Overview
Quelle: Ricardo Mejia-Alvarez und Hussam Hikmat Jabbar, Department of Mechanical Engineering, Michigan State University, East Lansing, MI
Turbulente Strömungen weisen sehr hoher Frequenzschwankungen, die Instrumente mit hoher Zeitauflösung für ihre entsprechenden Charakterisierung erfordern. Hitzdraht-Anemometer haben eine kurze genügend Reaktionszeit um diese Anforderung zu erfüllen. Dieses Experiment soll veranschaulicht die Verwendung der Hitzdraht-Messung um einen turbulenten Jet zu charakterisieren.
In diesem Experiment ein zuvor kalibrierten Hitzdraht-Sonde wird verwendet, um Geschwindigkeitsmessungen an verschiedenen Positionen innerhalb der Jet zu erhalten. Zu guter Letzt zeigen wir eine grundlegende statistische Analyse der Daten zu dem turbulenten Gebiet charakterisieren.
Principles
Eine Beschreibung von einer turbulenten Strömung
Eine turbulente Strömung kann durch sehr zufällige Schwankungen im Fluss Variablen wie Geschwindigkeit, Druck und Vorticity nachgewiesen werden. Abbildung 1 stellt eine typische Geschwindigkeit Signal durch die Messung der Geschwindigkeit an einem festen Punkt in einer turbulenten Strömung. Die Schwankungen in diesem Signal sind nicht zufälliges Rauschen, sondern das Ergebnis von nicht-linearen Interaktionen zwischen kohärenten Bewegungen in das Strömungsfeld. Eine klassische Beschreibung der turbulenten Strömung, beinhaltet die Bestimmung der Durchschnittswert der Fluss Variablen und ihre entsprechenden Schwankungen mit fortschreitender Zeit. Zu diesem Zweck verwenden wir die Definition für den Durchschnitt einer Funktion zu den Durchschnitt von einer Geschwindigkeitsmessung ermitteln:
(1)
Hier, 
ist die Größe des Geschäftsfeldes Integration, die ein Zeitintervall in den vorliegenden Messungen werden. Wie angedeutet durch Gleichung (1) verwenden wir ein Overbar um den Durchschnitt einer Variablen zu bezeichnen. Angesichts der Tatsache, dass eine digitale Erfassung eines Signals diskret ist, sollte das Integral in Gleichung (1) numerisch, mit entweder die trapezförmige oder die Simpson-Regel [1] gelöst werden. Die Schwankungen einer zeitabhängigen Variablen wie 
kann dann wie folgt berechnet werden:
(2)
Wie in dieser Gleichung gesehen, sind Schwankungen Felder durch ein gutes Symbol gekennzeichnet. Durch die Anwendung von Gleichung (1) 
, können wir leicht feststellen, dass die durchschnittliche Fluktuation Feld Null ist:
(3)
Daher ist ein geeigneterer statistische Deskriptor für Fluktuation Bereich Root Mean Square Schwankungen:
(4)
Diese statistischen Deskriptor ist in der Tat ein sehr gesundem Maß für die Turbulenzintensität. Das aktuelle Experiment wird zur Ermittlung der durchschnittlichen Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität eines turbulenten Feldes beruhen.
Abbildung 1 . Typisches Signal der Geschwindigkeit von einer turbulenten Strömung wie erholt von einem Hitzdraht-Anemometer. Das Rohsignal, 
, können in einem Feld Fluktuation zerlegt werden 
, überlagert der durchschnittliche Wert für Velocity, 
.
Versuchsaufbau
Wie in Abbildung gezeigt, dass 2 Buchstabe a der Anlage ist im Grunde ein Plenum, die durch einen Radialventilator beaufschlagt wird. Abbildung 2 b zeigt, dass es ein Schlitz auf der gegenüberliegenden Seite des Plenums, die einen planaren Jet ausstellt. Wie in Abbildung 2 c, traversierende System hält den Hitzdraht-Anemometer an vorgeschriebenen Orten in der planaren Jet. Dieses traversierende System wird zur Geschwindigkeit an verschiedenen Positionen des Interesses an der Jet herangezogen werden. Schematische Darstellung der Abbildung 3 zeigt einen repräsentativen Standort bei der Messung durchgeführt werden um das turbulente Feld in der planaren Jet zu charakterisieren.
