Testing Whether a Vector Field Is Conservative

A conservative vector field is a force field where the work done between two points depends only on the start and end points. Gravity is a simple example. For a ball in Earth’s gravitational field, the work depends on the change in height. That stays true even if the ball moves straight up or along a curved path.

假设从某一高度向上抛出一个球。

在运动过程中，球体可能沿直线上升和下降，也可能沿曲线路径运动。当球体在地球引力场中移动时，重力所做的功仅取决于初始高度和最终高度，而与所经过的路径无关。这一特性称为路径无关性。

具有此性质的向量场称为保守向量场。该场来源于一个称为势函数的标量函数 f，可表示为 f 的梯度。

在二维情况下，场分量 P 和 Q 分别是函数 f 对 x 和 y 的偏导数。

由于两者源自同一个势函数，它们的混合偏导数相等。这由克莱罗定理（Clairaut’s theorem）得出，该定理指出当二阶导数连续时，这些混合偏导数相等。这一条...