Name: parseval's theorem in signal power
Uploaded: 2024-09-26T13:17:01.000Z
Duration: 1 min 18 s
Channel: JoVE

Der Satz von Parsaval besagt, dass, wenn eine Funktion periodisch ist, die durchschnittliche Leistung des Signals über eine Periode gleich der Summe der quadrierten Größen aller komplexen Fourier-Koeffizienten ist.
Um den Satz von Parsaval zu validieren, nehmen wir an, dass die Funktion eine komplexe Fourier-Reihe einer Standardform hat. Wenn man dies einsetzt und weiter löst, erhält man den Beweis des Satzes.
Interessanterweise kann der Satz von Parsaval auch in Form der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Fourier-Reihe ausgedrückt werden.
In der Audioverarbeitung wird der Satz von Parsaval verwendet, um die Energie einer ursprünglichen Schallwelle mit ihrer komprimierten Version zu vergleichen.
Die ingenieurwissenschaftliche Interpretation dieses Theorems bietet praktische Einblicke. Wenn die Funktion ein elektrisches Signal darstellt, z. B. Strom oder Spannung, dann stellt das Quadrat der Funktion die momentane Leistung in einem 1-Ohm-Widerstand dar.
Dieser Satz setzt auch die Energie, die während einer Periode im Widerstand abgegeben wird, in Beziehung zur Fourier-Reihe und liefert zwei verschiedene Ausdrücke - einen in Bezug auf die trigonometrische Fourier-Reihe und einen anderen in Bezug auf die Amplitudenphasen-Fourier-Reihe.

parsevals theorem

Parsevals Theorem ist ein grundlegendes Konzept in der Signalverarbeitung und Oberwellenanalyse. Es besagt, dass bei einer periodischen Funktion die durchschnittliche Leistung des Signals über eine Periode gleich der Summe der quadrierten Beträge aller seiner komplexen Fourierkoeffizienten ist. Dieses Theorem, benannt nach Marc-Antoine Parseval, bietet ein leistungsstarkes Werkzeug zur Analyse der Energieverteilung in Signalen.

Interessanterweise gilt Parsevals Theorem auch für die trigonometrische Form der Fourierreihe, die eine Funktion in Form von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrückt. Hier können die Fourierkoeffizienten mit den Koeffizienten der trigonometrischen Reihe in Beziehung gesetzt werden, wodurch das Theorem in dieser alternativen Form angewendet werden kann.

Um Parsevals Theorem zu überprüfen, betrachten wir zunächst eine Funktion x(t) mit einer komplexen Fourierreihendarstellung:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 30px;">

Wobei c_n die komplexen Fourierkoeffizienten und ω_0 die Grundwinkelfrequenz sind. Das Theorem lautet:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 36px;">

Wobei T die Periode der Funktion ist. Das Einsetzen der Fourierreihe in die linke Seite und Lösen bestätigt die Gleichheit und beweist damit das Theorem.

Parsevals Theorem ist in praktischen Anwendungen von entscheidender Bedeutung, insbesondere in der Audioverarbeitung. Es ermöglicht den Vergleich der in einer ursprünglichen Schallwelle enthaltenen Energie mit der in ihrer komprimierten Version. Dieser Vergleich ist wichtig, um sicherzustellen, dass der Komprimierungsprozess die Qualität des Audiosignals nicht durch zu großen Energieverlust erheblich verschlechtert.

Aus technischer Sicht bietet Parsevals Theorem wertvolle Erkenntnisse. Wenn die betreffende Funktion beispielsweise ein elektrisches Signal wie Strom oder Spannung darstellt, dann stellt das Quadrat dieser Funktion die momentane Verlustleistung in einem 1-Ohm-Widerstand dar. Folglich verknüpft der Satz die im Widerstand über eine Periode verbrauchte Energie mit der Fourierdarstellung des Signals. Diese Beziehung wird in zwei verschiedenen Formen ausgedrückt: eine verwendet die trigonometrische Fourierreihe und die andere die Amplituden-Phasen-Form der Fourierreihe. Somit dient Parsevals Satz nicht nur als leistungsstarkes Analysewerkzeug, sondern verbindet auch theoretische Konzepte mit praktischen technischen Anwendungen.

Parsevals Theorem

Der Satz von Parsaval besagt, dass, wenn eine Funktion periodisch ist, die durchschnittliche Leistung des Signals über eine Periode gleich der Summe des Quadrats ...

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Parseval's Theorem

parseval's theorem in signal power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal.

The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric series coefficients, so the same idea can be applied in this alternate form.

To verify Parseval's theorem, start with a function x(t) written as a complex Fourier series. In this form, Cn are the complex Fourier coefficients, and ω0 is the fundamental angular frequency. The theorem states the equality between average power over a period T and the sum of the squared coefficient magnitudes. Substituting the Fourier series into the left-hand side and simplifying confirms the result.

Parseval's theorem is important in audio processing. It can compare the energy in an original sound wave with the energy in a compressed version. This helps show whether compression has kept most of the signal energy and avoided major loss in sound quality.

The theorem is also useful in engineering with current or voltage signals. In that case, the square of the function represents the instantaneous power dissipated in a 1-ohm resistor. Parseval's theorem then connects the energy dissipated over one period to the Fourier series form of the signal. It can be written using either the trigonometric Fourier series or the amplitude-phase form, which makes it a practical bridge between signal theory and real engineering problems.

Parseval's Theorem in Signal Power

trigonometric fourier series

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study. In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes...

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Fourier Series in Audio Signal Processing

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Fourier Series Properties in Signal Processing

Fourier series properties help describe periodic signals in signal processing and communications. A Fourier series breaks a signal into sine and cosine parts. These properties make it easier to study how signals behave and how they can be handled in real systems. Linearity is one of the most important properties. If two periodic signals are added together or combined in a linear way, the new signal has Fourier coefficients that are the same linear combination of the original coefficients. This...

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parseval's theorem

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal. The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric...

convergence of fourier series

Fourier Series Truncation and Gibbs Ripples

Fourier series can represent a periodic signal as an infinite sum of complex exponentials. For practical use, that infinite series is cut off after a finite number of terms. The result is a partial sum that gives a workable approximation of the original signal. Truncating the series creates a challenge near discontinuities. The approximation develops the Gibbs phenomenon, which is the set of persistent oscillations and overshoots around a jump in the signal. These high-frequency ripples do not...

discrete-time fourier series

DTFS for Periodic Signal Analysis

Discrete-Time Fourier Series (DTFS) helps analyze periodic signals in discrete time by breaking them into frequency components. It is the discrete-time counterpart of the continuous-time Fourier series. Instead of using integrals, DTFS uses summations because the signal is discrete. For a discrete-time periodic signal x[n] with period N0, the DTFS coefficients X[k] are found from the DTFS formula. The index k runs from 0 to N0 − 1. These coefficients describe the signal in the frequency domain...

key terms and concepts

Learn how Parseval's theorem connects a periodic signal’s average power to Fourier coefficients, with uses in audio compression and electrical signals.

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Parseval's Theorem in Signal Power

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