Abbildung 2 . Versuchsaufbau. (A): flow Anlage; Das Plenum ist durch einen Radialventilator beaufschlagt. (B): für die Erteilung des planaren Jets geschlitzt. (C): durchqueren System ändern Sie die Position des Anemometers entlang der Jet. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.
Abbildung 3 . Schaltplan der planaren Jet zeigen: die Vena Contracta, der Geschwindigkeitsverteilung bei einer gegebenen nachgelagerten Position und die Darstellung der Verbindungen. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.
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Procedure
- Messen Sie die Breite des Schlitzes, W, und tragen Sie diesen Wert in Tabelle 1.
- Festlegen der Hitzdraht-Anemometer in einer Entfernung von der Ausfahrt gleich X = 1,5W entlang der Mittellinie. Notieren Sie diese streamwise Position in Tabelle 2. Die Mittellinie ist der Ursprung der spanwise Koordinate (y = 0).
- Starten des Übernahme-Programms für die Durchquerung des Jets. Legen Sie die Sample-Rate bei 500 Hz für insgesamt 5000 Proben (z.B. 10 s von Daten).
- Erfassen die aktuelle spanwise Position des der Hitzdraht-in Tabelle 3.
- Daten zu erwerben.
- Das Datenerfassungssystem berechnet die durchschnittliche Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität von diesem Dataset mithilfe Gleichungen (1) und (4).
- Notieren Sie diese beiden Werte in Tabelle 3.
- Bewegen die Hotwire zur nächsten (positive) spanwise (
mm). - Wiederholen Sie die Schritte 5 bis 8, bis merkliche Veränderung auf die Durchschnittsgeschwindigkeit und die Turbulenzintensität gibt es nicht.
- Verschieben der Hitzdraht-zurück zu der Mittellinie.
- Bewegen die Hotwire zur nächsten (negative) spanwise (
mm). - Daten zu erwerben.
- Das Datenerfassungssystem berechnet die durchschnittliche Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität von diesem Dataset mithilfe Gleichungen (1) und (4).
- Notieren Sie diese beiden Werte in Tabelle 3.
- Wiederholen Sie die Schritte 11 bis 14, bis merkliche Veränderung auf die Durchschnittsgeschwindigkeit und die Turbulenzintensität gibt es nicht.
- Verschieben der Hitzdraht-zurück zu der Mittellinie des Jets.
- Verschieben der Hitzdraht-entlang der Mittellinie des Jets in die nachgelagerten Richtung an eine neue Position (z. B. X = 3W).
- Wiederholen Sie die Schritte 4 bis 17 für möglichst viele streamwise Positionen wie gewünscht (z. B. X = 1,5W, 3W, 6W, 9W).
mm).
mm).Tabelle 1. Grundparameter für experimentelle Studie.
| Parameter | Wert |
| Schnittbreite (W) | 19,05 mm |
| Die Dichte der Luft (R) | 1,2 kg/m3 |
| Wandler-Kalibrierung-Konstante (M_p) | 76,75 Pa/V |
| Konstante A Kalibrierung | 5.40369 V2 |
| Kalibrierung Konstante B | 2.30234 V2(m/s)-0,65 |
Abbildung 4. Flusssteuerung in der Flow-System. Der Stapel auf dem Plenum dient dem Zweck der Umleitung aus der Jet-Schlitz ermöglicht, um die Jet Ausgang Geschwindigkeit zu kontrollieren. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.
Turbulente Strömungen spielen eine wichtige Rolle in einer Vielzahl von engineered und natürlich vorkommenden Systeme. Infolgedessen ist es oft notwendig Messungen innerhalb des Systems durchführen, um den Fluss zu charakterisieren. Turbulente Strömungen weisen sehr hoher Frequenzschwankungen, so ein Instrument, das verwendet wird, zu messen und zu charakterisieren Turbulenzen eine Zeitauflösung hoch genug, diese Änderungen zu lösen muss. Hot-Wire Anemometer werden häufig für diese Messungen verwendet, weil sie klein, robust und schnell genug, um brauchbare Ergebnisse zu erzielen sind. Dieses Video wird veranschaulichen mithilfe eine kalibrierten hot-Wire Anemometer Sonde Geschwindigkeit und Turbulenz Messungen an verschiedenen Positionen innerhalb eines Freistrahl erhalten und führen Sie dann eine grundlegende statistische Analyse der Daten zu dem turbulenten Gebiet charakterisieren.
