Gradient Direction and Rate of Change

The directional derivative shows how a multivariable function changes at a point when you move in a chosen direction. That direction is written as a unit vector, so only the direction matters and not the length of the vector. Changing the direction changes the rate of change, which is why the directional derivative depends s...

在多变量微积分中，方向导数用于度量一个函数在某一点沿指定方向（由单位向量 u 给出）的变化率的陡峭程度。

改变向量 u 的方向将产生不同的方向导数值。为了找到最大值，必须确定最陡上升的方向。

从数学上讲，方向导数是梯度向量与单位向量 u 的点积。

该点积表示为它们的模的乘积与它们之间夹角余弦的乘积。

由于 u 是一个模长为 1 的单位向量，该表达式可简化为梯度的模乘以 theta 的余弦值。

当此方向向梯度方向旋转时，夹角减小，cos θ 的值随之增大，当夹角变为零时，其值达到最大值1。

在此方向上，方向导数达到其绝对最大值，该值等于梯度本身的模长。

这证实了梯度向量指向最陡上升的方向，其长度表示该最大...