Differential Equations and Falling Motion

Differential equations can model the motion of a falling object when gravity and air resistance act at the same time. In this example, a heavy test weight is released from rest during a ship safety check. Gravity pulls the weight downward, and air resistance pushes upward as the speed increases.

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船舶上的安全检查使用一个重的测试质量块。将该质量块提升后释放，以研究空气阻力对运动的影响。一旦释放，质量块从静止开始在空气中下落。

重力将其向下拉，而空气则对其运动产生向上的阻力。根据牛顿第二定律，速度的变化取决于合力。

结合这些力可得到一个将加速度与速度关联起来的微分方程。将该方程除以质量后可得到更简洁的形式。

将阻力常数与质量的比值定义为常数 b，可使微分方程更易于分离变量。

对公式进行积分并重写以求得速度关于时间的函数，可得到一个指数方程。利用初始速度为零的条件，可确定解中的剩余常数。

随着时间增加，速度趋近于一个被称为终端速度的恒定值。当重量为10千克、阻力常数为2牛·秒/米时，该模型预测的终端速度为49米/秒。