Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.
You will only be able to see the first 20 seconds.

 
Click here for the English version

מומנטום זוויתי

Overview

מקור: ניקולס טימונס, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה

התנף הזוויתי מוגדר כמכפלה של רגע האינרציה והמהירות הזוויתית של האובייקט. בדומה לאנלוגי הליניארי שלה, המומנטום הזוויתי נשמר, כלומר התנחם הזוויתי הכולל של מערכת לא ישתנה אם אין מומנטים חיצוניים במערכת. מומנט הוא המקבילה הסיבובית של כוח. מכיוון שמדובר בתנופה זוויתית שמורה היא כמות חשובה בפיזיקה.

מטרת הניסוי היא למדוד את התנע הזוויתי של מוט מסתובב ולהשתמש בשימור המומנטום הזוויתי כדי להסביר שתי הדגמות סיבוביות.

Principles

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

מומנטום זוויתי יכול להיכתב כמו:

Equation 1,(משוואה 1)

Equation 2איפה הוא הרגע של אינרציה והוא Equation 3 המהירות הזוויתית. רגע האינרציה הוא האנלוגיה הסיבובית של המסה לתנועה ליניארית. הוא קשור לפיזור המוני של אובייקט מסתובב ולציר הסיבוב. ככל שרגע האינרציה גדול יותר, כך יש צורך במומנט רב יותר כדי לגרום להאצה זוויתית על אובייקט. ניתן להשתמש בכלל הימני כדי לקבוע את כיוון התנף הזוויתי. כאשר האצבעות של יד ימין להתכרבל בכיוון הסיבוב, האגודל המורחב מצביע לכיוון של מומנטום זוויתי.

מומנט מוגדר כמכפלה של כוח המופעל במרחק מסוים מציר הסיבוב:

Equation 1,(משוואה 2)

Equation 6כאשר המרחק לציר הסיבוב והוא Equation 5 הכוח המופעל. אם מומנט פועל על עצם, המהירות הזוויתית של עצם זה תשתנה, יחד עם התנאי הזוויתי שלו. אם סכום המומנטים באובייקט שווה לאפס, התנע הזוויתי הכולל ישמור ויהיה לו אותו ערך סופי כפי שעשה בתחילה.

דוגמה מהנה לשימור המומנטום הזוויתי ניתן להדגים עם גלגל אופניים וכיסא מסתובב. הגלגל והאדם בכיסא מהווים מערכת עם תנופה זוויתית. אם האדם מחיל מומנט כדי לסובב את הגלגל, כאשר הציר מצביע אנכית, המערכת צוברת תאוצה זוויתית. אם האדם אז הופך את הגלגל מסתובב מעל, היא תתחיל להסתובב בכיסא שלה בכיוון ההפוך של הגלגל מסתובב. כאן, למערכת היה מומנטום זוויתי, עם הכיוון שלה נקבע על ידי כלל הימין. כאשר הגלגל התהפך, התנח הזוויתי של המערכת שינה כיוון. בגלל השימור, הכיסא החל להסתובב בכיוון ההפוך, כך שהתנופה הזוויתית הכוללת של המערכת הייתה שווה לזה של המערכת לפני שהגלגל התהפך.

הדגמה נוספת של שימור המומנטום הזוויתי יכולה להיעשות עם כיסא מסתובב ושתי משקולות. אם המשקולות מוחזקות באורך הזרוע בזמן שהכיסא מסתובב ואז מובאות קרוב לחזה, תהיה עלייה במהירות הזוויתית. זה קורה כי הבאת המשקולות קרוב יותר לציר הסיבוב מקטין את הרגע של אינרציה של המערכת. אם אין יותר כוח הפועל לסובב את הכיסא, אז מומנט על המערכת הוא אפס. המומנטום הזוויתי חייב להישאר קבוע, מכיוון שאין מומנטים, והדרך היחידה שזה יקרה היא שהמהירות הזוויתית תגדל.

