Using Curl to Measure Circulation

Green’s Theorem links circulation around a closed curve to rotation inside the region. In a fluid example, such as a pond with pollutants, tracing the water along an irregular shoreline can be difficult. The theorem offers a faster way to connect what happens at the boundary with what happens throughout the water.

一组科学家正在研究池塘中的水流运动，以追踪附近工厂排放的污染物。

由于池塘的岸线不规则且难以进入，沿整个边界测量水体运动是不切实际的。

此时，格林定理的向量形式便派上了用场。它将沿岸曲线 C 的环流量与池塘 D 内部水流场的旋度关联起来。

首先，在池塘内部的不同位置测量水流速度。这些数据定义了一个连续的矢量场 F，该矢量场通过一个方程建模，用于表示池塘的整体水流情况。

接下来，计算该矢量场 F 的旋度。这用于衡量流动的局部旋转情况，结果是一个垂直于水面的矢量。

对于该场，旋度矢量随后与单位矢量 k 进行点积运算，得到一个恒定值 2。...