Overview
מקור: קטרון מיטשל-ווין, PhD, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה
שיווי משקל הוא מקרה מיוחד במכניקה שחשוב מאוד בחיי היומיום. זה קורה כאשר כוח הרשת ומומנט הרשת באובייקט או במערכת הם שניהם אפס. משמעות הדבר היא כי הן התאוצות הליניאריות והן התאוצות הזוויתיות הן אפס. לפיכך, האובייקט נמצא במנוחה, או שמרכז המסה שלו נע במהירות קבועה. עם זאת, אין זה אומר שאף כוחות אינם פועלים על האובייקטים בתוך המערכת. למעשה, ישנם מעט מאוד תרחישים על פני כדור הארץ שבהם אין כוחות הפועלים על כל אובייקט נתון. אם אדם חוצה גשר, הוא מפעיל כוח כלפי מטה על הגשר ביחס למסה שלו, והגשר מפעיל כוח שווה והפוך כלפי מעלה על האדם. במקרים מסוימים, הגשר עשוי להתגמש בתגובה לכוח כלפי מטה של האדם, ובמקרים קיצוניים, כאשר הכוחות גדולים מספיק, הגשר עשוי להיות מעוות ברצינות או אפילו שבר. המחקר של כיפוף זה של אובייקטים בשיווי משקל נקרא גמישות והופך חשוב ביותר כאשר מהנדסים מתכננים מבנים ומבנים שאנו משתמשים בהם מדי יום.
Principles
הדרישות עבור מערכת כדי להשיג שיווי משקל הם פשוטים לכתוב. בשיווי משקל, סכום הכוחות וסכום המומנטים הם אפס:
Σ F = 0 (משוואה 1)
ו
Σ τ = 0. (משוואה 2)
המומנט הוא כוח זוויתי, המוגדר כמכפלה צולבת של אורך זרוע הידית שממנה מוחל הכוח על ציר הסיבוב. המרחק הזה מסומן כ- r:
τ = r x F, (משוואה 3)
= r F sin(θ)
כאשר θ הוא הזווית שבה הכוח מוחל על זרוע הידית. עבור כוחות מאונכים ביחס לזרוע הידית, משוואה 3 פשוט הופכת τ = r · פ.
משוואות אלה הן פשוטות מספיק כדי לכתוב, אבל ככל שהמערכת המדוברת הופכת למורכבת יותר, מעורבים יותר כוחות ומומנטים, ומציאת התצורה האופטימלית המספקת שיווי משקל יכולה להיות קשה למדי. הגישה הכללית לפתרון משוואה 1 היא לפרק את הכוחות לכיווני x, y ו- zולאחר מכן לפתור את משוואה 1 עבור כל אחד משלושת הכיוונים (לדוגמה,Σ Fx = Σ Fy = Σ Fz = 0). במצבים שבהם יש תנועה רק במישור xy,המומנט מחושב על ציר בניצב למישור זה. ציר זה נבחר באופן שרירותי כדי לפשט את החישובים; אם כל האובייקטים במערכת נמצאים במנוחה, משוואה 2 תחזיק מעמד לגבי כל ציר. בשלושה ממדים, ציר הסיבוב נבחר שוב בדרך כלל כך שהחישובים הם הפשוטים ביותר, התלויים בתצורת המערכת. לדוגמה, בחירת ציר הסיבוב כך שאחד הכוחות הלא ידועים יפעל דרך ציר זה תגרום לזרוע אפס ידית ולא תפיק מומנט (ראה משוואה 3), מה שהופך מונח אחד פחות להופיע במשוואת מומנט. אין טכניקה אחת לפתרון בעיות שיווי משקל, אבל בחירת מערכות קואורדינטות נוחות יכולה לפשט מאוד את תהליך פתרון משוואות 1 ו -2.
כאשר האובייקטים במערכת עוברים כוחות שיווי משקל, חלקם יידחסו או יתרחבו, בהתאם לחומר שלהם ולתצורה בתוך המערכת. לדוגמה, כאשר מופעל כוח על מוט או קפיץ, אורכו יתרחב באופן פרופורציונלי לכוח, שניתן על פי חוק הוק:
F = k ΔL, (משוואה 4)
כאשר ΔL הוא אורך ההתרחבות ו- k הוא קבוע של מידתיות הנקרא "קבוע האביב".
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Procedure
1. התבונן בשיווי משקל במערכת סטטית וודא שסכום הכוחות ומומנטים הוא אפס. אשר את קבועי האביב k המשמשים במערכת.
- להשיג מקל מטר, שני קשקשי קפיץ עם קבועי קפיץ ידועים, שני דוכנים להשעות את הקפיצים מ, שני משקולות של מסות שונות, ומנגנון להשעות את המשקולות ממקל המונה.
- אבטחו את שני הדוכנים לשולחן, במרחק של מטר אחד זה מזה.
- חבר את המעיינות ליציעים.
- חבר את הקפיץ לכל קצה של מקל מטר.
- חבר את המשקל הראשון לאמצע מקל המונה.
- חשב הן את הכוח והן את המומנט המופעלים על ידי המשקל על מקל המונה ורשום אותם בטבלה 1.
- תיעד את הכוח המופעל על כל אחד מהמעיינות בטבלה 1.
- הסט את המשקל שמאלה ב- 0.2 מ' וחזר על שלבים 1.6-1.7.
- הסט את המשקל שמאלה 0.2 מ 'נוספים, כך ההעתקה הכוללת ממרכז מקל המונה היא 0.4 מ '. במילים אחרות, אורך זרוע הרגע עבור האביב בצד שמאל הוא 0.1 מ ', ואת אורך זרוע הרגע עבור האביב בצד ימין הוא 0.9 מ '.
- חזור על שלבים 1.5-1.9 עבור המשקל השני.
- לחשב את ההבדל באחוזים של הכוחות המחושבים על הקפיצים השמאלי והיימין, FL ו- FR, נגד הכוחות המתאימים לקרוא את קשקשי האביב.
שיווי משקל הוא מקרה מיוחד במכניקה הקלאסית, אך הוא נמצא בכל מקום בחיי היומיום, בעוד שדיאגרמות גוף חופשי עוזרות לפענח את הכוחות הבסיסיים הקיימים.
מערכת נמצאת בשיווי משקל תרגומי אם הכוחות הפועלים עליה מאוזנים, כלומר, הכוח נטו הוא אפס. שיווי משקל יכול גם להיווצר במערכת סיבוב אם מומנט נטו, t, הוא אפס.
בנוסף למקרי שיווי משקל סטטיים אלה שבהם המערכות נמצאות במנוחה, שיווי משקל דינמי מרמז על כך שמערכת נעה אך אינה חווה האצה ליניארית או תאוצה זוויתית, a.
עכשיו, גם אם מערכת נמצאת בשיווי משקל, כוחות או מומנטים בודדים יכולים לפעול על זה, ודיאגרמות גוף חופשי - המורכבות מצורות וחיצים פשוטים - מיושמות לעתים קרובות על מנת להמשיג את הכוחות ו/ או המומנטים האלה הפועלים במערכת.
מטרת הניסוי היא להבין את שיווי המשקל של מערכת המורכבת מרכיבים מרובים בהשפעת כוחות שונים.
לפני שניתחנו את המערכת המורכבת הזו, בואו נחזור למושגים של שיווי משקל ודיאגרמות גוף חופשי. כפי שהוזכר קודם לכן, שיווי משקל מתרחש במערכת תרגומית, כגון קפיץ טעון, כאשר כוח השיקום מאזן את משקל הכבידה. במערכת סיבובית, לדוגמה כאשר משקולות מחוברות לקרן מסתובבת בחופשיות, שיווי משקל נקבע כאשר המומנטים מאזנים זה את זה. שים לב כי ביחס לציר הסיבוב, מומנט הוא חיובי לסיבוב נגד כיוון השעון ושלילי לסיבוב בכיוון השעון.
במקרים אלה, כוחות הרשת או המומנטים שווים לאפס ולכן לא קיימת תאוצה ליניארית או זוויתית. לפי החוק הראשון של ניוטון, מכיוון שמערכות אלה נמצאות בשיווי משקל סטטי, עליהן להישאר במנוחה.
למרות היעדר כוח נטו או מומנט, כוחות מרובים פועלים על האובייקטים בתוך מערכות אלה. דיאגרמות גוף חופשי, או דיאגרמות כוח, נמשכות לעתים קרובות כדי להבין את הכוחות ואת המומנטים הפועלים במערכות בשיווי משקל.
כל כוח או מומנט התורמים מיוצגים על ידי חץ שגודלו וכיוונו מתארים באופן מלא את הווקטור המדובר. באמצעות תוספת וקטורית, מערכת התרגום מוצגת בשיווי משקל. באופן דומה, על ידי התחשבות בכיוון המומנט ביחס לציר, מערכת הסיבוב נמצאת גם בשיווי משקל.
עכשיו, תארו לעצמכם שילוב מערכות אלה כך משקל מחובר למרכז הקרן בעוד הקרן עצמה תלויה בקצותיה על ידי שני קפיצים. המערכת מורכבת אך ניתן להבין אותה באמצעות שתי דיאגרמות נפרדות של גוף חופשי. מערכת התרגום כוללת את המשקל ואת כוחות שחזור האביב השמאלי והימיני, המוזכרים כ- FL ו- FR, בהתאמה.
מאז המערכת נמצאת בשיווי משקל, סכום סדרי הגודל של FL ו FR צריך להיות שווה את גודל המשקל. משוואה זו מתארת שיווי משקל מעברי.
במערכת הסיבוב, במקום כוחות יש לנו מקטורים. זכור כי מומנט מוגדר ככוח הניצב כפול המרחק r שהכוח מוחל מציר הסיבוב. מאז המשקל ממוקם על ציר הסיבוב, הוא מפעיל מומנט על הקורה. בעוד שעבור המעיינות במקרה זה, הכוחות המאונכים הם הכוחות המשקמים ו- r הוא המרחק המתאים מהמשקל.
עכשיו שוב, מכיוון שהמערכת נמצאת בשיווי משקל, סדרי הגודל של המומנטים האלה צריכים להיות שווים, והמשוואה הזו ממחישה שיווי משקל סיבובי.
הזזת המשקל מהמרכז גורמת לקורה להטות. עבור מערכת התרגום, סכום הכוחות המשקמים עדיין שווה והפוך מזה של המשקל. לכן, המשוואה לשיווי משקל תרגומי - העוסקת בסדר הגודל של הכוחות האלה - נשארת זהה.
עבור מערכת הסיבוב, ההטיה בזווית θ משנה את הכוחות המומנטים באביב לרכיב הקוסינוס של כוחות השיקום המתאימים. גם אורכי הזרועות הסיבוביות משתנים. עם זאת, המשקל הוא עדיין על ציר הסיבוב ולכן אינו מפעיל מומנט על הקורה.
מאז מערכת זו היא גם בשיווי משקל, סדרי הגודל של המומנטים המיושמים על ידי המעיינות צריך להיות זהה. ביטול הקוסינוס θ, גורם לאותה נוסחת שיווי משקל סיבובית.
עכשיו שאתם מבינים את עקרונות שיווי המשקל, בואו ניישם את המושגים האלה על מערכת שחוותה גם כוחות וגם מומנטים. ניסוי זה מורכב ממקל מטר, שני קשקשי קפיץ, שני עמדות, ושני משקולות של מסה שונה המסוגלת להיות תלויה ממקל המונה.
כדי להתחיל, הנח את שני ניצבים במרחק של מטר אחד זה מזה על השולחן ולוודא שהם מאובטחים. השהה סולם קפיץ מכל מעמד, וחבר כל קצה של מקל מטר לתחתית סולם האביב.
לאחר מכן, חבר את המשקל הנמוך ביותר למקל המונה באמצע הדרך בין קשקשי האביב. עם המערכת תחת שיווי משקל תרגומי וסיבובי, לחשב את הכוחות הבודדים הפועלים על מקל מטר ולתעד אותם.
קרא את הערכים בכל אחד מקשקשי האביב ותיעד את כוחות השיקום המופעלים על ידי המעיינות.
עכשיו להזיז את המשקל 0.2 מ 'שמאלה מה שהופך את זרוע הסיבוב השמאלי 0.3 מ 'וזרוע הסיבוב הימני 0.7 מ '. חזור על חישוב הכוחות הבודדים ועל מידות סולם האביב.
לבסוף, הסט את המשקל שמאלה 0.2 מ 'נוספים ולבצע את חישובי הכוח ומדידות קנה המידה באביב. חזור על ניסוי שיווי המשקל הזה למשקל העצום יותר.
הכוחות הבודדים הפועלים על מקל המונה מורכבים מכוח הכבידה על המשקל המצורף ומכוחות השיקום של המעיינות. כאשר מסתכלים על דיאגרמות הגוף החופשי של המערכת תחת שיווי משקל תרגומי וסיבובי, ניתן להשתמש בשתי משוואות כדי לקבוע את שני כוחות השיקום הלא ידועים.
זרועות הסיבוב זהות כאשר המשקל הוא באמצע הדרך בין הקפיצים. לכן, כל אחד מהכוחות המשקם צריך להיות שווה למחצית המשקל. עבור הניסויים כאשר המשקל מועבר מהמרכז, הכוחות המשיבים מוכתבים על ידי היחס בין זרועות הסיבוב שלהם.
ניתן להשוות ערכים מחושבים אלה עם הכוחות המשקמים שנקבעו ממדידות סולם האביב. ההבדלים בין הערכים נמצאים בתוך שגיאות המדידה של הניסוי. לכן, על ידי הפעלת תנאי שיווי משקל, הכוחות המשקמים ניתן לקבוע עם ידע על המסה של המשקל ואת אורך זרועות הסיבוב.
העקרונות הבסיסיים של שיווי משקל יכולים להיות יקרי ערך כאשר מהנדסים מתכננים מבנים שאנו משתמשים בהם מדי יום.
גשר נמצא תמיד בשיווי משקל סטטי תוך שהוא חווה כל הזמן כוחות גדולים ומומנטים ממשקלו שלו ומהעומסים הנעים על גופו. לכן, בניית גשר תלוי, כמו שער הזהב בסן פרנסיסקו, דורשת מאמצים הנדסיים מבניים משמעותיים כדי להבטיח כי שיווי המשקל נשמר גם בזמנים של תנועה כבדה
באופן דומה, לגורדי שחקים יש מערכת מורכבת של קורות פלדה תחת כוחות עצומים, אשר לגמרי מרכיבים מערכת נוקשה בשיווי משקל סטטי. לכן, הבנה של המושגים מאחורי שיווי משקל מסייעת לאדריכל להחליט על פרמטרי הבנייה, כך שמבנים אלה יכולים לעמוד בכמות מסוימת של מומנט, במיוחד באזורים מועדים לרעידת אדמה.
הרגע צפית בהקדמה של ג'וב לשיווי משקל. כעת עליכם להבין את עקרונות שיווי המשקל וכיצד ניתן להשתמש בדיאגרמות גוף חופשי כדי לקבוע את הכוחות ואת המומנטים התורמים למערכת בשיווי משקל. תודה שצפיתם!
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Results
התוצאות הייצוגיות לניסוי ניתן למצוא בטבלה 1. הכוח המופעל על שני המעיינות על ידי המסה התלויה מסומן על ידי מיקומם: שמאל וימין, מסומן על ידי כתובים L ו- R. מאז יש שני לא ידועים בניסוי זה, FL ו- FR, שתי משוואות נדרשות לפתור עבורם. לפיכך, משוואות 1 ו-2 משמשות לפתרון עבור שני הכוחות. מומנטים משמשים כדי להשיג קשר בין FLו- FR .
מכיוון שהכוח המופעל על ידי המשקל הוא כלפי מטה, הזווית במשוואה 3 היא 90°, ומומנט הוא רק r · F.המומנטים τLו τR נמצאים גם בכיוונים מנוגדים, כאשר נגד כיוון השעון מוגדר ככיוון החיובי. שימוש במשוואה 2
-τL + τR = 0 = -rL FL + rR FR. (משוואה 5)
באופן שווה ערך,
FL = FR RR/ rL. (משוואה 6)
שימוש במשוואה 1
FL + FR = m g, (משוואה 7)
כאשר m הוא המסה של המשקל ו g הוא קבוע הכבידה של 9.8 מ '/s2. כלומר, כוח הירידה של המשקל שווה לסכום הכוחות המחזיקים את מערכת מקל המשקל והמונה, שהיא רק שני הקפיצים משמאל ומימין, השעיית המערכת. עם שתי משוואות אלה (6 ו - 7), ניתן לחשב את הלא ידועים FL ו- FR. אלה מוצגים בטבלה 1. ערכים אלה משווים לכוחות המופעלים על הקפיצים בשתי העמודות האחרונות של הטבלה. צפויים אי-התאמות קלות משגיאות מדידה. בנוסף, ההנחה היא כי המסה של מקל מטר הוא אפס, וזה לא נכון, בהחלט, אבל בכל זאת קירוב טוב. מעבדה זו משתמשת בקשקשי קפיץ, המראים כמה ניוטון מוחלים על הקפיץ כאשר הם מתוחים, ולכן אין צורך לדעת את קבוע האביב, k.
טבלה 1. תוצאות תיאורטיות וניסיוניות.
| מסה (ז) | rL (ס"מ) | rR (ס"מ) | FL (N) | FR (N) | FL, אביב (N) | FR, אביב (N) | % הבדלים (משמאל) | % הבדל (מימין) |
| 100 | 50 | 50 | 0.5 | 0.5 | 0.45 | 0.45 | 9.9 | 9.9 |
| 100 | 30 | 70 | 0.68 | 0.29 | 0.65 | 0.3 | 4.4 | 3.4 |
| 100 | 10 | 90 | 0.9 | 0.1 | 0.85 | 0.1 | 5.5 | 0 |
| 200 | 50 | 50 | 0.98 | 0.98 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 200 | 30 | 70 | 1.38 | 0.59 | 1.35 | 0.55 | 2.1 | 7.2 |
| 200 | 10 | 90 | 1.8 | 0.2 | 1.85 | 0.2 | 2.7 | 0 |
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
Applications and Summary
כל הגשרים נמצאים תחת מידה מסוימת של מתח, הן מהמשקל שלהם והן ממשקל העומסים הנעים לרוחב. גשרים תלויים, כמו שער הזהב, הם מערכת מורכבת של חפצים תחת כוחות כבדים מאוד ושיווי משקל. הכבלים שמחזיקים את הגשר למעלה הם אלסטיים, ואלסטיותם נחשבה כאשר מהנדסי המבנים עיצבו את הגשר. באופן דומה, לגורדי שחקים יש מערכת מורכבת של קורות פלדה תחת כוחות עצומים, אשר לגמרי מרכיבים מערכת נוקשה בשיווי משקל סטטי. גמישות ממלאת תפקיד בחומרים המשמשים לבניית מבנים, שכן הם צריכים להיות מסוגלים לעמוד בכמות מסוימת של כיפוף, במיוחד באזורים שבהם רעידות אדמה שכיחות. העגורים המשמשים לבניית מבנים אלה נמצאים גם בשיווי משקל, עם מערכת מורכבת של כבלים ו גלגלות להרים ולהוריד את חומרי הבנייה.
במחקר זה נצפתה שיווי משקל של מערכת המורכבת מרכיבים מרובים תחת כוחות שונים. ההשפעות של הרכיבים האלסטיים נצפו גם באמצעות קשקשי האביב של קבועי האביב הידועים. הכוחות שהופעלו על המעיינות חושבו באמצעות שני התנאים הדרושים לשיווי משקל: סכום הכוחות וסכום המומנטים הם אפס.
Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.
