Perpendicular Curves in Calculus

Orthogonal trajectories are a pair of curve families that cross at right angles. In this example, the starting family is made of parabolas that open sideways along the x-axis. They share the same shape, but a scaling parameter changes how wide each curve is. Every curve in the family passes through the origin and spreads out...

在电磁学中，电力线——代表电力的方向——总是垂直于等势线，沿该线势能保持恒定。

这两组直线以直角相交，形成正交轨迹。

为了数学理解该概念，考虑一族沿 x 轴开的抛物线，记作 x = ky²，其中 k 是常数。

对方程对x微分即可得到抛物线上任意点的切线斜率。

为了推广所有族成员的结果，消去 k 得到一个斜率，用 x 和 y表示。

该斜率的垂直方向由负倒易给出。

将 y/2x 代入斜率表达式并重新排列，得到抛物线正交轨迹的方程

积分该方程得到一个一般表达式，显示一族以原点为中心的椭圆。

这些椭圆与抛物线呈直角相...