בניסוי זה, מוט מסתובב מחובר למשקל נופל. המשקל הנופל יספק מומנט על המוט, והתנופה הזוויתית תימדד בשתי נקודות: ראשית כאשר המשקל ירד באמצע הדרך ולאחר מכן שוב המשקל מגיע לסוף החוט. ראו איור 1 לקבלת תמונה של ההתקנה הניסיונית.

הרגע של אינרציה של מוט ספינינג הוא Equation 7 , איפה Equation 8 המסה של המוט והוא Equation 9 האורך. ניתן למדוד כמויות אלה לפני הניסוי. כדי למצוא את המהירות הזוויתית Equation 3 , המשוואות הקינימטיות הסיבוביות ישמשו:

Equation 10. (משוואה 3)

משוואה 3 קובעת שהמהירות הזוויתית הסופית Equation 3 שווה למהירות הזוויתית הראשונית Equation 3 בתוספת התאוצה הזוויתית Equation 11 , כפול הזמן. כי המוט יתחיל במנוחה, Equation 12 יהיה שווה לאפס. התאוצה הזוויתית Equation 11 מוגדרת על ידי Equation 13 , איפה Equation 14 המומנט והוא הרגע של Equation 2 אינרציה. מומנט הוא המכפלה הצולבת של המרחק מציר הסיבוב לכוח, וכוח המשקל הגורם למתח במחרוזת, מה שגורם למוט להסתובב: Equation 1 . כוח זה הפועל על גלגלת שווה לכוח על המשקל: Equation 16 , Equation 17 איפה המסה והוא Equation 18 התאוצה עקב כוח המשיכה. רדיוס Equation 6 מומנט יהיה המרחק ממחרוזת הפצע לציר הסיבוב.

Figure 1
איור 1. התקנה ניסיונית. Inset: 1) מעמד טבעת גדול, 2) מאריך, 3) הרכבה מסתובבת, 4) משקל, ו 5) מוט.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

1. בדוק את התיאוריה של שימור המומנטום הזוויתי עם גלגל האופניים.

  1. בזמן שאתם יושבים בכיסא שיכול להסתובב בחופשיות, מתחילים לסובב את גלגל האופניים ואז מחזיקים אותו בידיות כך שכיוון התנף הזוויתי שלו אנכי.
  2. תוך החזקת הגלגל על ידי שתי הידיות, הפוך את הגלגל כך שהמומנטום הזוויתי שלו מצביע בכיוון ההפוך. שים לב כיצד הכיסא יתחיל להסתובב.

2. בדוק את התיאוריה של שימור המומנטום הזוויתי עם שתי משקולות.

  1. בזמן שאתם יושבים בכיסא שיכול להסתובב בחופשיות, יש להחזיק שתי משקולות במרחק הזרוע.
  2. יש שותף לקבל את הכיסא מסתובב ולאחר מכן להביא את המשקולות קרוב לחזה. שימו לב למהירות הסיבוב המוגברת של הכיסא.

3. למדוד את השינוי של מומנטום זוויתי מוט ספינינג.

  1. למדוד את אורך המוט ואת המסה שלה. באמצעות מקל מטר, למדוד את נקודת האמצע של המשקל הנופל ולסמן את הקרן האנכית עם סרט כדי לקבל התייחסות. חשב את רגע האינרציה של המוט.
  2. הוסף 200 גרם לסוף המחרוזת וסובב אותה למעלה. שים לב היכן נמצאת נקודת האמצע של המחרוזת.
  3. שחרר את המשקל ומדוד את משך הזמן שלוקח להגיע לסימן אמצע הדרך ואז שוב לתחתית. עשה זאת שלוש פעמים וקח את הערכים הממוצעים. חשב את המומנטום הזוויתי בשתי הנקודות.
  4. הגדל את המשקל בסוף המחרוזת ל- 500 גרם וחזר על שלב 3.3.
  5. הגדל את המשקל ל- 1,000 גרם וחזור על שלב 3.3.

מסה מסתובבת יש את המאפיין של מומנטום זוויתי ושימור של מומנטום זוויתי הוא מרכזי לפתרון בעיות בדינמיקה סיבובית.

