Name: critical buckling load in pin-ended columns
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

ضع في اعتبارك عمودا PQ ، متصلا بالدبوس في كلا الطرفين ، مع حمل محوري مركزي مطبق في النهاية P. يحدث الالتواء إذا تجاوز هذا الحمل الحمل الحرج.
لحساب الحمل الحرج ، تخيل العمود كشعاع رأسي. الآن ، ضع في اعتبارك النقطة O على منحنى مرن للحزمة على مسافة x من الطرف الحر P ولها الانحراف y من الرأسي.
يمكن كتابة عزم الانحناء عند النقطة O على أنها المشتق الثاني لانحرافها بالنسبة للمسافة x. عند إعادة ترتيب المصطلحات ، يتم الحصول على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، تعبر عن حل من حيث دالات الجيب وجيب التمام.
يتطلب شرط الحد الأول أن يكون المعامل B صفرا. يتطلب الشرط الثاني إما أن يكون المعامل A أو الحد الجيبي صفرا.
إن جعل حد الجيب صفرا ينتج عنه تعبير الحمل المحوري ، وتكون أقل قيمة هي الحمل الحرج ؛ هذه هي صيغة أويلر.
باستبدال صيغة أويلر في المعادلة التفاضلية ، يتم الحصول على معادلة للمنحنى المرن بعد الالتواء.

صيغة أويلر للأعمدة ذات النهايات الدبوسية

Euler&#39;s Formula for Pin-Ended Columns

<div style="direction: rtl;">
 في الهندسة الإنشائية، يعد استقرار الأعمدة تحت الأحمال المحورية الضاغطة أحد الاعتبارات المهمة، والتي توصف بأنها التواء. يتضمن المثال النموذجي عمودًا PQ، وهو متصل بدبوسً عند كلا الطرفين ويخضع لحمل محوري مركزي F مطبق على أحد الطرفين، مع قوة رد فعل قدرها F' = -F في الطرف الآخر. هنا، من المهم أن نفهم أنه عندما يتجاوز الحمل المطبق الحمل الحرج، يحدث الالتواء عندما يصبح النظام غير مستقر.
 
 لحساب الحمل الحرج، تصور العمود PQ كعارضة عمودية. خذ بعين الاعتبار النقطة O، التي تقع على المنحنى المرن للعارضة، على مسافة x من الطرف الحر P. مع تطبيق الحمل، تنحرف النقطة O بمقدار مسافة y عن موضعها الرأسي الأصلي. عند هذه النقطة، يمكن وصف عزم الانحناء عند النقطة O بالمشتق الثاني لانحرافه، y، بالنسبة إلى x، مما يرمز إلى المحور نحو فهم سلوك العارضة تحت الضغط.
 
 <img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_1v2.svg" style="text-align: center; height: 40px;">
 حيث يتم تعريف f كـ ،
 
 <img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 30px;">
 هذه المعادلة لها حل عام له حدود الجيب وجيب التمام. القيم الحدودية للنظام تعطي معاملات الحل.
 
 <img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 24px;">
 يتطلب الحل أن يكون حد الجيب صفرًا، مما يعطي التعبير عن الحمل الحرج. يُعرف هذا التعبير بصيغة أويلر.
 
 <img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_4v2.svg" style="text-align: center; height: 36px;">
 إن استبدال صيغة أويلر مرة أخرى في المعادلة التفاضلية يعطي تعبيرًا عن المنحنى المرن للعمود بعد التواء.
 
 هنا، من المهم ملاحظة أن صيغة أويلر مشتقة من الافتراضات القائلة بأنه قبل التحميل، يجب أن يكون العمود مستقيمًا تمامًا ومتجانسًا ومتناحي الخواص وأن الحمل المحوري يتم تطبيقه بشكل مثالي على طول المحور الرأسي.
 
</div>

ضع في اعتبارك عمودا PQ ، متصلا بالدبوس في كلا الطرفين ، مع حمل محوري مركزي مطبق في النهاية P. يحدث الالتواء إذا تجاوز هذا الحمل الحمل الحرج.
ل...

Education

JoVE Core

Mechanical Engineering

الهندسة الميكانيكية

Unit 1

الوحدة الأولى

Columns

أعمدة

KEY TERMS AND CONCEPTS

المصطلحات والمفاهيم الأساسية

critical buckling load in pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins.

To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance x from the free end P. When the load is applied, point O deflects by a distance y from its original vertical position. The bending moment at point O is then related to the second derivative of y with respect to x, which helps describe how the beam changes shape under stress.

The resulting equation has a general solution with sine and cosine terms. The boundary values of the system determine the coefficients in that solution. The sine term must be zero, and that condition gives the expression for the critical load. This expression is known as Euler's formula.

After Euler's formula is substituted back into the differential equation, the elastic curve of the column after buckling can be found. The formula is based on several assumptions. Before loading, the column must be perfectly straight, homogeneous, and isotropic. The axial load must also be applied perfectly along the vertical axis.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

critical-buckling-load-in-pin-ended-columns

stability of structures

Critical Load and Structure Stability

Structural stability is an important idea in mechanical engineering. It helps engineers design buildings, vehicles, and machines that stay safe and efficient under load. A simple model for studying this behavior uses two rods joined at a pivot point O with a torsional spring, which is a spring that resists twisting, at the pivot. The setup is similar to a scissor jack used to lift a car. In the example, the linkage arms are vertical, which matches the case where the vehicle has been raised as...

euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

euler-s-formula-to-columns-with-other-end-conditions

Euler Buckling for Different Column Supports

Euler buckling explains how a column can fail when it is compressed. In structural engineering, it helps predict the critical load, which is the load level where a column is likely to buckle. The formula uses the modulus of elasticity, the moment of inertia of the cross-section, and the column length. The same idea also helps describe critical stress. Critical stress is found by dividing the critical load from Euler's formula by the cross-sectional area of the column. This leads to the...

euler&#39;s formula to columns: problem solving

euler-s-formula-to-columns-problem-solving

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint. As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the...

eccentric loading

Column Bending Under Off-Center Load

Eccentric loading shows how a column bends when a force is applied off-center. In structural engineering, this matters because the load no longer acts along the centroidal axis, so the column sees both direct compression and bending stress. The off-center force can be treated as two parts. One part is a centric load F that acts along the column’s axis. The other part is a couple moment created by the eccentricity, or distance, between the load and the centroidal axis. To study the column...

design of columns under a centric load

Column Buckling and Load Design Basics

Column design under a centric load is a key part of structural engineering. It helps engineers keep buildings and other structures stable and safe. The main tools used here are Euler’s formula and Secant’s formula. Euler’s formula is used when a column is assumed to be perfect, straight, and uniform. It also applies when the material stays within its elastic limit. The critical load from Euler’s formula depends on the material’s modulus of elasticity and the column’s shape. This formula works...

design of columns under an eccentric load

design-of-columns-under-an-eccentric-load

Eccentric Load Stresses in Structural Columns

Structural columns under eccentric load must be designed for both axial force and bending stress. An eccentric load is an off-center load, and it creates a non-uniform stress pattern across the column. Engineers must analyze this stress distribution carefully to reduce the risk of failure. The stress in an eccentrically loaded column can be treated as the sum of two parts. One part comes from an equivalent centric load, which is a load applied through the center of the column. The other part...

key terms and concepts

Learn how pin-ended columns buckle under compressive axial load and how Euler's formula gives the critical load and elastic curve after buckling.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Description

Transcript