Name: fourier coefficients and harmonic terms
Uploaded: 2024-09-26T13:17:01.000Z
Duration: 1 min 17 s
Channel: JoVE

سلسلة فورييه هي تقنية رياضية تقسم الوظائف الدورية إلى سلسلة لا حصر لها من التوافقيات الجيبية.
تمثل سلسلة فورييه المثلثية دالة دورية ذات فترة محددة باستخدام وظائف الجيب وجيب التمام. يتناسب تكرار هذه الوظائف عكسيا مع فترة الدالة الأصلية.
يتم فهم المصطلحات الثابتة والمساهمة الفردية لكل دالة جيب وجيب تمام في الدالة الأصلية باستخدام معاملات فورييه. يتضمن حساب هذه المعاملات التكامل على مدى فترة واحدة.
لكي تصور سلسلة فورييه دالة دورية ، يجب استيفاء شروط Dirichlet.
يتطلب الشرط الأول أن يكون للوظيفة تكامل محدود خلال فترة واحدة.
ينص الشرط الثاني على أن تباين الوظيفة يجب أن يكون محدودا ضمن أي نطاق معين.
أخيرا ، يجب أن تحتوي الدالة على عدد محدود من الانقطاعات ضمن أي نطاق محدد ، لا يمكن أن يكون أي منها لانهائيا.
يمكن استخدام سلسلة فورييه لتقريب الوظائف - لا يمكنها استعادة الوظائف التي لا تفي بشروط Dirichlet بالكامل.

متسلسلة فورييه المثلثية

<div style="direction: rtl;">
متسلسلة فورييه هي تقنية رياضية أساسية تحلل الدوال الدورية إلى سلسلة لا نهائية من التوافقيات الجيبية. تمكّن هذه الطريقة من تمثيل الإشارات الدورية المعقدة كمجموعات من دوال الجيب وجيب التمام البسيطة، مما يسهل تحليلها وتفسيرها في مجالات مختلفة، بما في ذلك معالجة الإشارات والصوتيات والهندسة الكهربائية.

تعبر سلسلة فورييه المثلثية بشكل خاص عن دالة دورية بفترة محددة T باستخدام دوال الجيب وجيب التمام. الشكل العام لسلسلة فورييه المثلثية للدالة x(t) هو:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16059/16059_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 40px;"> 
هنا، يمثل 𝑎_0 القيمة المتوسطة للدالة على مدى فترة واحدة، بينما

𝑎_𝑛 و𝑏_𝑛 هما معاملا فورييه اللذان يحددان مساهمة كل دالة جيب التمام وجيب التمام على التوالي. يتم تحديد هذه المعاملات من خلال التكامل على فترة واحدة T:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16059/16059_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 46px;">
<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16059/16059_PT%20EQUATION_3.svg" style="text-align: center; height: 48px;">
<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16059/16059_PT%20EQUATION_4.svg" style="text-align: center; height: 48px;">
هذه التكاملات ضرورية لحساب المعاملات الدقيقة التي تعيد بناء الدالة الأصلية من مكوناتها الجيبية.

لتصوير دالة دورية بدقة باستخدام سلسلة فورييه، يجب استيفاء شروط دي ريتشليت. ينص الشرط الأول على أن الدالة يجب أن يكون لها تكامل منتهٍ على فترة واحدة، مما يضمن أن تكون الدالة الكلية محدودة. يتطلب الشرط الثاني أن يكون للدالة عدد محدود من القيم القصوى والدنيا ضمن أي نطاق معين، مما يضمن أن الدالة لا تظهر تذبذبات مفرطة. ينص الشرط الثالث على أن الدالة يجب أن تمتلك عددًا محدودًا من الانقطاعات، ولا يوجد منها ما لا نهائي. تضمن هذه الشروط تقارب سلسلة فورييه بشكل مناسب مع الدالة الأصلية.
في التطبيقات العملية، حتى لو لم يتم استيفاء هذه الشروط بشكل صارم، فما زال من الممكن إنشاء تمثيلات متسلسلة فورييه. وعلى الرغم من أن مثل هذه التمثيلات قد تكون أقل دقة، إلا أنها قد توفر تقريبات مفيدة لتحليل وتركيب الدوال الدورية. وتؤكد هذه المرونة على قوة ومتانة متسلسلة فورييه في التطبيقات الرياضية والهندسية المختلفة.

