queda do peso ou na fiação da haste.
- Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.
4. Efeito da massa no momento da inércia.
- Repita o passo 2 do laboratório, mas mude o tamanho da massa para 200 kg.
- Compare os valores teóricos com os valores medidos e regise as diferenças.
A inércia rotacional caracteriza a relação entre torque e aceleração rotacional de um objeto.
Inércia é a resistência que um objeto tem a uma mudança em seu estado de movimento. Na cinemática linear, o conceito de inércia está diretamente relacionado com a massa de um objeto. Quanto mais massivo um objeto, mais força é necessária para acelerar esse objeto.
Na cinemática rotacional, o conceito é chamado de inércia rotacional, que é a resistência de um objeto a ser acelerado rotacionalmente. A inércia rotacional, denotada pela letra I,depende não só da massa, mas também da distância da massa do centro de rotação, ou r. E matematicamente, é dado pela fórmula que eu sou igual a m*r-quadrado.
Observe que se há mais de um objeto rotativo, então a inércia rotacional de todo o sistema é a soma das inércias rotacionais individuais - dada por esta fórmula onde o minúsculo i é para o número de objetos em rotação.
Este vídeo mostrará como medir teoricamente e experimentalmente a inércia rotacional de um braço giratório com e sem massas anexadas.
Antes de entrar nos detalhes do protocolo, vamos falar sobre a configuração experimental e as leis e equações que regem a inércia rotacional neste sistema.
A primeira configuração consiste em um eixo, que é livre para girar em torno de um eixo de rotação. Em seguida, há um peso preso a uma corda e a corda é enrolada ao redor do eixo, de tal forma que o peso está perto da haste.
Quando o peso é liberado, a tensão na corda fornece a força para a haste girar. A inércia rotacional, também conhecida como momento de inércia ou massa angular ou I desta vara pode ser calculada experimentalmente usando esta fórmula. Aqui, r é o raio do eixo, m é a massa do objeto em queda, t é o tempo que o objeto requer para cair a uma distância medida d, e g é a aceleração devido à gravidade
Teoricamente, o momento de inércia de qualquer vara cilíndrica é dado por esta fórmula, onde M é a massa da vara e L é o comprimento da haste.
No próximo experimento, vamos enrolar a corda de volta, e anexar duas massas idênticas à haste na mesma distância x do centro. Essas duas massas têm seu próprio momento de inércia, teoricamente dada pela fórmula que eu equivale a dois vezes m x-quadrado.
Agora, quando o peso for liberado, a haste girará novamente. Neste caso, a inércia experimental do sistema dado pela fórmula previamente discutida levará em conta tanto a inércia das duas massas quanto a inércia da haste. Portanto, subtrair a inércia da haste obtida no primeiro experimento a partir deste valor, produzirá a inércia rotacional experimental apenas das massas deste sistema.
Agora que você entende como calcular teoricamente e experimental as inércias rotacionais para os elementos deste sistema, vamos ver como configurar o experimento e como registrar os valores
Como discutido, o primeiro experimento mede o momento de inércia da vara giratória sozinha. Pegue a corda que está presa ao peso e enrole-a ao redor do eixo até que o peso esteja perto do braço. Largue o peso. Meça e regisse a distância que cai e o tempo que leva para cair.
Enrole a corda e solte o peso mais três vezes. Use os resultados desses ensaios para calcular o momento médio de inércia para a haste giratória, em seguida, calcule o valor teórico.
O próximo conjunto de experimentos requer colocar massas adicionais na haste. Coloque duas massas de 1 kg em lados opostos da haste, com cada 20 centímetros do centro.
Enrole a corda ao redor do eixo até que o peso esteja perto do braço. Como antes, solte o peso e meça a distância que ele cai e o tempo que leva para cair. Repita este procedimento mais três vezes.
Com esses resultados experimentais, calcule o momento total médio de inércia para a haste giratória com massas anexadas.
Para estudar o efeito da distância no momento da inércia, reposicione as massas de 1 quilograma para que estejam cada uma a 10 centímetros do centro da haste.
Realize o procedimento experimental quatro vezes e observe qualquer efeito na taxa de rotação. Calcule o novo momento médio de inércia apenas para as massas e registe o resultado.
