Surface Area of Parametric Surfaces

Surface area of parametric surfaces can be estimated by breaking a curved surface into small patches. A curved roof is one example, since its true surface area is usually larger than its flat projection. To find the painting cost, the curved area must be calculated first.

If the roof is described...

考虑粉刷一个曲面屋顶。所需油漆的成本取决于曲面面积，该面积通过将参数域 D 划分为若干小矩形来计算。

每个矩形的参考点通过一个向量值函数映射到曲面 S 上的特定坐标。

在该映射点处，利用两个切向量构建一个切平面，这两个切向量是向量值函数的偏导数。

将这些向量按网格尺寸缩放后，可得到构成一个小平行四边形的边向量。该形状在线性意义上近似于曲面片的面积。该面积通过计算两向量叉积的模来求得。

然后将所有平行四边形的面积相加，得到一个黎曼和，用以近似曲面面积。

当矩形数量趋近于无穷大时，该和式便成为在区域 D 上的二重积分。

对于一般的曲面积分，需在每个小块上选取一点计算函数 f 的值，并将其乘以该小块的面积。此过程最终得到...