Name: beam deflection under distributed load
Uploaded: 2024-05-23T13:00:02.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

Wenn ein Balken eine verteilte Last trägt, können die Querkraft und das Biegemoment an einem beliebigen Punkt des Balkens in differentieller Form ausgedrückt werden.
Eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung wird erstellt, indem der Ausdruck weiter differenziert und die Biegesteifigkeit als konstant angenommen wird.
Die erneute Differenzierung ergibt eine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Diese Gleichung bestimmt im Wesentlichen die Form oder elastische Kurve, die der Balken annimmt, wenn er eine verteilte Last trägt.
Indem man die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit der Biegesteifigkeitskonstante multipliziert und viermal integriert, erhält man einen Ausdruck für die Kurve.
Die Konstanten in der Gleichung, die die Kurve des Trägers definiert, werden durch die Endbedingungen bestimmt, z. B. die Neigung oder Durchbiegung von den Lagern und die Angabe, ob die Querkraft und das Biegemoment am freien Ende eines Auslegers null sind oder ob nur das Biegemoment an beiden Enden eines gelagerten Trägers Null ist.
Mit dieser Technik werden Kurven für auskragende oder gelagerte Träger mit verteilten Lasten genau berechnet. Die Lagerreaktionen der überhängenden Balken verursachen jedoch Schubunregelmäßigkeiten, die unterschiedliche Funktionen für die Definition der Kurve in voller Länge erfordern.

elastische kurve aus der lastverteilung

Das strukturelle Verhalten von Balken unter verteilten Lasten ist von entscheidender Bedeutung für die technische Analyse, die sich auf die Vorhersage der Biegung und Reaktion von Balken unter solchen Bedingungen konzentriert. Verschiedene Arten von Trägern (z. B. freitragend, unterstützt oder überhängend) verhalten sich unter verteilten Lastbedingungen unterschiedlich.

Bei allen Balken beginnt die Analyse der Reaktion des Balkens auf verteilte Lasten mit dem Verständnis der Beziehung zwischen der Last eines Balkens und den resultierenden Scherkräften und Biegemomenten. Dieser Zusammenhang wird zunächst als Differentialgleichung ausgedrückt.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 32px;">

Eine weitere Differenzierung dieses Ausdrucks unter der Annahme einer konstanten Balkenflexibilität führt zu einer komplexeren Differentialgleichung, die die Durchbiegungskurve des Balkens beschreibt oder wie er sich unter der Last biegt.

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 40px;">

Diese komplexe Gleichung wird mehrfach integriert, um die tatsächliche Form dieser Kurve zu bestimmen. Jeder Integrationsschritt führt eine Konstante ein, die durch die Randbedingungen des Balkens definiert werden muss, beispielsweise durch die Art und Weise, wie der Balken an seinen Enden gestützt oder verbunden wird.

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15668/15668_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 32px;">

Die Randbedingungen variieren je nachdem, wie ein Träger getragen wird. Beispielsweise unterliegt ein freitragender Balken, der an einem Ende befestigt und am anderen frei ist, an jedem Ende unterschiedlichen Einschränkungen hinsichtlich Durchbiegung und Kraft. Umgekehrt sind bei einem gestützten Balken die Bedingungen hauptsächlich auf die Stützpunkte konzentriert. Besonders anspruchsvoll ist die Analyse überhängender Träger, bei denen Teile des Trägers über seine Stützen hinausragen. Auf diese Segmente wirken einzigartige Kräfte und Biegemomente ein, die spezielle Berechnungen erfordern, um das Verhalten des Trägers über seine gesamte Länge genau zu beschreiben. Dieses detaillierte Verständnis stellt sicher, dass Strukturen sicher und funktionsfähig sind.

Elastische Kurve aus der Lastverteilung

Wenn ein Balken eine verteilte Last trägt, können die Querkraft und das Biegemoment an einem beliebigen Punkt des Balkens in differentieller Form ausgedrückt werden.
Eine dritte Ordnung ...

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Lehre

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Mechanical Engineering

Maschinenbau

Unit 1

Einheit 1

Deflection of Beams

Durchbiegung von Balken

KEY TERMS AND CONCEPTS

ZENTRALE BEGRIFFE UND KONZEPTE

Elastic Curve from the Load Distribution

beam deflection under distributed load

Beam deflection under distributed load is a key part of beam analysis in engineering. It helps predict how a beam bends and reacts when a load is spread along its length. Engineers use this relationship to judge whether a structure will stay safe and functional.

The analysis starts with the link between load, shear force, and bending moment. These quantities can be written in differential form. When beam flexibility is treated as constant, further differentiation leads to a higher-order differential equation for the deflection curve, which is the shape the beam takes as it bends.

