Tangent Line Estimates Near a Point

Linearization uses a tangent line to estimate a nonlinear function near a chosen reference point. It replaces a difficult function with a simpler linear model when the input changes only a little. This makes it useful for small deviations from a known value.

A square root example shows how the me...

线性化通过在参考点附近用线性模型替代复杂的非线性函数来简化这些函数。

例如，考虑一个平方根函数，当输入为 4 时，其输出值为 2。该输入作为参考点。但当输入为 4.1 时，则难以精确计算该平方根函数的值。

在这种情况下，线性化通过使用函数在参考点处的切线来近似该点附近的函数。该切线由函数在参考点处的值，加上其在参考点处的导数与自变量相对于该点的微小变化量 (x−a) 的乘积所定义。

为了估算 x 等于 4.1 时的函数值，使用该切线表达式。

首先，计算函数在点 a 处的值及其导数。然后，求出 x 与 a 之间的差值。

结合这三个术语可得到一个近似值。

该估计值与 4.1 的实际平方根非常接近，差异极小。这是一个简单...