כפי שמוסבר בסרטון אחר של אוסף זה, התנופה הליניארית של אובייקט אינה משתנה, כלומר Δp הוא אפס עד להחלת כוח חיצוני נטו.

אותו עיקרון שימור חל על מומנטום זוויתי, המציין את האות L. אז ΔL הוא גם אפס עד מומנט חיצוני נטו מוחל.

כאן, נסביר תחילה את הרעיון של מומנטום זוויתי ונראה כיצד הוא נשמר באמצעות דוגמאות שונות. ואז הסרטון מדגים ניסוי מעבדה הכולל מדידה של מומנטום זוויתי עבור מוט מסתובב.

כדי להבין את המומנטום הזוויתי, בואו נשקול כדור המחובר למחרוזת שעובר תנועה סיבובית על ציר. גודל המומנטום הזוויתי של הכדור'L' הוא r - רדיוס המעגל - כפול p, שהוא התנף התרגומי. עכשיו p הוא מסה כפול מהירות, כאשר המהירות היא המהירות המשיקת. המהירות המשיקת היא המהירות הזוויתית 'ω' כפול r. הכיוון של המומנטום הזוויתי ניתן על ידי כלל יד ימין. אם אתה מסלסל את האצבעות של יד ימין בכיוון הסיבוב, אז האגודל המורחב מצביע לכיוון התנע הזוויתי של המערכת.

בהתבסס על נוסחה זו ועל העיקרון של שימור מומנטום זוויתי, אנו יכולים לחזות כי בהיעדר מומנט חיצוני נטו, אם r מופחת ω יגדל, ואם r גדל ω יקטן.

עיקרון זה של שימור תנופה זוויתית ניכר בהחלקה על דמויות. עם הידיים החוצה מחליק מסתובב במהירות אחת, אבל ברגע שהם מביאים את זרועותיהם, מהירות הסיבוב עולה באופן משמעותי.

עכשיו שבדקנו את העיקרון של שימור מומנטום זוויתי, בואו נראה את זה בפעולה במעבדת פיזיקה. להדגמה הראשונה, שבו על כיסא שיכול להסתובב בחופשיות ולהחזיק שני משקולות במרחק הזרוע. בקש מאדם אחר לסובב את הכיסא. תוך כדי ספינינג, קרב את המשקולות לחזה ושים לב כיצד מהירות הסיבוב של הכיסא עולה.

כמו עם מחליק הקרח המסתובב, כאשר המשקולות מוחזקות רחוק מהגוף, לאדם על הכיסא יש רגע גבוה של אינרציה בגלל rגדול יחסית . קרבת המשקולות לגוף מפחיתה את רגע האינרציה של המערכת, ולכן בשל שימור המומנטום הזוויתי, מהירות הסיבוב עולה.

להדגמה השנייה, שב לשבת בכיסא שיכול להסתובב בחופשיות ולהחזיק גלגל אופניים על ידי ידיות כך הציר שלה הוא אנכי. ואז לסובב את הגלגל נגד כיוון השעון, שמירה על הכיסא נייח. לפי כלל יד ימין, כיוון וקטור התנע הזוויתי של הגלגל הוא אנכי, ומצביע למעלה.

הפוך את הגלגל כך שהוא מסתובב בכיוון השעון כאשר הציר הוא אנכי שוב. עכשיו המומנטום הזוויתי שלה מצביע למטה. שים לב איך הכיסא מסתובב בתגובה.

גלגל האופניים, האדם שמחזיק אותו והכיסא מהווים מערכת של חפצים מרובים. כאשר הגלגל לבדו מסתובב, למערכת זו יש מומנטום זוויתי מסוים. למרות שהאדם המחזיק את הגלגל מחיל מומנט כדי להפוך אותו, מומנט זה מקורו בתוך המערכת ומומנט חיצוני נטו הוא אפס.

ללא מומנט חיצוני מיושם, המומנטום הזוויתי נשמר, כלומר הוא אינו משתנה. היפוך הגלגל הופך את כיוון התנע הזוויתי שלו. על מנת לשמור על הכמות הכוללת של המומנטום הזוויתי במערכת נשמר, האדם והכיסא חייבים להסתובב, כך וקטור התנח הזוויתי המשולב שלהם מתנגד לזה של הגלגל.

