Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.

Équilibre et diagrammes de corps libre
 
Click here for the English version

Équilibre et diagrammes de corps libre

Overview

Source : Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Antonella Cooray, Ph.d., département de physique & astronomie, école de Sciences physique, University of California, Irvine, CA

Equilibrium est un cas particulier en mécanique qui est très important dans la vie quotidienne. Elle survient lorsque la force nette et le couple net sur un objet ou un système sont les deux zéro. Cela signifie que les deux les accélérations linéaires et angulaires sont nuls. Ainsi, l’objet est au repos, ou son centre de gravité se déplace à une vitesse constante. Toutefois, cela ne signifie pas qu’aucune des forces n’agissent sur les objets au sein du système. En fait, il y a très peu de scénarios sur la terre dans laquelle aucune force n’agissent sur un objet donné. Si une personne marche sur un pont, elles exercent une force vers le bas sur le pont proportionnelle à leur masse, et le pont exerce un égal et en face de forcer vers le haut sur la personne. Dans certains cas, le pont peut flex en réponse à la force vers le bas de la personne, et dans des cas extrêmes, lorsque les forces sont suffisant, le pont peut se déformer gravement ou peut même fracturer. L’étude de cette flexion des objets en équilibre s’appelle élasticité et devient extrêmement important lorsque les ingénieurs sont la conception bâtiments et structures que nous utilisons chaque jour.

Principles

Les exigences pour un système pour obtenir l’équilibre sont simples à écrire vers le bas. En équilibre, la somme des forces et la somme des couples sont nuls :

Σ F = 0 (équation 1)

et

Σ τ = 0. (Équation 2)

Le couple τ est une force angulaire, définie comme le produit vectoriel de la longueur du bras du levier de lorsque la force est appliquée à l’axe de rotation. Cette distance est dénotée comme r:

Τ = r x F, (équation 3)

sin(θ) = r F

où θ est l’angle auquel la force est appliquée sur le bras de levier. 3 équation devient simplement pour forces perpendiculaire en ce qui concerne le bras de levier, τ = r · F.

Ces équations sont assez simples à écrire, mais que le système en question devient plus complex, plus les forces et les couples sont impliqués, et trouver la configuration optimale répondant équilibre peut devenir assez difficile. L’approche générale pour résoudre l’équation 1 consiste à décomposer les forces dans les directions x, y et z -puis de résoudre l’équation 1 pour chacune des trois directions (par exemple,Σ Fx = Σ Fy = Σ Fz = 0). Dans les situations où il y a seulement le mouvement dans le plan xy, le couple est calculé autour d’un axe perpendiculaire à ce plan. Cet axe est arbitrairement choisi pour simplifier les calculs ; Si tous les objets dans le système sont au repos, puis l’équation 2 tiendra en vrai autour d’un axe. En trois dimensions, l’axe de rotation est encore généralement choisi tels que les calculs sont les plus simples, qui dépend de la configuration du système. Par exemple, choisir l’axe de rotation, afin que l’une des forces Inconnues agit par l’intermédiaire de cet axe sera une zéro bras de levier et n’engendrer aucune torsion (Voir l’équation 3), faisant un moins terme apparaît dans l’équation du couple. Il n’y a aucune technique unique pour résoudre les problèmes d’équilibre, mais en choisissant des systèmes de coordonnées commodes peut grandement simplifier le processus de résolution des équations 1 et 2.

Lorsque les objets dans le système subissent des forces d’équilibre, certains d'entre eux vont compresser ou développer, selon leur matériel et la configuration du système. Par exemple, lorsqu’une force est exercée sur une tige ou au printemps, sa longueur augmentera proportionnellement à la force, donnée par la Loi de Hooke :

F = k ΔL, (équation 4)

où ΔL est la longueur de l’expansion et k est une constante de proportionnalité, appelée la « constante de printemps ».

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

1. observer l’équilibre dans un système statique et vérifiez que la somme des forces et des couples est zéro. Confirmer le printemps constantes k utilisé dans le système.