Eine turbulente Strömung kann durch hohe zufällige Schwankungen im Fluss Variablen wie Geschwindigkeit, Druck und Vorticity nachgewiesen werden. Diese Schwankungen sind das Ergebnis der nichtlineare Wechselwirkungen zwischen kohärenten Bewegungen in das Strömungsfeld, so dass die hochfrequenten Schwingungen in Messungen von Turbulenzen gesehen von realen physikalischen Effekte sind und nicht das Ergebnis der elektronischen Rauschen. Eine klassische Beschreibung der turbulenten Strömung beinhaltet die Bestimmung der Durchschnittswert der Fluss Variablen und ihre entsprechenden Schwankungen mit der Zeit. Zum Beispiel die durchschnittliche Geschwindigkeit, gekennzeichnet durch eine über bar, wird durch die Integration der momentanen Geschwindigkeit über die Messzeit und Skalierung durch die Größe der Integration Domäne gefunden. Bei diskreten Messungen wie die von digitalen Erfassungssysteme muss das Integral numerisch gelöst werden. Sobald die Durchschnittsgeschwindigkeit gefunden worden ist, kann es aus dem ursprünglichen Signal liefern die zeitabhängige Fluktuation und Geschwindigkeit gekennzeichnet durch den Prime subtrahiert werden. Aus diesen Definitionen ist es leicht zu zeigen, dass die durchschnittliche Fluktuation Feld Null ist. Infolgedessen ist ein geeigneterer statistische Deskriptor für Fluktuation Bereich erforderlich. Eine sehr gemeinsame Maßnahme ist der Root-Mean-Square oder RMS Schwankungen. Diese Metrik ist ähnlich wie der Durchschnitt, außer dass die Variable ist im Quadrat vor der Integration und die Quadratwurzel des Ergebnisses erfolgt. Die Turbulenzintensität ist von der RMS der Geschwindigkeit gegeben und diese Messung wird auf ein Freistrahl im nächsten Abschnitt gezeigt werden. Die durchschnittliche Geschwindigkeit des ein Freistrahl hat eine zunächst Flat-Top-Profil, die glättet, wie der Strahl durch Mitnahme von Umgebungsluft in den Jet propagiert. Diese Mitnahme verursacht auch den Impulssatz des Jets, span-wise zu verbreiten, wie der Strahl nachgelagerten wodurch Verbreiterung des Jets fließt, wie es propagiert. Die Region der Interaktion zwischen der Jet und Umgebungsluft mischende Schicht nennt und dieser Region wächst in Richtung der Mittellinie als der Jet flussabwärts bewegt. Dies lässt eine Region innerhalb der Jet, bekannt als die potenzielle Kern, der in die stream-wise Richtung von der Jet-Ausfahrt und der Punkt, an dem die Rührschüssel Schicht die Mittellinie erreicht, begrenzt ist. Der potenzielle Kern ist dann eine Region, die durch Wechselwirkungen mit der Umgebung nicht beeinträchtigt wurde. Auf der Mittellinie der potenziellen Kern flussabwärts erstreckt sich auf etwa vier Mal die Breite der Jet-Ausfahrt. Nun, da Sie mit den Grundlagen der Turbulenz Messungen vertraut sind, schauen Sie wie diese genutzt werden, um ein Freistrahl zu charakterisieren.
