Gradient Vectors and Tangent Planes

Gradient vectors and tangent planes help describe the shape of a level surface at a point. A level surface is the set of all points in space where a function of three variables has the same fixed value. To understand the local geometry near one point, it is not enough to know the coordinates alone. You also need to know how ...

一个等值面 S 包含所有使得三变量函数等于某一常数值的点。

为了理解该曲面上特定点 P 处的几何性质，可以想象一条经过点 P 的曲线 r(t)。

为了证明 r(t) 完全位于等值面上，需将曲线的参数分量代入曲面方程中。

由于 k 是常数，其对时间的导数必须为零。链式法则将这一导数分解为两个不同的部分。

第一部分包含表示高程变化的偏导数，并构成梯度向量。第二部分包含曲线路径的导数，表示行进方向，并构成切向量。

这计算了梯度与切向量的点积。由于该值为零，梯度垂直于所有切向量，因此垂直于点 P 处的切平面。因此，梯度可作为该平面的法向量。

设想一名徒步者位于一座小山上。保持恒定海拔行走意味着沿与梯度方向垂直的方向移动。梯...