Chain Rule in Thermal Expansion

The Chain Rule appears in thermal expansion when a rod’s length changes because its temperature changes over time. In this example, a metal rod is heated, and its length depends on temperature. The temperature itself changes with time in a quadratic way.

For linear thermal expansion, the rod’s le...

金属棒在受热时会因线性热膨胀而伸长。其长度变化取决于初始长度、材料的热膨胀系数以及系统温度的变化。

此处，杆的温度随时间呈二次变化。

目标是求在已知热膨胀系数的情况下，一根2米长的金属杆在恰好10秒时长度的瞬时变化率。

由于长度取决于温度，而温度又取决于时间，因此应用链式法则。

为了简化链式法则的计算，将微分过程分为两个不同的部分。

首先，长度对温度求导。该求导结果为一个常数：即初始长度与膨胀系数的乘积。

其次，利用幂法则对温度关于时间求导，得到线性变化速率。

根据链式法则，最终速率是这两个分量的乘积。将 10 秒时的已知值代入，可得到长度所需的瞬时变化率。