Name: critical buckling load in pin-ended columns
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Stellen Sie sich eine Säule PQ vor, die an beiden Enden mit einem Bolzen verbunden ist und an Ende P eine zentrische Axiallast aufbringt. Knicken tritt auf, wenn diese Last die kritische Last überschreitet.
Um die kritische Last zu berechnen, stellen Sie sich die Stütze als vertikalen Balken vor. Betrachten wir nun einen Punkt O auf einer elastischen Kurve des Balkens in einem Abstand x vom freien Ende P und mit der Ablenkung y von der Vertikalen.
Das Biegemoment im Punkt O kann als zweite Ableitung seiner Ablenkung in Bezug auf den Abstand x geschrieben werden. Durch Umanordnen der Terme erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die eine Lösung in Form von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrückt.
Die erste Randbedingung erfordert, dass der Koeffizient B Null ist. Die zweite Bedingung erfordert, dass entweder Koeffizient A oder der Sinusterm Null ist.
Wenn man den Sinusterm auf Null setzt, erhält man den axialen Lastausdruck, wobei der niedrigste Wert die kritische Last ist; dies ist die Eulersche Formel.
Durch Einsetzen der Eulerschen Formel in die Differentialgleichung erhält man eine Gleichung für die elastische Kurve nach dem Knicken.

eulers formel für spalten mit pin-enden

Euler&#39;s Formula for Pin-Ended Columns

Im Hochbau ist die Stabilität von Stützen unter axialen Druckbelastungen ein entscheidender Faktor, der als Knickung bezeichnet wird. Ein typisches Beispiel ist eine Stütze PQ, die an beiden Enden bolzengebunden ist und an einem Ende einer zentrischen Axiallast F ausgesetzt ist, während am anderen Ende eine Reaktionskraft von F’ = -F wirkt. Hier ist es wichtig zu verstehen, dass es zu Knicken kommt, wenn eine aufgebrachte Last die kritische Last überschreitet, da das System instabil wird.

Um die kritische Belastung zu berechnen, stellen Sie sich die Stütze PQ als vertikalen Träger vor. Betrachten Sie Punkt O, der sich auf der elastischen Kurve des Balkens in einem Abstand x vom freien Ende P befindet. Durch das Aufbringen der Last wird Punkt O um einen Abstand y von seiner ursprünglichen vertikalen Position abgelenkt. An diesem Punkt kann das Biegemoment am Punkt O durch die zweite Ableitung seiner Auslenkung, y, in Bezug auf x beschrieben werden, was einen Dreh- und Angelpunkt für das Verständnis des Verhaltens des Balkens unter Belastung symbolisiert.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_1v2.svg" style="text-align: center; height: 40px;">

Wobei f definiert ist als:

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

Diese Gleichung hat eine allgemeine Lösung mit Sinus- und Kosinustermen. Die Randwerte des Systems geben die Koeffizienten der Lösung an.

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 24px;">

Die Lösung erfordert, dass der Sinusterm Null ist, was den Ausdruck für die kritische Last ergibt. Dieser Ausdruck ist als Eulers Formel bekannt.

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15676/15676_Equation_4v2.svg" style="text-align: center; height: 36px;">

Wenn man die Eulersche Formel wieder in die Differentialgleichung einsetzt, erhält man den Ausdruck für die elastische Kurve der Stütze nach der Knickung.

Hier ist es wichtig zu beachten, dass die Euler-Formel auf der Annahme basiert, dass die Säule vor der Belastung vollkommen gerade, homogen und isotrop ist und dass die Axiallast perfekt entlang der vertikalen Achse aufgebracht wird.

Eulers Formel für Spalten mit Pin-Enden

Stellen Sie sich eine Säule PQ vor, die an beiden Enden mit einem Bolzen verbunden ist und an Ende P eine zentrische Axiallast aufbringt. Knicken tritt auf, wenn diese Last die kritische Last überschreitet.
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KEY TERMS AND CONCEPTS

KERNBEGRIFFE UND KONZEPTE

critical buckling load in pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins.

To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance x from the free end P. When the load is applied, point O deflects by a distance y from its original vertical position. The bending moment at point O is then related to the second derivative of y with respect to x, which helps describe how the beam changes shape under stress.

The resulting equation has a general solution with sine and cosine terms. The boundary values of the system determine the coefficients in that solution. The sine term must be zero, and that condition gives the expression for the critical load. This expression is known as Euler's formula.

After Euler's formula is substituted back into the differential equation, the elastic curve of the column after buckling can be found. The formula is based on several assumptions. Before loading, the column must be perfectly straight, homogeneous, and isotropic. The axial load must also be applied perfectly along the vertical axis.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

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stability of structures

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euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

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key terms and concepts

Learn how pin-ended columns buckle under compressive axial load and how Euler's formula gives the critical load and elastic curve after buckling.

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns | JoVE K12

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Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

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