Baudynamik

Es gibt ein fundamentalen Unterschied zwischen der üblichen (Eigengewicht) Gravitationslasten, die auf eine Struktur, die quasi-statischen sind (z.B. ändern sie sehr langsam oder überhaupt nicht mit der Zeit), und produziert durch Hurrikane, Explosionen und Erdbeben, die sind extrem dynamischer Natur. Im Falle von Wirbelstürmen und anderen Windlasten ist es möglich, ihre Wirkung als äquivalente statische Drücke im Labor zu modellieren, die Häufigkeit der Winde ist sehr lang im Vergleich zu natürlichen Grundfrequenz der typischen Struktur. Wichtige Ausnahmen dazu gehören flexible Strukturen, z. B. langer Spannweite Schrägseilbrücke und Hängebrücken, hohen Masten und Wind Turbine Strukturen, denen die Eigenfrequenz der Struktur der Windböen oder geraden Winde mithalten können. Im Falle von Erdbeben sind die Lasten in erster Linie träge wie der Boden bewegt, und die Struktur tendenziell noch bleiben. In diesem Fall das Laden hängt die tatsächliche Masse, Steifigkeit und Dämpfung der Struktur, und die Mengen von Interesse sind, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Verschiebungen um die Struktur. Dieser zweite Satz von Mengen ist sehr schwierig, im Labor genau zu reproduzieren, wenn schütteln Tabellen nicht vorhanden sind.

Mit Grundlagen der Physik, wie Newtons zweites Gesetz, kann man vereinfachen das Problem des Gleichgewichts einer Struktur (z. B. eine Brücke oder einen Rahmen mit starren Balken), die Bodenbewegungen (u_g) unterliegt, zu einer einzigen Freiheitsgrad der Masse (m) mit Steifigkeit (k) und (c) Dämpfungseigenschaften. Die beiden letzteren können durch eine Feder, in der die Kraft proportional zur Vertreibung (u ist) sowie eines Dämpfers, in denen die Kräfte proportional zur Geschwindigkeit (V) (Abbildung 1) sind, dargestellt werden. Diese Komponenten können in Parallel/Serie, verschiedene strukturelle Konfigurationen zu modellieren oder kombiniert werden.

Steifigkeit ist definiert als die Kraft, die erforderlich, um die Struktur zu verformen durch einen Einheitsbetrag. Nehmen wir an, dass man Lasten ein Freischwinger Strahl mit einer bekannten Kraft (P) und Messen Sie den elastischen Verformung an der Spitze (). Die Steifigkeit ist definiert als k = P /. Für das einfache elastische Cantilever-System gezeigt k = L³/3EI, wo L die Länge der Cantilever ist I ist der Moment der Schwungkraft und E Elastizitätsmodul für das verwendete Material ist. Als Nächstes stellen Sie sich vor was passiert, wenn man die Kraft plötzlich, so ermöglicht der Cantilever zu vibrieren entfernt. Man wird die Amplitude der Schwingungen zu beginnen, mit jedem Zyklus verringert intuitiv erwarten. Dieses Phänomen wird als Dämpfung bezeichnet und bezieht sich auf eine Reihe von komplexen internen Mechanismen, wie Reibung, die dazu neigen, die Schwingungen zu reduzieren. Die Quantifizierung der Dämpfung wird später in dieser Übungseinheit beschrieben, aber es ist wichtig zu beachten, dass zu diesem Zeitpunkt nicht viel über diese Mechanismen von einem theoretischen oder praktischen Standpunkt aus bekannt ist. Ein sinnvolles Konzept ist der kritischen Dämpfung Koeffizient (C_Cr), das entspricht der Fall wo der Cantilever kommen wird, nur eine komplette Schwingung erholen zu visualisieren.

Abbildung 1: FhG-Systemmodell.

Schreiben eine Gleichung der horizontale Gleichgewicht der Kräfte für das System, dargestellt in Abbildung 1 führt zu:

(GL. 1)

Wenn wir einen einfacheren Fall für einen Moment betrachten, wo können wir ignorieren, Dämpfung, da seine Auswirkungen vernachlässigbar sind, und es keine externen zwingen Funktion gibt, wird Gleichung 1 die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(GL. 2)

deren Lösung ist von der Form:

(GL. 3)

Differenzierung wird uns zweimal geben:

(GL. 4)

Substitution von Gleichung 4 in Gleichung 2, ergibt sich:

(GL. 5)

Die allgemeine Lösung ist:

(GL. 6)

Wo wird die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems.

Wenn dieses System eine erste Verschiebung angegeben ist () und/oder eine Anfangsgeschwindigkeit (), wird Gleichung 6:

(GL. 7)

Wenn wir den Effekt der Dämpfung (c) hinzufügen und definieren , gedämpfte Eigenfrequenz des Systems wird und das Äquivalent zu Gleichung 7:

(GL. 8)

Für den Fall einer anfänglichen Verschiebung u₀, Abbildung 2 zeigt das Verhalten für verschiedene Werte der .

Abbildung 2: Auswirkungen der Dämpfung auf freie Schwingungen: Definition der kritischen Dämpfung (oben); Berechnung der Dämpfung von logarithmischen Dekrement (unten).

In Abbildung 2 definiert man , wo u_n und u_{n +}1 die Verschiebung in aufeinander folgenden Zyklen, dann sind:

(GL. 9)

Gehen wir zurück zu Formel 1, wenn die Bodenbewegung als die sinusförmigen Funktion genommen wird , ist das analoge Gleichung 8:

(GL. 10)

Wo ist die Phasenverschiebung und R_eine Antwort Verstärkungsfaktor, deren Grundstücke sind in Abbildung 3 dargestellt. Abbildung 3 zeigt, dass für niedrige Werte der Dämpfung ( < 0,2), da die Häufigkeit der zwingen Funktion nähert sich die Eigenfrequenz des Systems, die Reaktion des Systems wird instabil, ein Phänomen, das gemeinhin als Resonanz bezeichnet wird.

Abbildung 3: Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Reaktion.

In dieser Übungseinheit soll die Konzepte und Ableitungen hinter Gleichungen 1 - 10 im Zusammenhang mit der Dynamik von Strukturen mit einem Rütteltisch experimentell untersucht werden.

(1) Modelle

1. Zuerst konstruieren Sie mehrere Strukturen sehr dünne, starke, rechteckige, T6011 Aluminium-Balken, 1/32 Zoll in der Breite und verschiedene Längen. Um das erste Modell zu erstellen, fügen Sie ein einzelnes Freischwinger mit Länge von 12 Zoll zu einem sehr steifen Holz-Block. Legen Sie ein Gewicht von 0,25 lb bis zur Spitze des nadelträgers.
2. In ähnlicher Weise bauen Sie andere Modellstrukturen Kragarme mit unterschiedlichen Längen an der gleichen starren Holzplatte anschließen. Legen Sie eine 0,25 lbs Masse an der Spitze jeder Freischwinger.
3. Bereiten Sie zwei Exemplare, die Simulation von einfachen Rahmenkonstruktionen mit flexiblen Säulen und starren Böden. Diese können von dünnen Stahlplatten und starre Acryl Boden Membranen gebaut werden. Eine Struktur wird eine einstöckige und andererseits werden zwei Geschichten. Die Boden-Membranen werden mit Beschleunigungssensoren instrumentiert werden.

(2) Apparat

Für diese Demos eine kleine wird Tischplatte, elektrisch betätigt, FhG Rütteltisch verwendet werden. Das Gerät besteht im Wesentlichen aus einem kleinen Metall Tisch Reiten auf zwei Führungsschienen, der durch einen Elektromotor verschoben wird. Die Verschiebung wird digital gesteuert von einem Computer, die periodische (Sinuswellen) oder zufällige Beschleunigungen eingeben kann (vorprogrammierte Erdbeben Boden Beschleunigung-Zeit-Verläufe). Jede Kontrolle wird durch proprietäre Software oder MatLab und Si MulLink-Typ-Software. Die Eingabe Funktion zwingen kann überprüft werden, durch den Vergleich mit der Ausgabe von einem Beschleunigungsmesser an die Tabelle angehängt.

(3) Verfahren

1. Montieren Sie sorgfältig das Modell mit verschiedenen Kragarme, Rütteltisch, mit Schrauben an das Modell Basis befestigt. Schalten Sie den Rütteltisch und Verwendung der Software, die Frequenz langsam steigern Sie, bis die maximale Reaktion der Struktur für jedes Freischwinger abgerufen wird. Beachten Sie, dass jeder Freischwinger Resonanz bei einer bestimmten Frequenz tritt. Nehmen Sie den Wert dieser Frequenz in einem Notebook. Weiter zu erhöhen die Frequenz, bis die Verschiebungen der alle Kragarme deutlich reduzieren.
2. Montieren Sie die einstöckigen Modellstruktur auf dem Rütteltisch und wiederholen Sie den Vorgang. Kehren Sie langsam durch Frequenzen bis Resonanz erreicht wird. Zurücksetzen der Software zum Ausführen einer typischen Boden Beschleunigung Zeit Geschichte (1940 El Centro) um die zufälligen Bewegungen zeigen, die bei einem Erdbeben auftreten.
3. Montieren Sie die zweistöckige Struktur auf dem Rütteltisch und wiederholen Sie den Vorgang. Beachten Sie, dass in diesem Fall zwei Eigenfrequenzen auftreten.

Bestimmen Sie zuerst die Frequenz (ω), an der die maximale Verschiebung für jedes Modell aufgetreten ist. Die ursprüngliche einfache Formel, die oben diskutiert, , muss geändert werden, weil die Masse des Trägers selbst (m_b WStrahl/g =), die auf seiner Höhe verteilt wird ist nicht vernachlässigbar im Vergleich mit der Masse an der Spitze (m = W _Block/g). Die äquivalente Masse für der Fall einer Auslegerbalken (m + 0,23 m_b) ist, wobei m die Masse oben und m_b ist die verteilte Masse des Trägers ist. Die Steifigkeit k ergibt sich aus dem Kehrwert der Verformung () am oberen Rand der Cantilever durch eine Einheit Kraft verursacht:

(GL. 11)

wo L ist die Länge des Balkens, E ist der Elastizitätsmodul und ich ist das Trägheitsmoment. Ich ergibt sich aus , wo b die Breite ist und h die Dicke des Balkens ist. Somit ist die kreisförmige Eigenfrequenz des ein Auslegerbalken, einschließlich seine selbst-Gewicht:

(Eq.12)

Basierend auf dieser Gleichung, sind die vorhergesagten Eigenfrequenzen in Tabelle 1 berechnet.

Tabelle 1: Eigenfrequenzen der Freischwinger Strahlen getestet.

Die gemessenen und die theoretischen Werte der normalen Frequenz für unsere Modellsysteme werden in Tabelle 2 verglichen. Die tatsächliche Eigenfrequenzen wurden durch sorgfältig verdrängen den Auslegerbalken von 1 Zoll und dann schauen die Verschiebung vs. Zeitverhalten berechnet. Der Vergleich unten sind in Bezug auf die Perioden (T_d, s) durchgeführt, da diese aus T_d ermittelt wurden = u₀-u₁, wie in Abbildung 2(b) dargestellt. Dies erfordert Sorgfalt und Geduld, um zuverlässige Ergebnisse zu erhalten. Die Demonstrationen gezeigt sollen nur eine allgemeine Darstellung der das Systemverhalten zu geben.

Tabelle 2. Vergleich der Ergebnisse.

Die Unterschiede ergeben sich vor allem aus der Tatsache, dass die Balken sind nicht starr auf dem Holzsockel befestigt, und die zusätzliche Flexibilität an der Basis den Zeitraum der Struktur erhöht. Eine weitere Fehlerquelle ist, dass die Dämpfung in den Berechnungen nicht berücksichtigt wurde, weil Dämpfung sehr schwierig zu messen und Amplitude abhängig ist.

Als nächstes aus jeder der die Verschiebung vs. Zeitverläufe, den maximalen Wert für jede Frequenz zu extrahieren und Grundstück die Größe der Verschiebung vs. normalisierte Frequenz wie die in Abbildung 3. Ein Beispiel ist in Abbildung 4dargestellt, wo wir normalisierte Frequenz im Vergleich zu der ersten Eigenfrequenz (Beam Ziff. 1) und die maximale Verschiebung, dass Strahl aufgetragen, wenn der Rütteltisch zu einer unterschiedlichen sinusförmigen Verformung mit Amplitude von ausgesetzt war 1In.

Abbildung 4 : Verformung der Strahl #1 vs normalisierten Tabelle Frequenz.

Zunächst, wenn das Verhältnis von/ω ω_n klein ist, es gibt nicht viel Resonanz wie die Energiezufuhr aus der Tabelle Bewegung nicht das Modell begeistern wird. Als ω/ω_n nähert sich 1, gibt es ein erheblicher Anstieg in der Antwort, mit der Verformungen nicht sehr groß. Die maximale Reaktion ist erreicht, wenn ω/ω_n sehr nahe 1 ist. Zunehmender normalisierte Frequenz über ω/ω_n = 1, das dynamische Verhalten beginnt zu sterben. Wenn ω/ω_n groß wird, wir befinden uns in einer Situation, wo die Last sehr langsam in Bezug auf die Eigenfrequenz der Struktur angewendet wird, und die Verformung sollte gleich dem aus einem statisch aufgebrachte Last geworden.

Die Absicht dieser Experimente ist in erster Linie um die Änderungen im Verhalten qualitativ, wie bei den Demonstrationen für die zwei Rahmenkonstruktionen gezeigt. Resultate ähnlich wie in den Abbildungen 3 und 4 erfordert viel Sorgfalt und Geduld als Quellen von Reibung und ähnlichen die Menge der Dämpfung beeinflussen und die Kurven ähnlich wie in Abbildung 3(c) so zu verschieben, nach links oder rechts als die tatsächliche gedämpft wird Frequenz, , Änderungen.

In diesem Experiment wurden die Eigenfrequenz und Dämpfung des Systems eine einfache Freischwinger gemessen mittels schütteln Tabellen. Obwohl die Frequenzanteile eines Erdbebens zufällig ist und eine große Bandbreite an Frequenzen deckt, können Frequenzspektren entwickelt werden, durch die Beschleunigung-Zeit-Geschichte in den Frequenzbereich durch den Einsatz von Fourier-Transformationen zu übersetzen. Wenn die vorherrschende Frequenzen die Bodenbewegungen, die der Struktur übereinstimmen, ist es wahrscheinlich, dass die Struktur große Verschiebung zu unterziehen und somit großen Schaden ausgesetzt werden oder sogar einstürzen. Seismische Design sieht bei der Beschleunigung Ebenen erwartet Form ein Erdbeben an einem bestimmten Standort basierend auf historischen Aufzeichnungen, Distanz zum Erdbeben Quelle, Typ und Größe der Quell-Erdbeben, und die Dämpfung der Oberfläche und des Körpers "Wellenlinien" um zu bestimmen, eine angemessenes Maß an Beschleunigung für Design verwendet werden.

Was die Öffentlichkeit oft nicht erkennen, ist, dass aktuelle erdbebenbemessung Bestimmungen sollen nur minimieren Sie die Wahrscheinlichkeit des Zusammenbruchs und Verlust des Lebens in der Fall, den eine maximale glaubwürdige Erdbeben auf ein akzeptables Niveau (ca. 5 % bis 10 % in den meisten tritt Fällen). Baukonstruktionen, niedrigere Wahrscheinlichkeit des Scheiterns zu erhalten möglich sind, beginnen sie zu unwirtschaftlich geworden. Verluste zu minimieren und Widerstandsfähigkeit nach einem solchen Ereignis sind nicht explizit heute als obwohl solche Überlegungen häufiger, wie oft der Inhalt eines Gebäudes immer werden und seiner Funktionalität möglicherweise viel wichtiger als die Sicherheit. Betrachten wir zum Beispiel den Fall eines Kernkraftwerks (wie Fukushima im Jahr 2011 große Kanto-Erdbeben), ein zehnstöckiges Wohnhaus in Los Angeles oder einen Computer-Chip Herstellung Anlage im Silicon Valley und ihre Exposition und Anfälligkeit für seismische Veranstaltungen.

Im Falle das Kernkraftwerk kann es wünschenswert sein, Entwerfen der Struktur um Schäden zu minimieren, angesichts der Tatsache, dass die Folge noch einen minimalen Fehler sehr schlimme Folgen haben kann. In diesem Fall sollten wir versuchen, diese Einrichtung so weit wie möglich vom Erdbeben Quellen zu minimieren, finden, da die Minimierung der Anfälligkeit für das gewünschte Niveau sehr schwierig und teuer ist. Die Realität ist, dass es unerschwinglich teuer dafür gegeben, den Wunsch der Öffentlichkeit, nicht nur ein Vorfall in Fukushima-Typ, sondern auch noch eine begrenztere ein, wie die nukleare Katastrophe auf Three Mile Island zu vermeiden.

Für das mehrstöckige Gebäude in Los Angeles ist es schwieriger zu minimieren, weil ein großes Netzwerk von seismischen Störungen mit etwas unbekannten jährlichkeiten einschließlich der San-Andreas-Verwerfung in der Nähe ist. In diesem Fall sollte der Schwerpunkt robustes Design und Details, um die Struktur Verwundbarkeit zu minimieren; die Eigentümer der Wohnungen sollte bewusst sein, dass sie ein erhebliches Risiko nehmen ein Erdbeben auftreten sollte. Sie sollten nicht erwarten, dass das Gebäude zum Einsturz, aber das Gebäude möglicherweise völlig ratlos, wenn das Erdbeben eines großen genug Stärke ist.

Für die Computerchip-Anlage die Probleme ganz anders möglicherweise die Struktur selbst möglicherweise Recht flexibel und außerhalb des Frequenzbereiches des Erdbebens. So kann die Struktur nicht Schaden leiden; jedoch dessen Inhalt (Chip Fertigungsanlagen) stark beschädigt werden, und Chip-Produktion gestört werden könnte. Je nach der spezifischen Reihe von Chips, die in der Anlage hergestellt wird kann der wirtschaftliche Schaden an den Eigentümer der Anlage und für die Branche als Ganzes enorm sein.

Diese drei Beispiele verdeutlichen, warum muss man belastbare Designstrategien für unsere Infrastruktur zu entwickeln. Um dieses Ziel zu erreichen müssen wir verstehen, Eingang (Bodenbewegung) und Ausgang (strukturelle Reaktion). Dieses Problem kann nur durch eine kombinierte analytische und experimentelle Ansatz angesprochen werden. Die ehemalige spiegelt sich wider in den Gleichungen oben aufgeführt, während letzteres sich nur durch die experimentelle Arbeit durch quasi-statischen, Pseudo-dynamische lässt und schütteln Tabelle Ansätze.