  1. Obtenir un bâton de compteur, printemps deux échelles avec des constantes connues de printemps, deux stands de suspendre les ressorts de, deux poids de différentes masses et un mécanisme pour suspendre les poids du mètre bâton.
  2. Sécuriser les deux peuplements à la table, 1 m de distance.
  3. Fixer les ressorts sur les stands.
  4. Attachez le ressort à chaque extrémité de la baguette de compteur.
  5. Fixez la première au milieu de la baguette de compteur.
  6. Calculer la force et le couple de serrage exercée par le poids sur le bâton de compteur et de les enregistrer dans le tableau 1.
  7. Enregistrer la force exercée sur chacun des ressorts dans le tableau 1.
  8. Déplacez le poids vers la gauche en 0,2 m et répétez les étapes 1,6 à 1,7.
  9. Transférez le poids vers la gauche, une augmentation de 0,2 m, donc le déplacement total du centre de la baguette de compteur est 0,4 m. En d’autres termes, la longueur du bras du moment pour le printemps sur la gauche est de 0,1 m et la longueur du bras du moment pour le printemps sur la droite est de 0,9 m.
  10. Répétez les étapes 1,5 à 1,9 pour l’autre poids.
  11. Calculer l’écart en pourcentage des forces calculées sur les ressorts gauche et droit, FL et FR, contre les forces correspondantes lire les échelles de printemps.

Equilibrium est un cas particulier en mécanique classique mais est omniprésent dans la vie quotidienne, tandis que les diagrammes de corps libre aident à déchiffrer les forces sous-jacentes présentes.

Un système est en équilibre translationnelle si les forces qui agissent sur elle sont symétriques, c'est-à-dire la force nette est égale à zéro. Équilibre peut être obtenue dans un système de rotation si le couple net, t, est égale à zéro.

En plus de ces cas d’équilibre statique où les systèmes sont au repos, un équilibre dynamique implique qu’un système est déplacement mais n’éprouver aucune accélération linéaire un ou accélération angulaire, un.

Maintenant, même si un système est en équilibre, une multitude de forces individuelles ou couples peut agir sur elle, et des diagrammes de corps libre--composés de formes simples et flèches--sont souvent implémentées afin de conceptualiser ces forces et/ou couples agissant sur un système.

L’objectif de cette étude est de comprendre l’équilibre d’un système composé de plusieurs composants sous l’influence de diverses forces.

Avant d’analyser ce système complexe, nous allons revenir sur les notions d’équilibre et de diagrammes de corps libre. Comme mentionné précédemment, équilibre se produit dans un système translationnel, comme un ressort comprimé, quand la force de rappel soldes la masse gravitationnelle. Dans un système de rotation, exemple lorsque les poids sont attachés à une poutre pivote librement, l’équilibre est établi lorsque les couples équilibrer mutuellement. Notez que, par rapport à l’axe de rotation, le couple est positive pour une rotation dans le sens anti-horaire et négatif pour la rotation dans le sens horaire.

Dans ces cas, les forces nets ou couples sont égale zéro, et donc aucune accélération linéaire ou angulaire n’existe. Par la première loi de Newton, puisque ces systèmes sont en équilibre statique, ils doivent rester au repos.

Malgré l’absence d’une force nette ou le couple, plusieurs forces agissent sur les objets au sein de ces systèmes. Diagrammes de corps libre, ou des diagrammes de force, sont souvent dessinés afin de comprendre les forces et couples qui agissent sur les systèmes en équilibre.

Chaque contribution force ou le couple est représenté par une flèche dont la taille et direction entièrement décrit le vecteur en cause. Par l’intermédiaire de l’addition vectorielle, le système de translation est indiqué comme étant en équilibre. De même, en tenant compte de la direction de couple par rapport à l’axe, le système de rotation est aussi en équilibre.

Maintenant, imaginez la combinaison de ces systèmes tels qu’un poids est attaché au centre de la poutre, tandis que la poutre elle-même est suspendue à ses extrémités par deux ressorts. Le système est complex mais peut être compris à l’aide de deux schémas séparés de corps libre. Le système translationnel comprend le poids et le ressort de gauche et de droit restauration forces, notées comme FL et FR, respectivement.

Le système étant en équilibre, la somme des amplitudes des FL et FR doit être égale à l’ampleur du poids. Cette équation décrit équilibre transitoire.

