Optimizing a Fence Pen with Lagrange Multipliers

Lagrange multipliers help solve constrained optimization problems. In these problems, you maximize or minimize a quantity while keeping a fixed condition. A common example is a rectangular pen built against a barn wall using 100 meters of fencing.

The barn wall makes one side of the pen, so only ...

计划利用100米长的围栏靠 barn wall 建造一个矩形围栏。由于墙壁构成其中一侧，因此只需围三边。目标是找出使面积最大的围栏尺寸。

这是一个约束优化问题，因为在围栏长度保持固定的同时，必须使面积最大化。

拉格朗日乘数法为引入这一限制条件提供了一种清晰的方法。在长度-宽度平面上，围栏条件形成了一条约束曲线，限制了围栏尺寸的可能取值。最大值出现在面积的等高线与约束曲线相切的位置。在该点处，两条曲线具有相同的切线，因此它们的梯度相互平行。

梯度的大小可能不同，因此需将其中一个乘以一个常数以匹配另一个。该常数即为拉格朗日乘子 lambda。

下一步是对长度和宽度求偏导数。求解这些方程可得长度是宽度的两倍。将这一关系代入围栏约束条件，即可得到...