Definite Integrals with Antiderivatives

The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, connects definite integrals with antiderivatives. It shows that the area under a continuous curve can be found without adding infinitely many tiny rectangles one by one. Instead, the integral can be evaluated directly from an antiderivative.

If a funct...

微积分基本定理的第二部分将反导函数与定积分联系起来。它精确地计算函数在特定区间内的总累积值。

如果函数在闭区间上连续，则定积分等于反导函数在上界的值减去其在下限的值。

这避免了黎曼和近似，后者通过曲线下许多窄矩形来估算面积。

所选的反导不会影响最终结果。例如，x 的 G 可能与另一个反导函数相差一个常数 C，但 C 在减去区间端点的值时会抵消。

一个常见的应用是利用物体的速度函数来求其净位移。

在给定时间区间内（从1秒到4秒）的净位移，即速度-时间图下方的面积。

计算此值时，首先求速度函数的反导函数——这给出位置函数。然后，利用定理计算区间端点的位置。用4秒时的位置函数值减去1秒时的位置函数值，得到净位移。