Dans le système de rotation, au lieu de forces, nous avons couples. Rappelons que le couple est définie comme la force perpendiculaire fois la distance de r que la force est appliquée sur l’axe de rotation. Étant donné que le poids est placé sur l’axe de rotation, il n’exerce aucune torsion sur la poutre. Considérant que pour les ressorts, dans ce cas, la perpendiculaire des forces sont les forces de restauration et r est la distance respective du poids.

Maintenant encore une fois, le système étant en équilibre, les amplitudes de ces couples doivent être égales, et cette équation illustre équilibre de rotation.

Déplacer le poids du centre provoque la poutre s’incliner. Pour le système de translation, la somme des forces de restauration est toujours égale et opposée à celle du poids. Par conséquent, l’équation d’équilibre translationnelle--portant sur l’ampleur de ces forces--reste la même.

Pour le système de rotation, l’inclinaison de l’angle θ modifie les forces dans les couples de printemps à la composante cosinus des forces respectives de restauration. Les longueurs des bras rotationnels aussi changent. Cependant, le poids est encore à l’axe de rotation et donc n’exerce aucune torsion sur la poutre.

Étant donné que ce système est également en équilibre, les amplitudes des couples appliqués par les ressorts devraient être le même. Annulant le θ de cosinus, se traduit par la même formule de rotation équilibre.

Maintenant que vous comprenez les principes d’équilibre, nous allons appliquer ces concepts à un système qui connaît les forces et les couples. Cette expérience se compose d’un bâton de compteur, deux échelles de printemps, deux stands et deux poids de masses différentes capable d’être suspendu du mètre bâton.

Pour commencer, placez les deux se trouve un mètre dehors sur la table en vous assurant qu’ils sont sécurisés. Suspendre une échelle printemps hors de chaque stand,, et fixer chaque extrémité d’un bâton de mètre au bas d’une échelle de printemps.

Ensuite, attachez le poids moins massif à la mi-chemin de bâton mètre entre les échelles de printemps. Du système à l’équilibre de translation et de rotation, calculer les forces individuelles qui agissent sur le compteur collent et de les enregistrent.

Lire les valeurs sur chacune des échelles de printemps et d’enregistrer ces forces exercées par les ressorts de réaction.

Maintenant passer le poids 0,2 m à gauche faire le bras gauche rotation 0,3 m et le bras de rotation droite 0,7 m. Répétez le calcul des forces individuelles et les mesures d’échelle de printemps.

Enfin, transférez le poids vers la gauche, une augmentation de 0,2 m et effectuer les calculs de force et échelle des mesures de printemps. Répéter cette expérience d’équilibre pour le poids plus massif.

Les forces individuelles agissant sur le bâton de compteur se composent de la force gravitationnelle sur le poids attaché et les forces de rappel des ressorts. Quand on regarde les diagrammes de corps libre du système en équilibre de translation et de rotation, deux équations peuvent être utilisées pour déterminer les deux forces inconnues de restauration.

Les bras de rotation sont identiques lorsque le poids est à mi-chemin entre les ressorts. Par conséquent, chacune des forces du rétablissement doit être égal à la moitié du poids. Pour les expériences lorsque le poids est déplacé du centre, les forces de restauration sont dictées par le rapport entre leurs bras de rotation respectifs.

Ces valeurs calculées peuvent être comparées avec les forces de restauration déterminés à partir des mesures d’échelle de printemps. Les différences entre les valeurs sont dans les erreurs de mesure de l’expérience. Par conséquent, en invoquant les conditions d’équilibre, les forces de restauration peuvent être déterminées connaissant le poids de la masse et la longueur des bras rotation.

Les principes de base d’équilibre peuvent être précieuses quand les ingénieurs sont la conception de structures que nous utilisons chaque jour.

Un pont est toujours en équilibre statique, tout en ayant constamment les grandes forces et couples à la fois son propre poids et les charges se déplaçant à travers elle. Construction d’un pont suspendu, comme le Golden Gate de San Francisco, il faut donc des efforts importants de génie structurales pour s’assurer que l’équilibre est maintenu même durant les périodes de trafic lourd

De même, les gratte-ciels ont un système complexe de poutres d’acier sous des forces énormes, qui tout à fait composent un système rigide en équilibre statique. Par conséquent, une compréhension des concepts derrière équilibre aide architecte décider les paramètres de construction, afin que ces structures peuvent supporter une certaine quantité de couple, surtout dans les zones sensibles du tremblement de terre.