כתוצאה מכך, התנח הזוויתי הכולל של האדם, הכיסא והגלגל ההפוך חייב להיות באותו סדר גודל ולהיות באותו כיוון כמו התנח הזוויתי של הגלגל במקומו המקורי.

לאחר מכן, בואו נראה ניסוי הכולל מדידה של מומנטום זוויתי של מוט מסתובב. בשביל זה, משקל נופל מושך פצע חוט סביב ציר. גודלו של מומנט התוצאה הוא המתח במחרוזת כפול רדיוס הסרן. מומנט זה מסובב את הציר, גורם להאצה סיבובית של המוט המחובר אליו. ניתן לחשב את רגע האינרציה של המוט מתוך המסה M והאורך L.

התאוצה הזוויתית של מוט המסתובב שווה למומנט זה חלקי רגע האינרציה של המוט. עם מידע זה, ניתן לחשב מהירות זוויתית בכל עת מהמשוואות עבור קינמטיקה סיבובית.

לבסוף, באמצעות רגע האינרציה והמהירות הזוויתית של המוט המסתובב, המומנטום הזוויתי של מוט המסתובב ייקבע בשתי נקודות: כאשר המשקל ירד באמצע הדרך וכאשר הוא הגיע לסוף מסעו.

לפני תחילת הניסוי, למדוד את אורך המוט ואת המסה ולאחר מכן לחשב את הרגע של אינרציה שלה. השתמש במקל מטר כדי לקבוע את נקודת האמצע של הנסיעה כלפי מטה של המשקל. סמן נקודה זו עם סרט על הקרן האנכית. חבר 200 גרם לסוף החוט ולסובב אותו עד המשקל מגיע למעלה.

שחרר את המשקל ומדוד את משך הזמן כדי להגיע לנקודת אמצע הדרך ואת משך הזמן להגיע לתחתית. הקלט את התוצאות. עשה זאת שלוש פעמים והשתמש בערכים הממוצעים כדי לחשב את המומנטום הזוויתי בשתי הנקודות.

להגדיל את המשקל על החוט ל 500 גרם. בצע את ההליך ארבע פעמים ורשום את התוצאות. לאחר מכן להגדיל את המשקל ל 1000 גרם, לחזור על ההליך ולרשום את התוצאות.

ככל שמסת המשקל הנופל עולה, המומנט והאצה הזוויתית על הציר של מוט ספינינג צריך להגדיל באופן פרופורציונלי. תיאורטית, בכל זמן נתון הן המהירות הזוויתית והן התנף הזוויתי אמורים לגדול באופן יחסי עם המומנט הזה.

בכל מרחק נתון שהמשקל ירד, התנע הזוויתי של מוט המסתובב היה צריך להיות פרופורציונלי לשורש הריבועי של המסה של המשקל. הניסוי הראה כי המומנטה הזוויתית עם המשקל של 500 גרם אכן הייתה בערך 1.6-או השורש הריבועי של פי 5/2 מהמשקל של 200 גרם. באופן דומה, הרגעה עם משקל 1000 גרם היו בערך 1.4 - או השורש הריבועי של פי 2 מזה של משקל 500 גרם.

יתר על כן, עבור משקל נתון המומנט ותאוצה זוויתית צריך להיות קבוע. במצב זה, המהירות הזוויתית של מוט ספינינג צריכה להגדיל באופן יחסי עם השורש הריבועי של המרחק המשקל נופל. המרחק האחרון היה כפול מההפרש בנקודת המחצית, כך שהמומנטום הזוויתי האחרון היה 1.4-או השורש הריבועי של פי 2 מהתנופה הזוויתית בנקודת האמצע.

התוצאות מניסוי זה מסכימות עם התיאוריה ומאשרות את הקשר בין מומנט למומנט למומנטום זוויתי.

מומנטום זוויתי הוא מאפיין חשוב של אובייקטים מסתובבים והשפעותיו נמצאות בליבת התקנים מכניים רבים ופעילויות יומיומיות.

