Mean Change and Instantaneous Slope

The Mean Value Theorem links average change to instantaneous slope. It shows that when a function changes smoothly over an interval, the average change across the whole interval must match the change at one specific point inside it.

The theorem is easy to see in a motion example. Imagine a vehicl...

中值定理建立了函数在某一区间上的平均变化率与该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。

中值定理指出，若一个函数在闭区间上连续，且在开区间内可导，则在该开区间内至少存在一点 c，使得该点的瞬时变化率等于端点 a 与 b 之间的平均变化率。

以现实生活中的例子来说明，可以考虑一辆汽车在两点之间的道路上行驶：其速度最初较低，在中途增加，接近终点时又减小。

切线在一点处与曲线相切，该直线的斜率表示该时刻速度的瞬时变化率。割线穿过曲线上两点，其斜率表示这两点之间速度的平均变化率。

该割线斜率等于函数在闭区间内值的总变化量除以该区间的水平长度。

该定理保证，在行程中的至少某一时刻，瞬时加速度必然恰好等于平均加速度。