</div>

سلسلة فورييه هي تقنية رياضية تقسم الوظائف الدورية إلى سلسلة لا حصر لها من التوافقيات الجيبية.
المثلثات ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

الهندسة الكهربائية

Unit 1

الوحدة الأولى

Fourier Series

سلاسل فورير

KEY TERMS AND CONCEPTS

المصطلحات والمفاهيم الأساسية

Trigonometric Fourier series

fourier coefficients and harmonic terms

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study.

In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes to the final result.

These coefficients are found by integration over one full period T. The integrals give the exact values needed to rebuild the original function from its sinusoidal pieces. This is why Fourier coefficients are central to the method.

To match a periodic function well, the Dirichlet conditions should be satisfied. The function must have a finite integral over one period, a limited number of maxima and minima in any range, and a finite number of discontinuities that are not infinite. These conditions help the Fourier series converge to the original function.

Even when the Dirichlet conditions are not perfectly met, a Fourier series can often still be written. The result may be less accurate, but it can still give a useful approximation of the periodic function. This makes Fourier series a practical tool for analyzing and synthesizing repeating signals in mathematics and engineering.

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

trigonometric fourier series

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study. In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes...

exponential fourier series

Fourier Series in Audio Signal Processing

Fourier series are used in audio signal processing to break complex sounds into simpler sinusoidal parts. This helps explain how musical notes and other periodic signals can be analyzed and rebuilt from frequency components. The exponential Fourier series writes a periodic signal as a sum of complex exponentials at positive and negative harmonic frequencies. These harmonic terms capture the repeated pattern in the signal. Euler's identity connects the exponential form to cosine and sine, which...

properties of fourier series i

Fourier Series Properties in Signal Processing

Fourier series properties help describe periodic signals in signal processing and communications. A Fourier series breaks a signal into sine and cosine parts. These properties make it easier to study how signals behave and how they can be handled in real systems. Linearity is one of the most important properties. If two periodic signals are added together or combined in a linear way, the new signal has Fourier coefficients that are the same linear combination of the original coefficients. This...

properties of fourier series ii

Fourier Series Symmetry and Time Scaling

Fourier series change in useful ways when a signal is time-scaled or when it has symmetry. Time scaling changes the fundamental frequency, but the Fourier series coefficients stay the same. This idea helps show how a signal is represented over time in signal processing. Symmetry also makes Fourier series easier to work with. A function is even if f(t) = f(-t). For even functions, the sine terms disappear because sine is an odd function, and the integral of an odd function over a symmetric...

parseval's theorem

Parseval's Theorem in Signal Power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal. The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric...

convergence of fourier series

Fourier Series Truncation and Gibbs Ripples

Fourier series can represent a periodic signal as an infinite sum of complex exponentials. For practical use, that infinite series is cut off after a finite number of terms. The result is a partial sum that gives a workable approximation of the original signal. Truncating the series creates a challenge near discontinuities. The approximation develops the Gibbs phenomenon, which is the set of persistent oscillations and overshoots around a jump in the signal. These high-frequency ripples do not...

discrete-time fourier series

DTFS for Periodic Signal Analysis

Discrete-Time Fourier Series (DTFS) helps analyze periodic signals in discrete time by breaking them into frequency components. It is the discrete-time counterpart of the continuous-time Fourier series. Instead of using integrals, DTFS uses summations because the signal is discrete. For a discrete-time periodic signal x[n] with period N0, the DTFS coefficients X[k] are found from the DTFS formula. The index k runs from 0 to N0 − 1. These coefficients describe the signal in the frequency domain...

key terms and concepts

Learn how Fourier series use sine and cosine terms, Fourier coefficients, and Dirichlet conditions to model periodic functions and signals.

Fourier Coefficients and Harmonic Terms | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

Description

Transcript