Bevor Sie Einrichtung beginnen, machen Sie sich mit dem Layout und Sicherheitsverfahren der Anlage. Dieses Experiment erfolgt auf dem gleichen Fluss-System, das für die hot-Wire Anemometer Kalibrierung verwendet wurde und das Datenerfassungssystem sollte auf die gleiche Weise eingerichtet sein. Legen Sie in der Datenerfassungs-Software die Sampling-Rate auf 500 Hertz und der gesamten Stichproben auf 5.000. Aktualisieren Sie die konstanten n, A und B entsprechend der ermittelten Werte aus der Kalibrierung. Die Flow-Anlage eingerichtet. Verwenden Sie einen kalibrierten Spacer die Spaltbreite auf 19,05 mm oder drei Viertel eines Zoll festlegen und dann übersetzen dem hot-Wire Anemometer, Vena Contracta des Jet das 1,5-fache der Spaltbreite von der Ausfahrt entfernt. Beginnend mit dem Anemometer über den Schlitz, senken Sie die Höhe, bis das Signal auf dem Oszilloskop eine minimale Fluktuation erreicht. Notieren Sie diese senkrecht zur Mittellinie des Jets entspricht. Jetzt übersetzen Sie das Anemometer zurück, bis die Signal Fluktuation ein Maximum ist und diese Position der oberen Scherung Schicht des Jets entspricht. Fügen Sie die leere Messblende in den Stack, sodass die Strömungsgeschwindigkeit wird maximiert und schalten Sie dann die Fluss-Anlage. Sobald stetigen Strom hergestellt wird, verwenden Sie das Datenerfassungssystem, die durchschnittliche Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität an dieser Stelle in den Jet zu messen und zeichnen Sie diese Werte. Jetzt nach unten Sie das Anemometer span-wise von zwei Millimeter und Messen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität wieder zu. Weiter zwei Millimeter-Schritten das Anemometer Tieferlegung und Messungen bis gibt es keine merkliche Veränderung in beiden Messungen. Übersetzen Sie nach der Aufnahme der endgültigen Höhe das Anemometer nach unten, bis es unterhalb der Mittellinie um denselben Abstand ist. Durchführung von Messungen und übersetzen, bis das Anemometer zurück an der Mittellinie ist fortgesetzt. Wenn Sie fertig sind, übersetzen Sie das Anemometer flussabwärts bis sie dreimal die Spaltbreite von der Jet-Ausfahrt ist. Messen Sie die Jet-Profil an dieser neuen stream-wise Position nach dem gleichen Verfahren, die, das Sie an der ersten Stelle verwendet. Wiederholen Sie Ihre Messungen des Jet-Profils auf sechs bis neun Mal die Spaltbreite von der Jet-Ausfahrt. Nach Abschluss die Messungen, die Flow-Anlage heruntergefahren haben.
Werfen Sie einen Blick auf Ihre Daten. In jeder stream-wise Position haben Sie Messungen die Durchschnittsgeschwindigkeit und die Turbulenzintensität genommen bei einer Reihe von span-wise Punkten. Zuerst zeichnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der span-wise Position. Die Skalenwerte von Wert "Center-Line" und die Punkte, wo die Kurve die Schwelle von 50 % schneidet, Interpolation nach Bedarf, zu finden. Diese Punkte definieren Sie die Jet-breite Delta an dieser stream-wise Position. Berechnen Sie die Breite, indem man den Unterschied. In diesem Fall ist die Breite ca. 21,5 Millimeter. Vergleichen Sie nun die durchschnittlichen Mittelpunkt Geschwindigkeit und Jet Linienbreite an den anderen Stream Zeile stellen. Die Zentrum Linie Geschwindigkeit bleibt im Wesentlichen unverändert bis zu etwa vier Mal die Spaltbreite von der Ausfahrt aufgrund der möglichen Kern, aber jenseits dieser Abstand verringert. Die Breitenzunahme Jet mit Abstand ist bezeichnend für die span-wise Ausbreitung der Impulssatz des Jets wie die umgebende Luft mitgerissen wird. Zeichnen Sie jetzt die Turbulenzintensität in Abhängigkeit von der span-wise Position. Da mischen an der Grenze zwischen der Düse und der Umgebung geschieht, die umliegenden Gipfel Turbulenzintensität Weg von der Mittellinie.