Vous avez juste regardé introduction de Jupiter à l’équilibre. Vous devez maintenant comprendre les principes d’équilibre et comment les diagrammes de corps libre peuvent être utilisés pour déterminer les forces et les couples qui contribuent à un système en équilibre. Merci de regarder !

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

On trouvera au tableau 1les résultats représentatifs pour l’expérience. La force exercée sur les deux ressorts par la pendaison masse sont dénotés par leurs localités : gauche et droite, précédé d’indices L et R. Puisqu’il y a deux inconnues dans cette expérience, F,Let FR, les deux équations sont nécessaires pour résoudre pour eux. Ainsi, les équations 1 et 2 servent à résoudre pour les deux forces. Les couples sont utilisées pour obtenir une relation entre Let FR .

Étant donné que la force exercée par le poids est à la baisse, l’angle θ dans l’équation 3 est 90 °, et le couple est juste r · F. les couples τLet τR sont également en directions opposées, dans le sens anti-horaire est défini comme le sens positif. Utilisant l’équation 2

-ΤL + τR = 0 = -rL FL + rR FR. (Équation 5)

De manière équivalente,

F L = FR rR/r/rL. (Équation 6)

À l’aide de l’équation 1

F L + F R = m g, (équation 7)

m est la masse du poids et g est la constante de gravitation de 9,8 m/s2. En d’autres termes, la force à la baisse du poids égal à la somme des forces soutenant le poids et système de bâton de compteur, qui est seulement deux ressorts à gauche et à droite, qui sont suspendre le système. Avec ces deux équations (6 et 7), on peuvent calculer les inconnues FL et FR . Ceux-ci sont indiqués dans le tableau 1. Ces valeurs sont comparées avec les forces exercées sur les ressorts dans les deux dernières colonnes du tableau. Légères discordances sont attendues d’erreurs de mesure. En outre, il a été supposé que la masse du bâton de compteur est à zéro, ce qui est incorrect, à proprement parler, mais néanmoins une bonne approximation. Ce laboratoire utilise des échelles de printemps, qui montrent combien Newtons sont appliquées au printemps lorsque étiré, donc il n’est pas nécessaire de connaître le ressort de constante, k.

Le tableau 1. Résultats théoriques et expérimentaux.

Masse (g) rL (cm) rR (cm) FL (N) FR (N) FL, printemps (N) FR, printemps (N) diff % (à gauche) diff % (à droite)
100 50 50 0,5 0,5 0,45 0,45 9,9 9,9
100 30 70 0,68 0,29 0,65 0,3 4.4 3.4
100 10 90 0,9 0,1 0,85 0,1 5.5 0
200 50 50 0,98 0,98 1 1 0 0
200 30 70 1.38 0,59 1.35 0.55 2.1 7.2
200 10 90 1.8 0,2 1,85 0,2 2.7 0

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

Tous les ponts sont sous une certaine quantité de stress, à la fois leur propre poids et le poids des charges se déplaçant à travers. Ponts suspendus, comme le Golden Gate, constituent un système complex d’objets sous des forces très lourds et en équilibre. Les câbles qui soutiennent le pont sont élastiques, et leur élasticité est considérée lorsque les ingénieurs structurels a conçu le pont. De même, les gratte-ciels ont un système complexe de poutres d’acier sous des forces énormes, qui tout à fait composent un système rigide en équilibre statique. Élasticité joue un rôle dans les matériaux utilisés pour construire des bâtiments, comme ils doivent être capables de résister à un certain degré de flexion, surtout dans les zones où les séismes sont fréquents. Les grues utilisées pour construire ces structures sont aussi en équilibre, avec un système complexe de câbles et de poulies pour lever et abaisser les matériaux de construction.

Dans cette étude, l’équilibre d’un système composé de plusieurs composants sous diverses forces a été observée. Les effets des composantes élastiques ont également observés en utilisant des balances de ressort de constantes connues de printemps. Les forces exercées sur les ressorts ont été calculées en utilisant les deux conditions nécessaires à l’équilibre : la somme des forces et la somme des couples sont nuls.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter