כיווץ עמודי פלדה

מכיוון שניתן להבחין בתופעת ההתמוטטות בקלות, היא הייתה ידועה מאז ימי קדם, אך תובנות אנליטיות על בעיית ההתמוטטות לא זכו לתשומת לב עד 1700, כאשר היסודות המתמטיים של הפיזיקה הפכו לנושא פופולרי של המחקר. לאונהרד אוילר, מתמטיקאי שווייצרי מפורסם, היה הראשון לספק את הפתרון לעומס ההוקאלינג של טור שנתמך פשוט בשנת 1742. אוילר ניסח את הפתרון שלו בטענה שעמוד ישר לחלוטין יכול להיות בשיווי משקל בשתי תצורות: אחד לא מעוצב ואחד מעוות (עמדה מעט כפופה).

עבור הטור המעוות, אוילר טען כי שיווי המשקל בתצורה מעט כפופה שבה הרגעים החיצוניים, שניתנו על ידי העומס P הפועל באקסצנטריות y, מאוזנים על ידי הרגעים הפנימיים (M):

(א"ק 1)

הכמות y היא ההעתקה לרוחב לאורך z. הנגזרת הראשונה של Y היא השיפוע, והנגזרת השנייה של Y היא העקמומיות של החבר. ההתנגדות הפנימית היא פרופורציונלית העקמומיות, או לרגע הפנימי מחולק על ידי נוקשות כיפוף (EI), כך:

(א"ק 2)

במשוואה זו E הוא מודולוס האלסטיות ואני הרגע של אינרציה, מאפיין גיאומטרי של המקטע. החלפת (Eq. 2) לתוך (Eq. 1) והגדרתה שווה לאפס מעניקה את המשוואה הדיפרנציאלית המסורתית של ההתכווצות, כאשר y הוא העיוות האופקי, ו- k הוא משתנה החלפה המשמש לפישוט המשוואות.

(א"ק 3)

אם נניח שעיוות העמודה לאורך אורכו z ניתן על-ידי:

(א"ק 4)

ושהעמודה הצמידה קצוות, ושקצוות אלה אינם נעקרו לרוחב ביחס זה לזה, ואז מצב הגבול ב- z = 0 ו- L, ההעתקה לרוחב, הוא אפס. כך

(א"ק 5)

איפה N = 1,2, .... הערך הנמוך ביותר עבור N הוא 1, שהוא עומס קריסה אלסטי (P _קריטי או P _cr). עבור עמודה עם קצוות מוצמדים, (כלומר עם קצוות חופשיים לסיבוב, אך לא לתרגם כתנאי הגבול הנתון לעיל) P_cr ניתן על ידי עומס קריסת אוילר:

(א"ק 6)

חשוב לציין כי משוואה זו אינה מכילה מונחים הקשורים לחוזק החומר, אלא רק לאמודלוס האלסטיות (E), הממדים והאורך שלו. רגע האינרציה (I) של קטע המורכב מחלקים מלבניים ניתן על ידי הסיכום על הצנטריואיד של החלק של שני מרכיבים: רגע האינרציה של המלבן הבודד (bd³/12) בתוספת שטחו (A) כפול המרחק שלו מהמרכז של המקטע כולו (ד):

(א"ק 7)

כ"ק 7 מדגיש כי ניתן להגדיל את ערכי באופן משמעותי על ידי הצבת רוב החומר רחוק ככל האפשר מהמרכז (כלומר על ידי מיקסום ד). לדוגמה, עבור שטח כולל קבוע של 13 ב.², ניתן לבחור בשתי הפצות: (א) מלבן יחיד אחד של 13 in. x 1 in., וכתוצאה מכך I של 183 in.⁴, או (b) מקטע בצורת W עם שני אוגנים של 6.5 in. x 0.45 in. מחובר עם אינטרנט של 0.35 ב. x 19.1 in., וכתוצאה מכך אני בסך הכל 761 ב.⁴. ברור שצורת ה- W תהיה שימוש יעיל בהרבה בחומר ביחס לדחיסה, שכן היא תספק יותר מפי 4 קיבולת כיווץ גדולה יותר. צורת ה- W הסטנדרטית בפועל של AISC עם שטח של 13 אינץ'², W21x44 (עומק נומינלי של 21 אינץ' ומשקל של 44 ליברות למטר) מספקת I של⁸⁴³ אינץ' 4 או יותר מפי 4.5 מזה של החלק המלבני.

הקשר בין רגע האינרציה (I) לבין אזור (A) מוגדר על-ידי רדיוס ההגייה (r):

(א"ק 8)

יכולת ההחלקה מתבטאת לעיתים כלחץ קריטי (F_cr) על ידי חלוקת העומס הקריטי על ידי האזור:

(א"ק 9)

יש לזכור כי ישנן כמה מגבלות הטמונות בגזור א"ק (6) ו- א"ק (9) בכך שהם מניחים:

1. התנהגות אלסטית גרידא, ולכן הם תקפים רק עד לגבול היחסי של החומר.
2. העומס מוחל במרכז העמודה, אשר קשה להשיג בפועל. לכן, מוזרויות ראשוניות מקריות ישחקו תפקיד בעיצוב.
3. הטור הוא בתחילה ישר לחלוטין. מכיוון שצורות פלדה מיוצרות על ידי תהליך מתגלגל, יהיה להם קמבר לטאטא (כלומר, הם יהיו מעוקלים מעט לאורך שני הצירים העיקריים). פגמים ראשוניים אלה הם קטנים, בסדר גודל של L/1000, אך יגרמו להתנהגות עמודה אמיתית לסטות מהתנהגות עמודה אידיאלית.
4. צורה מוסטה, אשר במקרה שלנו לקח את הצורה של פונקציה טריגונומטרית (כלומר, שילוב של פונקציות סינוס וקוסינוס). במקרה זה, השתמשנו למעשה בפתרון האנליטי הנכון, אבל זה לא תמיד אפשרי. באופן כללי, כל פונקציה הקירוב הפתרון הנכון ייתן משוער משביע רצון, אבל לא פתרון מדויק.
5. תנאי סיום אידיאליים. כדי לפתור את עומס ההצטרובלות, יש לקבוע את תנאי הגבול לבעיה המתמטית, והנחנו שהעמודה הצמידה קצוות. בנוסף, ההנחה הייתה כי קצות העמודה לא תורגמו לרוחב זה לזה (כלומר, זהו המקרה המונע על ידי השפעה, המתרחש במסגרות מוכנות, בניגוד למקרה המותר, המתרחש במסגרות לא מנומשות). בחיים האמיתיים, תנאים אידיאליים אלה יכולים להיות משוערים רק.
6. היעדר כל לחצים שיורית, הנובעים קירור גלגול של צורות הפלדה במהלך הייצור. אלה מדגישים תוצאות מניב מוקדם מהצפוי ואת אובדן הרגע של אינרציה, כמו החלקים המניבים יש מודולוס של גמישות של אפס. ככל שנוקשות העמודה פוחתת, הקיבולת של העמודה צריכה לרדת, שכן Eq. 1 יש EI במונה.

המגבלות השני, השלישי והאחרון מטופלות בדרך כלל יחד כפגמים ראשוניים, וגודלן מפתח לסובלנות בנייה ויסודות מבוססים. פותחו עקומות עיצוב עמודות המטפלות בבעיות אלה באופן משביע רצון.

מערכת מבנית/מכנית אמורה להיות רגישה לאי שלמות אם יכולת נשיאת העומס של המערכת הלא מושלמת נמוכה משמעותית מזו של המערכת המושלמת. לעומת זאת, מערכת אמורה להיות חוסר רגישות אם אין אובדן של יכולתcarryrying בגלל הפגמים. טור אמור להיות עמודה מושלמת אם הוא ישר, והעומס הוא קונצנטרי. אמנם זה בלתי אפשרי בפועל, אנחנו ברי מזל כי עמודות הם חסרי שלמות, ולכן לא יהיה כל אובדן פתאומי של יכולת נשיאת עומס תחת עומסים רגילים. מאידך גיסא, כדורים וצילינדרים רגישים לפגמים, וכתוצאה מכך יש להקפיד רבות במהלך בניית פגזים (כיפות, מגדלי קירור ומיכלי אחסון) ומבנים אחרים כאלה כדי להשיג את הגיאומטריה הנכונה. ההשפעה של הפגמים היא להאיץ את קצב הסטה לרוחב, שכן הם נוטים להגדיל את רגעי הכיפוף בעמודה.

המגבלות הקשורות להנחה החמישית, זו של תנאי הגבול, ניתן לטפל רק על ידי שימוש במושג של אורך יעיל (kL). גורם האורך האפקטיבי k נותן את חלק האורך בין נקודות ההטיה (כלומר, נקודות של רגע אפס או אפס עקמומיות לאורך העמודה). לכן, ניתן לכתב מחדש את א"ק (9) כ:

(א"ק 10)

המכנה (kL/r) ידוע כרזון העמודה. ערך נמוך (לדוגמה, kL/r < 20) הוא שם נרדף לעמודה חסונה, שאינה רגישה מאוד להתמוטטות, בעוד ערך גדול (לדוגמה, kl/r > 100) הוא שם נרדף לעמודה רזה, שהיא רגישה מאוד להתמוטטות.

יש לציין כי הלחץ הקריטי (σ_cr) לעיצוב מכוסה על ידי כוח התשואה של החומר (σ_y). אילוץ זה אומר כי עבור כל כוח פלדה נתון, אומר σ_y = F_y = 50 ksi _, תהיה רזה מתחת אשר קורס לא יתרחש. אם נשווה σ_cr = 50 ksi ב- Eq. (10), רזון הגבול הוא kl/r < 75.6.

אזהרה חשובה נוספת היא כי הניסוח לעיל מציין כי קריסה תתרחש פתאום כמו העומס צירי מגיע הערך הקריטי שלה (P_cr). מתמטית, עובדה זו מצביעה על כך שהתמוטטות היא בעיית ביפורציה. בשל פגמים ראשוניים, מוזרויות מקריות, ולחצים שיורית בין גורמים אחרים, יהיה מעבר בין הלחץ אלסטי קורס לבין עומס הסקווש. התוצאה של פגמים ראשוניים אלה היא שבחיים האמיתיים יהיה מעבר חלק בין עקום ההתכווצות האלסטי לבין מצבי מגבלת התשואה.

בשלב זה, חשוב לציין כי חוסר היציבות או תופעת ההתמוטטות הנידונים היא רק אחת מני רבות שיכולות להתרחש. אי-יציבות מתרחשת הן ברמה המקומית והן ברמה הגלובלית. אי יציבות ברמה הגלובלית היא כאשר כל הרכיבים (רכיב מוגדר כסעיף מלבני שמרכיב צורה) נעים יחד במהלך ההתמוטטות. כיווץ מקומי מתרחש כאשר רק אחד מהרכיבים זז. דוגמאות להתמוטטות גלובלית הן:

• כיווץ פלקסורלי, שזה המקרה שנדון לעיל.
• פיתול, שבו החלק מתפתל על מרכז האורך שלו. מקטעים בעלי קשיחות פיתול קטנה (J) נוטים לסוג זה של כשל.
• כיווץ פלקסורל-פיתול או פיתול רוחבי, שהוא שילוב של שני הסוגים הראשונים של התכווצות גלובלית והוא מצב חוסר היציבות השולט בקורות.
• גיסת קורסת, שבה ההתמוטטות מתרחשת ברשתות הדקות של קורות עמוקות בשל היווצרות שדה מתח בכיוון האלכסוני.

חלקים יכולים גם אבזם מקומי. זה מקביל לכל מקטע של העמודה קורס בנפרד כצלחת. כיווץ מקומי נשלט על-ידי יחס רוחב-לעובי (b/t) או יחס דקות של המקטע ויחס הגובה-רוחב של הצלחת (b/a, כאשר a הוא האורך). הקינות תלויה בשאלה אם שני קצות הצלחת מחוברים למקטע אחר (מארז נוקשה), או אם רק קצה אחד מחובר (מארז לא מודבק). קיבולת ההתכווות עבור צלחת ברוחב b ועובי t, מקבילה ל- Eq. (10) עבור עמודה, ניתנת על-ידי:

(א"ק 11)

מקדם הקייסות K משקף את תנאי הגבול ואת יחס הרוחב-גובה (אורך-רוחב) של הלוח. ערכים של K זמינים באופן נרחב במדריך לעיצוב מבני.

1. השג מספר חתיכות ארוכות של 1in. על ידי 1/4 אינץ '. חטיף אלומיניום (6061 או דומה), וחתוך אותם לאורכים של 72, 60, 48, 36, 24, 12 ו 8 ב,ב,בהתאמה. מעגל את שני קצות הסורגים להיקף של 1/8 אינץ'.
2. מדוד את מידות הסרגל (אורך, רוחב ועובי) ל- 0.02 0.02 הקרוב ביותר.
3. מכונה שני בלוק קטן של פלדה (2 אינץ 'x 2 אינץ ' x 2 אינץ ') כדי לקבל חדירה מעגלית חלקה מאוד 1/2 פנימה לאורך אחד הצדדים שלה כדי לשמש כתמיכה בקצה העמודה. ספק הוספה בצד הנגדי, כך שניתן יהיה לתקן את הבלוק למכונת הבדיקה.
4. הכנס את הבלוקים ודגימת הבדיקה למכונת הבדיקה. הקפד ליישר את הדגימה בזהירות רבה ככל האפשר כדי למנוע מוזרויות.
5. הגדר את מכונת הבדיקה על בקרת הסטה ולתכנת אותו לאט להחיל עיוות של עד 0.2 ב. ולרשום עומס עיוות צירי. המגבלה יכולה להיות מגוונת עם האורך, אבל הבדיקה צריכה להיפסק כאשר העומס התייצב או כאשר הוא הגיע לא יותר מ 20% הפחתת עומס מן הקיבולת המרבית.
6. הקלט את העומס המרבי אליו הגיע ומלא את טבלת התוצאות.
7. חזור על שלבים 1.4 עד 1.6 עבור כל העמודות.

התווה את התוצאות מהטבלה כמו מתחים קורסים לעומת רזה (kL / r), יחד עם העקומה שניתנה על ידי Eq. 9. השווה את התוצאות שלך לערכים החזויים. תוצאות הניסוי מראות שני אזורים נפרדים. כאשר העמודות ארוכות יחסית, העומס הקריטי ניתן על-ידי הכפלת Eq. 9 לפי שטח העמודה. ככל שהעמודות מתחילות להתקצר, העומס הקריטי מתחיל להתקרב לעוצמת החומר. בשלב זה ההתנהגות עוברת מאלסטית גרידא לאחת חלקנית המתקרבת באופן אסימפטוטי לעומס הסקווש של העמוד. כאשר עמוד אבזם אלסטי, עיוות יכול להיות כל גדול פתאום ולגרום כשלים או בחבר אבזם או אלה סמוכים שהופכים עמוסים כמו החבר אבזם משילה את המטענים שלה. לכן, בעיצוב חשוב למנוע כשלים אלסטיים בקריסת בחברים מבניים ראשוניים.

ניסוי זה הדגים את תוקפה של גישת אוילר לחישוב עומסי ההתמוטטות המקומיים עבור עמודות פשוטות. למרות הבעיה הופכת הרבה יותר מסובך אם או תנאי הגבול אינם ידועים היטב, החבר אינו פריסמטי, או אם החומר אינו מציג עקומת מתח דו ליניארית, הפתרון של הבעיה עוקב אחר אותו תהליך כללי. במקרים מעשיים רבים, לא ניתן יהיה לפתור את המשוואות הדיפרנציאליות המתקבלות בדיוק, אך ישנן טכניקות מספריות רבות שניתן ליישם כדי להעריך את הפתרון לבעיות אלה. חשיבות ההתמוטטות מוכרת בענף הבנייה הגורסת כי התכנון המוצלח של מבני פלדה מבוסס על הבנה טובה של סוגיות קורסות, בעוד תכנון מוצלח של מבני בטון מבוסס על פירוט טוב.

הכלכלה בתכנון דורשת למזער את נפח החומר. פרט זה נכון במיוחד עבור מבני בניין מתכת וגשר, שבהם עלויות החומרים הן חלק משמעותי מהעלות המבנית הכוללת. באופן כללי, מזעור העלות מסתכם מקבל את L /rהנמוך ביותר . עבור L קבוע, משמעות הדבר היא קבלת r הגדול ביותר האפשרי (או הגדול ביותר I עבור נתון A), מה שמוביל לשימוש נרחב של חברים בצורת W. עבור rקבוע , משמעות הדבר היא הפחתת L, אשר כרוך בשימוש בחברי bracing. עבור צורת W, יהיו גם I_x וגם I_y, ומתאים (kL/r)_x ו-(kL/r)_y; עבור עיצוב אופטימלי, שני ערכים אלה צריכים להיות קרובים זה לזה, אשר מתקבל לעתים קרובות על ידי מתן יותר bracing בכיוון y. דרך נוספת למנוע כיווץ היא להוסיף נוקשים, אשר להפחית את אורכי הקייסות בצלחות; דוגמאות לכך כוללות נוקשות בקורות צלחת גשר ושפתיים נוקשות בחברים מבניים בצורת קור.