Turbulente Strömung ist allgegenwärtig im wissenschaftlichen und technischen Anwendungen. Bei ihrer Beurteilung in technische Anwendungen wie Lüftung, Heizung und Klimaanlage ist es üblich, tragbare hot-Wire-Sonden zu verwenden, die für die Kanalisierung und Traverse der Geschwindigkeitsprofile radial zu eingeführt werden. Diese Informationen wird dann durch den Ingenieur zur Gleichgewicht entweder eine neu installierte Flow-System um den ordnungsgemäßen Betrieb zu gewährleisten oder zu einem fehlerhaften System behandeln und lösen jedes Problem, das seinen Betrieb behindert. Bei einer terrestrischen Antenne oder marine Neufahrzeug oder Struktur entworfen, um die Kräfte der turbulenten Strömungen stehen, ist es notwendig, seine Leistung unter realistischen Bedingungen in einem Tunnel Wind oder Wasser zu testen. Um Turbulenzbedingungen zu simulieren, die in die Atmosphäre oder das Meer auftreten, kann die Anströmung mit aktiver oder passiver Netze gestört werden, die erhebliche Schwankungen in der Strömung einführen werden. Dann kann das Fahrzeug oder die Struktur unter Studie montiert werden, in der Messstrecke von Wind oder Wasser Tunnel zu messen, wie es mit den Belastungen durch die turbulente Strömung eingeführten umgeht. Diese Messungen können direkt mit aerodynamischen Salden, die die resultierende Messen ziehen und heben Sie Kräfte. Darüber hinaus könnte die Geschwindigkeit um das Modell in den Tunnel getestet wichtige Informationen in Bezug auf Leistung geben. Diese Charakterisierung erfolgt in der Regel mit hot-Wire Anemometer im Windkanal.
Sie sah nur Jupiters Einführung in die turbulente Strömungen zu messen. Sie sollten jetzt verstehen, wie hot-Wire Anemometer zur Messung und Bewertung fließen Profile und Turbulenzintensität bereitgestellt. Danke fürs Zuschauen.
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Results
Abbildung 5 zeigt die Verteilung der Durchschnittsgeschwindigkeit über die Düse an der nachgelagerten Position X = 3W. Und Abbildung 6 zeigt die Verteilung der Turbulenzintensität über die Düse an der gleichen Stelle der nachgelagerten. Tabelle 3 hat die Ergebnisse für die lokale Werte der durchschnittlichen Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität an der streamwise Position X = 3w. Die letzte Spalte der Tabelle ist das Verhältnis zwischen der lokalen Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit der Mittellinie. Dieses Verhältnis wird verwendet, um festzustellen, die Jet-Breite, 
, als der Abstand zwischen den beiden Positionen, an dem die lokale Geschwindigkeit 50 % der Mittellinie Geschwindigkeit beträgt, definiert wird. Hinweis aus Tabelle 2, die diese beiden Positionen irgendwo in den Intervallen sind 
und 
. Die genauen Standorte werden durch lineare Interpolation ermittelt und sind entschlossen, sein: 
mm und 
mm, bei einer Jet-Dicke von 
mm.
Die Ergebnisse für vier verschiedene Experimente sind in Tabelle 2 verglichen. Diese Tabelle zeigt, wie die Mittellinie Geschwindigkeit des Jets, 
, bleibt im Wesentlichen unverändert für 
, sondern sinkt mit 
für 
. Dieser Effekt ist das Ergebnis der Anwesenheit von den potenziellen Kern für 
, und dessen verschwinden für 
. Der potenzielle Kern ist der Bereich innerhalb der Düse, die die Interaktion zwischen der Umwelt und der Jet nicht betroffen. Interaktion und Umgebung nennt man die Rührschüssel Schicht, und es wächst in Richtung der Mittellinie und Weg von der Jet wie der Jet flussabwärts bewegt. Dieser Anstieg ist auf die Mitnahme von Umgebungsluft in den Jet. Wegen dieses Effekts Entrainment Impulssatz des Jets breitet sich in die spanwise Richtung, wodurch seine Breite mit . Dieser Effekt wird belegt durch die Ergebnisse für in Tabelle 2. Da mischen an der Grenze zwischen der Düse und der Umgebung passiert, die Turbulenzintensität Gipfel (
) von der Mittellinie an spanwise Positionen definiert durch 
und 
. Der Einfachheit halber zeigt Tabelle 2 nur die Werte für den Gipfel der Turbulenzintensität auf die positive Seite des Jets.
Abbildung 5 . Repräsentative Ergebnisse. Geschwindigkeitsverteilung in X = 3w.
Abbildung 6 . Repräsentative Ergebnisse. Turbulenzen Intensitätsverteilung am X = 3w.