בטח שמת לב שקל יותר לאזן על אופניים כאשר הוא בתנועה. הסיבה לכך היא מומנטום זוויתי. כאשר הגלגלים בתנועה, תהיה להם מידה מסוימת של תנופה זוויתית עם כיוון מאונך למסגרת. ככל שהמומנטום הזוויתי גדול יותר, כך המומנט הנדרש לשינוי המומנטום, ולכן קשה יותר להטות את האופניים.

מערכת נוספת המשתמשת בשימור המומנטום הזוויתי היא מסוקים עם שני רוטורים. כאן הרוטור הקדמי מסובב את הלהבים בכיוון השעון ורוטור הזנב מסובב את הלהבים בכיוון השעון. סיבובים אלה גורמים לשני מומנטה זוויתית מנוגדת, אשר מבטלים אחד את השני... וכתוצאה מכך שימור מומנטום זוויתי עבור המערכת כולה. וזה מה שמונע מהמסוק לצאת מכלל שליטה.

הרגע צפית בהקדמה של ג'וב למומנטום זוויתי. עכשיו אתה צריך להבין מה הוא מומנטום זוויתי, איך זה נשמר במערכות שונות, ואיך זה משפיע על ההתנהגות של אובייקטים מסתובבים. כמו תמיד, תודה שצפית!

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here
מסה
(ז)
מומנטום זוויתי באמצע הדרך
(ק"ג2)/s
מומנטום זוויתי בתחתית
(ק"ג2)/s
הבדל
(ק"ג2)/s
200 0.41 0.58 0.17
500 0.66 0.91 0.25
1,000 0.93 1.32 0.39

בשלב הראשון אושרה התיאוריה של שימור המומנטום הזוויתי, כאשר הכיסא החל להסתובב כשהגלגל התהפך. בשלב השני, התיאוריה של שימור המומנטום הזוויתי אושרה שוב, כאשר הכיסא החל להסתובב מהר יותר כאשר המשקולות הובאו ורגע האינרציה של המערכת צומצם. בשלב השלישי של המעבדה, המומנט המוגבר על מוט המסתובב הגדיל את המומנט הזוויתי. עם כל הכמויות האחרות להיות קבוע, המומנטום הזוויתי גדל ליניארית עם הזמן.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

בדיוק כמו בחלק הכיסא המסתובב של המעבדה, שינוי רגע האינרציה של אובייקט יכול להגדיל או להקטין את המהירות הזוויתית של עצם זה. מחליקי איורים מנצלים זאת ולעיתים יתחילו להסתובב כשזרועותיהם מושטות ואז לקרב את זרועותיהם לגופם, מה שיגרום להם להסתובב הרבה יותר מהר.

מדוע קל יותר לאזן על אופניים כאשר הוא בתנועה? התשובה היא מומנטום זוויתי. כאשר הגלגלים אינם מסתובבים, קל לאופניים ליפול. ברגע שהגלגלים בתנועה, תהיה להם מידה מסוימת של תנופה זוויתית. ככל שהמומנטום הזוויתי גדול יותר, כך נדרש מומנט רב יותר כדי לשנות אותו, כך שקשה יותר להטות את האופניים.

אם קוורטרבק שמשחק פוטבול זורק בלי לשים שום סיבוב על הכדור, הטיסה שלו תהיה מתנדנדת ועלול לפספס את המטרה שלה. כדי למנוע זאת, הקוורטרבקים משתמשים באצבעותיהם כדי לגרום לכדורגל להסתובב כשהם זורקים אותו. כאשר הכדור מסתובב כשהוא עף באוויר, יש לו מומנטום זוויתי, אשר דורש מומנט כדי לשנות את כיוון התנף הזוויתי. הכדור לא יתנדנד או יתהפך באוויר.

בניסוי זה, הרעיון של שימור המומנטום נבחן בשתי הדגמות. באחד, הכיוון של המומנטום הזוויתי נשמר, ובשני, הגודל נשמר. בחלק האחרון של הניסוי נמדדה השפעת מומנט על המומנט הזוויתי.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter