Dinâmica das Estruturas

Há uma diferença fundamental entre as cargas habituais de gravidade (auto-peso) que agem em uma estrutura, que são quase estáticas (ou seja, mudam muito lentamente, ou não com o tempo), e aquelas produzidas por furacões, explosões e terremotos, que são extremamente dinâmicos na natureza. No caso de furacões e outras cargas de vento, é possível modelar seus efeitos como pressões estáticas equivalentes em laboratório, pois a frequência dos ventos é muito longa em comparação com a frequência natural fundamental da estrutura típica. Exceções importantes para isso incluem estruturas flexíveis, como pontes de longo prazo e suspensão, mastros altos e estruturas de turbinas eólicas, onde a frequência natural da estrutura pode coincidir com a das rajadas de vento ou ventos retos. No caso de terremotos, as cargas são principalmente inerciais à medida que o solo se move, e a estrutura tende a ficar parada. Neste caso, o carregamento depende da massa real, rigidez e amortecimento da estrutura, e as quantidades de interesse são as acelerações, velocidades e deslocamentos ao redor da estrutura. Este segundo conjunto de quantidades é muito difícil de reproduzir com precisão no laboratório se as mesas de shake não estiverem disponíveis.

Usando a física básica, como a Segunda Lei de Newton, pode-se simplificar o problema do equilíbrio de uma estrutura (como uma ponte ou um quadro com feixe rígido), que está sujeita a movimentos de solo (u_g),ao de uma única massa de grau de liberdade(m)com rigidez(k)e características de amortecimento(c). Estes dois últimos podem ser representados por uma mola na qual a força é proporcional ao deslocamento(u),bem como um dashpot no qual as forças são proporcionais à velocidade (v) (Figura 1). Esses componentes podem ser combinados em séries paralelas e/ou para modelar diferentes configurações estruturais.

A rigidez é definida como a força necessária para deformar a estrutura por uma quantidade unitária. Suponha que se carregue um feixe cantilever com uma força conhecida(P) e meça sua deformação elástica na ponta ( ). A rigidez é definida como k = P/ . Para o simples sistema de cantilever elástico mostrado, k= L³/3EI, onde L é o comprimento do cantilever, eu sou o seu momento de inércia, e E é o módulo de Young para o material utilizado. Em seguida, imagine o que acontece se alguém remover a força de repente, permitindo assim que o cantilever vibrar. Uma intuitivamente esperará que a amplitude das vibrações comece a diminuir a cada ciclo. Esse fenômeno é chamado de amortecimento e refere-se a uma série de mecanismos internos complexos, como o atrito, que tendem a reduzir as oscilações. A quantificação do amortecimento é descrita mais tarde neste laboratório, mas é importante notar que, neste momento, não se sabe muito sobre esses mecanismos do ponto de vista teórico ou prático. Um conceito útil é visualizar o coeficiente crítico de amortecimento(c_cr),que corresponde ao caso em que o cantilever virá descansar após apenas uma oscilação completa.

Figura 1: Grau único de modelo de sistema de liberdade.

Escrever uma equação de equilíbrio horizontal de forças para o sistema retratado na Figura 1 leva a:

(Eq. 1)

Se olharmos para um caso mais simples por um momento, onde podemos ignorar o amortecimento porque seus efeitos são insignificantes, e não há função de força externa, a Equação 1 torna-se a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:

(Eq. 2)

cuja solução é da forma:

(Eq. 3)

Diferenciar duas vezes nos dará:

(Eq. 4)

Substituindo a Equação 4 na Equação 2, rende:

(Eq. 5)

A solução geral é:

(Eq. 6)

Onde está a frequência natural não diminuída do sistema.

Se este sistema receber um deslocamento inicial ( ) e/ou uma velocidade inicial (), a Equação 6 se torna:

(Eq. 7)

Se adicionarmos o efeito do amortecimento(c)e definirmos, a frequência natural amortecido do sistema torna-se e o equivalente à Equação 7 é:

(Eq. 8)

Para o caso de um deslocamento inicial u₀, Figura 2 mostra o comportamento para vários valores de .

Figura 2: Efeito do amortecimento em vibrações livres: definição de amortecimento crítico (superior); cálculo do amortecimento do decréscimo logarítmico (menor).

Se na Figura 2, define-se , onde u_n e u_n+1 são o deslocamento em ciclos sucessivos, então:

(Eq. 9)

Voltando à Equação 1, se o movimento do solo for tomado como a função sinusoidal, o análogo da Equação 8 é:

(Eq. 10)

Onde está o atraso de fase, e R _a é o fator de resposta de amplificação, cujas parcelas são ilustradas na Figura 3. A Figura 3 mostra que para baixos valores de amortecimento ( <0.2), à medida que a frequência da função de força se aproxima da frequência natural do sistema, a resposta do sistema torna-se instável, fenômeno que é comumente referido como ressonância.

Figura 3: Resposta de deslocamento, velocidade e aceleração.

Neste laboratório, investigaremos experimentalmente os conceitos e derivações por trás das Equações 1-10 no contexto da dinâmica das estruturas usando uma mesa de agitação.

1. Modelos

1. Primeiro construa várias estruturas utilizando feixes de alumínio muito finos, fortes, retangulares, T6011, 1/32 em largura e com comprimentos diferentes. Para construir o primeiro modelo, insira uma única cantilever com comprimento de 12 in. a um bloco de madeira muito rígido. Coloque uma massa de 0,25 lb. na ponta do cantilever.
2. Da mesma forma, construa outras estruturas de modelo anexando cantilevers com comprimentos diferentes ao mesmo bloco de madeira rígido. Conecte uma massa de 0,25 lbs. na ponta de cada cantilever.
3. Prepare dois outros espécimes simulando estruturas de quadros simples com colunas flexíveis e pisos rígidos. Estes podem ser construídos com placas de aço finas e diafragmas rígidos do assoalho acrílico. Uma estrutura será uma história e a outra será de duas andares. Os diafragmas do piso serão instrumentados com acelerômetros.

2. Aparelho

Para essas demonstrações será utilizada uma pequena mesa de mesa, eletricamente acionada, um único grau de shake de liberdade. O aparelho consiste basicamente de uma pequena mesa metálica montando em dois trilhos orientadores que são deslocados por um motor elétrico. O deslocamento é controlado digitalmente por um computador que pode inserir acelerações periódicas (ondas seno) ou aleatórias (históricos de tempo de aceleração pré-programadas do solo de terremoto). Todo o controle é através de software proprietário ou software do tipo MatLab e Si mulLink. A função de força de entrada pode ser verificada comparando-a com a saída de um acelerômetro ligado à tabela.

3. Procedimento

1. Monte cuidadosamente o modelo com várias cantilevers na mesa de agitação, usando parafusos ligados à base do modelo. Ligue a mesa de agitação e, usando o software, aumente lentamente a frequência até que a resposta máxima da estrutura seja obtida para cada cantilever. Observe que cada cantilever entra ressonância em uma determinada frequência. Registo em um notebook o valor dessa frequência. Continue aumentando a frequência até que os deslocamentos de todos os cantilevers reduzam significativamente.
2. Monte a estrutura do modelo de um andar na mesa de agitação e repita o procedimento. Varrer lentamente as frequências até que a ressonância seja alcançada. Reinicie o software para executar um típico histórico de tempo de aceleração do solo (1940 El Centro) para mostrar os movimentos aleatórios que ocorrem durante um terremoto.
3. Monte a estrutura de dois andares na mesa de agitação e repita o procedimento. Observe que duas frequências naturais ocorrem neste caso.

Primeiro, determine a frequência (ω) na qual ocorreu o deslocamento máximo para cada modelo. A fórmula simples original discutida acima, precisa ser modificada porque a massa do próprio feixe ( m_b = Feixe W /g), que é distribuída sobre sua altura, não é insignificante em comparação com a massa na parte superior (m =_BlocoW /g). A massa equivalente para o caso de um feixe de cantilever é (m+0,23m_b), onde m é a massa na parte superior e m_b é a massa distribuída da viga. A rigidez k é dada pela recíproca da deformação ( ) causada no topo do cantilever por uma força unitária:

(Eq. 11)

onde L é o comprimento do feixe, E é o módulo da elasticidade, e eu sou o momento da inércia. Eu sou dado por , onde b é a largura e h é a espessura do feixe. Assim, a frequência circular natural de um feixe cantilever, incluindo seu auto-peso é:

(Eq.12)

Com base nesta equação, as frequências naturais previstas são calculadas na Tabela 1.

Tabela 1: Frequências naturais dos feixes cantilever testados.

Os valores medidos e teóricos da frequência normal para nossos sistemas de modelo são comparados na Tabela 2. As frequências naturais reais foram calculadas deslocando cuidadosamente o feixe cantilever por 1 polegada e, em seguida, olhando para o deslocamento versus resposta de tempo. A comparação abaixo é feita em termos de períodos (T_{d ,} in sec.) como estes foram determinados a partir de T_d = u₀-u₁, como mostrado na Figura 2(b). Isso requer cuidado e paciência para obter resultados confiáveis. As demonstrações mostradas foram apenas para dar uma ilustração geral do comportamento do sistema.

Mesa 2. Comparação de resultados.

As diferenças decorrem principalmente do fato de que as vigas não estão rigidamente presas à base de madeira, e a flexibilidade adicional na base aumenta o período da estrutura. Outra fonte de erro é que o amortecimento não foi contabilizado nos cálculos, pois o amortecimento é muito difícil de medir e amplitude dependente.

Em seguida, a partir de cada um dos históricos de deslocamento versus tempo, extrair o valor máximo para cada frequência e traçar a magnitude do deslocamento versus frequência normalizada como essa na Figura 3. Um exemplo é mostrado na Figura 4, onde normalizamos a frequência versus a primeira frequência natural (Feixe Número 1) e traçamos o deslocamento máximo desse feixe quando a mesa de shake foi submetida a uma deformação sinusoidal variada com amplitude de 1 in.

Figura 4: Deformação do feixe #1 versus frequência de tabela normalizada.

Inicialmente, quando a razão de ω/ω_n é pequena, não há muita resposta, pois a entrada de energia do movimento da tabela não excita o modelo. À medida que ω/ω_n se aproxima 1, há um aumento muito significativo na resposta, com as deformações se tornando bastante grandes. A resposta máxima é alcançada quando ω/ω_n está muito perto de 1. À medida que a frequência normalizada aumenta além de ω/ω_n = 1, a resposta dinâmica começa a morrer; quando ω/ω_n se torna grande estamos em uma situação onde a carga está sendo aplicada muito lentamente em relação à frequência natural da estrutura, e a deformação deve tornar-se igual a essa a partir de uma carga estaticamente aplicada.

A intenção desses experimentos é principalmente mostrar as mudanças de comportamento qualitativamente, como mostrado nas demonstrações para as estruturas de dois quadros. A obtenção de resultados semelhantes aos das Figuras 3 e 4 requer muito cuidado e paciência, pois fontes de atrito e similares afetarão a quantidade de amortecimento e, assim, deslocarão as curvas semelhantes às da Figura 3(c) para a esquerda ou para a direita como a frequência amortecido real, altera.

Neste experimento, a frequência natural e o amortecimento de um sistema cantilever simples foram medidos por meio de mesas de shake. Embora o conteúdo de frequência de um terremoto seja aleatório e cubra uma grande largura de banda de frequências, espectros de frequência podem ser desenvolvidos traduzindo o histórico de tempo de aceleração para o domínio de frequência através do uso de transformações fourier. Se as frequências predominantes do movimento do solo coincidirem com as da estrutura, é provável que a estrutura sor tenha grandes deslocamentos e, consequentemente, esteja exposta a grandes danos ou mesmo colapso. O projeto sísmico analisa os níveis de aceleração esperados formam um terremoto em um determinado local com base em registros históricos, distância à fonte do terremoto, o tipo e tamanho da fonte do terremoto, e a atenuação das ondas de superfície e corpo para determinar um nível razoável de aceleração a ser usado para o design.

O que o público em geral muitas vezes não percebe é que as disposições atuais de projeto sísmico visam apenas minimizar a probabilidade de colapso e perda de vidas no caso de um terremoto de credibilidade máxima ocorrer a um nível aceitável (em torno de 5% a 10% na maioria dos casos). Embora projetos estruturais para obter menores probabilidades de falha sejam possíveis, eles começam a se tornar pouco econômicos. Minimizar perdas e melhorar a resiliência após tal evento não são explicitamente considerados hoje, embora tais considerações estejam se tornando mais comuns, pois muitas vezes o conteúdo de um edifício e sua funcionalidade podem ser muito mais importantes do que sua segurança. Considere, por exemplo, o caso de uma usina nuclear (como Fukushima no Grande Terremoto de Kanto de 2011), um edifício residencial de dez andares em Los Angeles, ou uma instalação de fabricação de chips de computador no Vale do Silício e sua exposição e vulnerabilidade a eventos sísmicos.

No caso da usina nuclear, pode ser desejável projetar a estrutura para minimizar qualquer dano, dado que a consequência de uma falha mínima pode ter consequências muito terríveis. Neste caso, devemos tentar localizar esta instalação o mais longe possível das fontes de terremotos para minimizar a exposição, pois minimizar a vulnerabilidade ao nível desejado é muito difícil e caro. A realidade é que é proibitivamente caro fazer isso dado o desejo do público de evitar não apenas um incidente do tipo Fukushima, mas também um mais limitado, como o desastre nuclear na Ilha Three Mile.

Para o edifício de vários andares em Los Angeles, é mais difícil minimizar a exposição porque uma grande rede de falhas sísmicas com períodos de retorno um tanto desconhecidos está por perto, incluindo a Falha de San Andreas. Neste caso, a ênfase deve ser no design robusto e no detalhamento para minimizar a vulnerabilidade da estrutura; os proprietários das residências devem estar conscientes de que estão correndo um risco significativo caso ocorra um terremoto. Eles não devem esperar que o prédio desmorone, mas o edifício pode ser uma perda completa se o terremoto for de grande magnitude suficiente.

Para a fábrica de chips de computador, os problemas podem ser completamente diferentes porque a estrutura em si pode ser bastante flexível e fora da faixa de frequência do terremoto. Assim, a estrutura não pode sofrer nenhum dano; no entanto, seu conteúdo (equipamento de fabricação de chips) pode ser severamente danificado, e a produção de chips pode ser interrompida. Dependendo do conjunto específico de chips que estão sendo fabricados na instalação, os danos econômicos tanto para o proprietário da instalação quanto para a indústria como um todo podem ser tremendos.

Esses três exemplos ilustram por que é preciso desenvolver estratégias de design resilientes para nossa infraestrutura. Para alcançar esse objetivo precisamos entender tanto a entrada (movimento do solo) quanto a saída (resposta estrutural). Esta questão só pode ser tratada através de uma abordagem analítica e experimental combinada. O primeiro é refletido nas equações listadas acima, enquanto o segundo só pode ser alcançado através do trabalho experimental feito através de abordagens quase estáticas, pseudo-dinâmicas e de mesa de agitação.