Tabelle 2 . Repräsentative Ergebnisse. Verschiedene statistische Deskriptoren für den planaren Jet an X = 1,5W, 3W, 6W, und 9W.
| x / W | u ̅_cl (m/s) | Δ (mm) | (u′_rms) _max (m/s) | Y_ (+ (U′_rms) _max) |
| 1.5 | 27.677 | 19,37 | 4.919 | 0,9525 |
| 3.0 | 27.706 | 21.50 | 4.653 | 0,9525 |
| 6.0 | 24.783 | 28,18 | 4.609 | 0,9525 |
| 9.0 | 20.470 | 39,68 | 4.513 | 1,2700 |
Tabelle 3 . Repräsentative Ergebnisse. Messung von Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität an X = 3w.
| y (mm) | u ̅ (m/s) | u ′_rms (m/s) | u ̅∕u ̅_cl |
| -28.575 | 0.762 | 0.213 | 0,028 |
| -25.400 | 0.783 | 0.311 | 0,028 |
| -22.225 | 0.949 | 0.554 | 0,034 |
| -19.050 | 1,461 | 1.218 | 0,053 |
| -15.875 | 3,751 | 2.727 | 0,135 |
| -12.700 | 8.941 | 4.114 | 0.323 |
| -9.525 | 14.919 | 4.633 | 0.538 |
| -6.350 | 22.383 | 4.043 | 0.808 |
| -3.175 | 26.952 | 1.958 | 0.973 |
| 0.000 | 27.706 | 1.039 | 1.000 |
| 3,175 | 27.416 | 1,455 | 0.990 |
| 6.350 | 23.573 | 3.730 | 0.851 |
| 9,525 | 17.748 | 4.653 | 0.641 |
| 12.700 | 11.175 | 4.443 | 0.403 |
| 15.875 | 5.583 | 3.399 | 0.202 |
| 19.050 | 1.943 | 1.663 | 0,070 |
| 22.225 | 1.159 | 0.785 | 0,042 |
| 25.400 | 0.850 | 0.383 | 0.031 |
| 28.575 | 0.877 | 0.271 | 0,032 |
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Applications and Summary
Dieses Experiment demonstriert die Anwendung der Hitzdraht-Messung zur Charakterisierung turbulenter Strömungen. Angesichts der Tatsache, dass Turbulenzen Hochfrequenz Geschwindigkeit Schwankungen aufweist, Hitzdraht-Anemometer sind geeignete Instrumente für die Charakterisierung aufgrund ihrer hohen Zeitauflösung. Mit diesem im Verstand, verwendeten wir eine kalibrierte Hitzdraht-Anemometer, die durchschnittliche lokale Geschwindigkeit und Turbulenz Intensität an verschiedenen Positionen innerhalb einer planaren Jet zu charakterisieren. Diese Mengen wurden ermittelt mit Hilfe statistische Deskriptoren für Turbulenzen, die in der Einleitung dieses Dokuments erläutert wurden. Aus dieser statistischen Deskriptoren wurde beobachtet, dass der Jet breitet sich in die spanwise Richtung durch Fluid Entrainment, während Turbulenzen Gipfeln Innenlagen mischen, Weg von der Mittellinie des Strahls, durch Mischen von Flüssigkeit.
Turbulente Strömung ist allgegenwärtig im wissenschaftlichen und technischen Anwendungen. Bei ihrer Beurteilung in technische Anwendungen wie Lüftung, Heizung und Klimaanlage, ist es üblich, verwenden tragbare Hitzdraht-Sonden, die eingeführt, um die Kanalisierung und durchlaufen radial um Velocity Profile zu erhalten. Diese Informationen wird dann durch den Ingenieur zur Gleichgewicht entweder eine neu installierte Flow-System um den ordnungsgemäßen Betrieb zu gewährleisten oder zu einem fehlerhaften System behandeln und lösen jedes Problem, das seinen Betrieb behindert.
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References
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- King, L.V. On the convection of heat from small cylinders in a stream of fluid: determination of the convection constants of small platinum wires with applications to hot-wire anemometry. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character 214 (1914): 373-432.
- White, F. M. Fluid Mechanics, 7th ed., McGraw-Hill, 2009.
- Munson, B.R., D.F. Young, T.H. Okiishi. Fundamentals of Fluid Mechanics. 5th ed., Wiley, 2006.
- Buckingham, E. Note on contraction coefficients of jets of gas. Journal of Research,6:765-775, 1931.
