Parseval's Theorem in Signal Power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal.

...

帕塞瓦尔定理指出，如果一个函数是周期性的，那么该信号在一个周期内的平均功率等于所有复傅里叶系数的幅度平方之和。

为了验证帕塞瓦尔定理，假设该函数具有标准形式的复傅里叶级数。代入此表达式并进一步求解即可得到该定理的证明。

有趣的是，帕塞瓦尔定理也可以用三角傅里叶级数的傅里叶系数来表示。

在音频处理中，帕塞瓦尔定理用于比较原始声波与其压缩版本的能量。

该定理的工程学解释提供了实际意义。如果函数表示电流或电压等电信号，则该函数的平方表示在1欧姆电阻中的瞬时功率。

该定理还将一个周期内电阻上耗散的能量与傅里叶级数相关联，给出了两种不同的表达式——一种基于三角函数形式的傅里叶级数，另一种基于振幅相位形式的傅里叶级数。