Por fim, para analisar o efeito da massa no momento da inércia, troque as duas massas para que cada uma sejam 2 kg e reposicione-as para que estejam a 20 centímetros do centro da haste.
Realize o procedimento experimental quatro vezes e observe novamente qualquer mudança no comportamento da haste giratória. Calcule o novo momento médio de inércia apenas para as massas e registe o resultado.
Valores teóricos e experimentais para o momento da inércia da haste, e das massas anexadas sozinhos, concordam razoavelmente bem, confirmando as equações descrevendo a inércia rotacional. Limitações na precisão da medição explicam a diferença percentual entre os resultados esperados e reais.
Como o momento de inércia é proporcional à massa, o resultado para as massas de 1 quilograma posicionadas a 20 centímetros do eixo de rotação é metade do que as massas de 2 kg na mesma distância.
Momento de inércia para as massas giratórias também é proporcional ao quadrado de distância do eixo de rotação. As massas de 1 quilograma localizadas a 20 centímetros do centro têm o dobro da distância e, como esperado, quatro vezes o momento de inércia em comparação com as mesmas massas a 10 centímetros.
A inércia rotacional é um efeito importante e pode ser usada de forma vantajosa em muitas situações.
Um andarilho da corda bamba carrega um longo poste para aumentar seu momento de inércia em comparação com o uso apenas de seus braços. Devido à maior inércia rotacional, o polo permanece estável e horizontal, permitindo que o andador da corda bamba permaneça equilibrado
As rodas de um carro ou qualquer veículo concentram a maior parte de sua massa no lado externo, mantendo o centro relativamente leve. Esta configuração semelhante a aro não só é mais leve, mas também tem menos inércia rotacional do que um disco sólido.
Como resultado, menos torque é necessário para girar e parar a roda, reduzindo as demandas do motor ao acelerar, além de desacelerar.
Você acabou de assistir a introdução de JoVE à inércia rotacional. Agora você deve entender que momento de inércia é e como depende da massa e distância do centro de rotação. Como sempre, obrigado por assistir!
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Results
| Valor Teórico
(kg m2) |
Valor Experimental
(kg m2) |
Diferença
(%) |
|
| Parte 1 | 0.20 | 0.22 | 10 |
| Parte 2 | 0.08 | 0.07 | 14 |
| Parte 3 | 0.02 | 0.02 | 0 |
| Parte 4 | 0.16 | 0.15 | 6 |
Os resultados do experimento confirmam as previsões feitas pelas Equações 7 e 8. O momento de inércia para uma haste giratória, como dado pela fórmula na etapa 1.4, foi confirmado experimentalmente. A distância reduzida na etapa 3 resultou em um momento menor de inércia, como previsto. A maior massa na etapa 4 resultou em um momento maior de inércia, como previsto pela Equação 8.
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Applications and Summary
Você já se perguntou por que um andarilho da corda bamba carrega uma vara muito longa? A razão é que o polo longo tem um momento muito grande de inércia devido ao seu comprimento. Portanto, requer uma grande quantidade de torque para fazê-lo girar. Isso ajuda o andador da corda bamba a se manter equilibrado, pois o poste permanecerá estável.
Rodas de carros e bicicletas nunca são apenas discos sólidos; em vez disso, eles têm raios que suportam a roda do eixo. Isso permite um design mais leve, que auxilia na velocidade, no entanto, a verdadeira razão para este design pode ser explicada inércia rotacional. Um disco sólido tem um momento maior de inércia do que uma forma de aro. Com seu menor momento de inércia, um aro requer menos torque para girar e, talvez mais importante, requer menos torque para parar de girar.
Quando um jogador de beisebol está no bastão contra um arremessador jogando bolas rápidas, ele pode querer acelerar seu balanço a fim de obter um hit. Ele pode conseguir isso simplesmente movendo as mãos para mais perto da extremidade pesada do morcego, que é chamado de "sufocamento". Isso reduz a distância do centro de massa do morcego para o eixo de rotação e, portanto, facilita a rotação do bastão.
Neste experimento, o momento de inércia para uma vara e duas massas foram medidos experimentalmente e teoricamente calculados. As diferenças entre esses valores foram examinadas. Foi testado o efeito da massa no momento da inércia, bem como o efeito da distância do eixo de rotação.
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