Compound Interest and Series Growth

Compound interest grows an investment by adding interest to both the original amount and the interest already earned. With a 4% annual compound interest rate, each year’s balance becomes 1.04 times the previous year’s balance. That pattern creates a geometric sequence, with 1.04 as the common ratio or repeated multiplier.

考虑一个无穷级数。为了判断该无穷级数是收敛于一个有限值，还是无限增长，可以使用比值判别法。该方法通过考察相邻项比值的绝对值的极限（记为 L）来进行判断。

如果 L 小于 1，则该级数收敛，意味着其和趋近于一个有限的数值。如果 L 大于 1 或等于无穷大，则该级数发散，意味着其和无界增长。

当 L 等于 1 时，该检验无法给出明确结果，需要采用其他方法。

例如，假设一笔本金每年以 4% 的复利利率增长。这种增长形成一个等比数列，其中每一项是前一项的 1.04 倍。

由于该值大于1，每一期的计息都会使总额增加，且总和将无限增长。

该级数发散，表明其累积和无限制地增加，其无穷总...