Finding the actual curve requires integrating the equation several times. Each integration adds a constant that must be determined from boundary conditions. Boundary conditions depend on how the beam is supported or connected at its ends.

Different beam types need different boundary conditions. A cantilever beam is fixed at one end and free at the other, so its deflection and force limits are set differently at each end. A supported beam is handled mainly at the support points.

Overhanging beams are more complex because part of the beam extends beyond the supports. Those outer sections experience unique forces and bending moments. They need separate calculations so the behavior along the full beam length can be described accurately.

Beam Deflection Under Distributed Load

deformation of a beam under transverse loading

deformation-of-a-beam-under-transverse-loading

Beam Deflection from Loads and Supports

Beam deflection depends on the loads on a beam and the support conditions at its ends. For indeterminate beams, especially those with overhanging parts and multiple concentrated loads, careful analysis is needed to predict how the beam will bend. The first step is to draw an accurate free-body diagram. A free-body diagram shows the forces and moments acting on the beam. It helps reveal how the bending moment changes along the beam length. The bending moment diagram also shows how the beam...

equation of the elastic curve

Beam Deflection and Boundary Conditions

Beam deflection and boundary conditions help describe how a beam bends under load. In structural engineering, the curvature of a plane curve shows how sharply the beam bends. That curvature is found from the curve’s first and second derivatives. A cantilever beam with a point load at its free end is a common example. A diving board works like this type of beam. When slopes are small, the beam’s elastic curve becomes the main shape used in the analysis. The governing equation connects bending...

elastic curve from the load distribution

Beam deflection under distributed load is a key part of beam analysis in engineering. It helps predict how a beam bends and reacts when a load is spread along its length. Engineers use this relationship to judge whether a structure will stay safe and functional. The analysis starts with the link between load, shear force, and bending moment. These quantities can be written in differential form. When beam flexibility is treated as constant, further differentiation leads to a higher-order...

deflection of a beam

Beam Slope and Deflection by Singularity

Beam slope and deflection can be found with singularity functions when beam loading is hard to write as one simple equation. This method is useful in structural engineering because it helps describe beams under several loads without breaking the problem into many separate cases. Singularity functions are mathematical tools for showing discontinuities in a load, shear force, or bending moment equation. They are especially helpful when a load acts at a single point or over a set interval. In the...

method of superposition

Beam Deflection Under Combined Loads

Beam deflection under combined loads can be found with the method of superposition. This structural engineering method is used to analyze how multiple loads affect a beam. It works by finding the slope and deflection from each load separately, then adding those results together. The method applies only when the beam stays within its elastic limit. In that range, the material deforms in a linearly elastic way. That makes it valid to combine the effects of separate loads without changing the...

moment-area theorems

Beam Deflection Using Moment-Area Rules

The moment-area theorems help describe beam bending in structural engineering. They are often used for building floor supports and other beams under load. The theorems use the elastic curve, which is the shape a beam takes as it deforms. The first theorem links slope change to area on an M/EI diagram. Here, M is the bending moment, E is the modulus of elasticity, and I is the moment of inertia. When M/EI is plotted along the beam length, the area under the curve gives the total rotation...

beams with symmetric loadings

Moment-Area Method for Cantilever Deflection

The moment-area method is used in structural engineering to find the slope and deflection of a beam under load. It is especially useful for a cantilever beam with a concentrated load and a moment at the free end. The analysis begins with a free-body diagram. This diagram helps calculate the reactions at the fixed end. After that, the bending moment diagram is drawn to show how the bending moment changes along the beam. Points where the bending moment is zero are important in this step. Next,...

beams with unsymmetric loadings

Beam Deflection and Level Points

Beam deflection and level points can be found for a supported beam under unsymmetrical loadings using moment-area theorems. This type of analysis helps show how a beam bends when forces are spread unevenly along it. It is an important part of structural engineering because it links load patterns to beam response. The first moment-area theorem is used to find the slope at any point on the beam. It states that the change in slope between two points equals the area under the moment diagram over...

maximum deflection

Locating the Beam’s Highest Deflection

Maximum deflection in a supported beam depends on where the load is placed. With an unsymmetrical load, such as a train moving across a bridge, the beam may bend most at a point that is not the midpoint. Finding that point is important for judging stress and deflection in the structure. The point of maximum deflection is called point O. At point O, the tangent to the deflection curve is horizontal. That means the slope is zero there. To locate point O, the slope at any point X along the beam...

key terms and concepts

Learn how distributed loads create shear force, bending moment, and beam deflection. See how boundary conditions change for cantilever, supported, and overhanging beams.

Beam Deflection Under Distributed Load | JoVE K12

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Beam Deflection Under Distributed Load

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