Name: wave speed on lossless transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:41.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

Die Stromleitungen, die entlang von Straßen zu sehen sind, können als einphasige, zweiadrige, verlustfreie Übertragungsleitung modelliert werden.
Betrachten Sie einen Leitungsabschnitt, der durch Serieninduktivität und Shunt-Kapazität gekennzeichnet ist, mit einer Richtwirkung von der Sende- zur der Empfangsseite.
Unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze werden die Gleichungen für Spannung und Strom geschrieben und durch Delta x dividiert. Wenn Delta x sich Null nähert, werden Gleichungen mit partiellen Ableitungen abgeleitet, da sowohl Position als auch Zeit Variablen sind.
Laplace-Transformationen werden unter der Annahme von Nullanfangsbedingungen angewendet und die Ableitungen auf nur eine Variable vereinfacht.
Die Differenzierung dieser ergibt lineare, homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit entsprechenden Lösungen. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der Induktivitäts- und Kapazitätswerte.
Die inverse Laplace-Transformation und das Anwenden einer Zeitverschiebung führt zu Funktionen, die Spannungs- und Stromwellen darstellen. Diese Ausdrücke stellen die vorwärts und rückwärts wandernden Wellen dar.
Um die Konstanten auszuwerten, werden die Lösungen in der Gleichung zweiter Ordnung eingesetzt.
Die Koeffizienten der Exponentialfunktionen auf beiden Seiten werden gleichgesetzt, so dass sich die Vorwärts- und Rückwärtsströme in Bezug auf die Vorwärts- bzw. Rückwärtsspannungen und die charakteristische Impedanz ergeben.

Übertragungsleitungen: transienter betrieb

Traveling Waves: Lossless Lines

Der bereitgestellte Inhalt untersucht das Verhalten von Wanderwellen auf einphasigen verlustfreien Übertragungsleitungen. Er beginnt mit einer einphasigen verlustfreien Zweidraht-Übertragungsleitung der Länge Δ_x, die durch eine Schleifeninduktivität LH/m und eine Leitungs-zu-Leitung-Kapazität C F/m gekennzeichnet ist. Diese Parameter führen zu einer Serieninduktivität LΔ_x und einer Shunt-Kapazität CΔ_x.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_figure_001.svg" style="height: 125px;">

Die Spannung v(x,t) und der Strom i(x,t) an jeder Position x und zu jedem Zeitpunkt t auf der Leitung werden mit dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz (KVL) und dem Kirchhoffschen Stromgesetz (KCL) ausgedrückt.

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_1v2.svg" style="height: 70px;">

Wenn sich Δ_x dem Wert Null nähert, entstehen partielle Differentialgleichungen, die die Beziehungen zwischen Spannung, Strom und ihren Änderungsraten in Bezug auf Zeit und Position erfassen. Laplace-Transformationen werden angewendet, um diese partiellen Differentialgleichungen in gewöhnliche Differentialgleichungen umzuwandeln, wobei Null-Anfangsbedingungen angenommen werden.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_2v2.svg" style="height: 70px;">

Die Lösungen dieser Gleichungen zeigen, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wanderwellen von der Induktivität und Kapazität pro Längeneinheit der Übertragungsleitung abhängt.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_3v4.svg" style="height: 30px;">

Diese Lösungen beschreiben Vorwärts- und Rückwärtswellen; Vorwärtswellen bewegen sich in positiver x-Richtung und Rückwärtswellen bewegen sich in negativer x-Richtung. Die Lösung beinhaltet eine Zeitverschiebung und führt zu Funktionen, die Spannung und Strom als Summen von vorwärts- und rückwärts laufenden Wellen beschreiben. Diese Wellen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen entlang der Übertragungsleitung, beeinflusst durch die Induktivität und Kapazität der Leitung. Diese Ausdrücke führen zur charakteristischen Impedanz der Leitung, einer Funktion der Induktivität und Kapazität pro Längeneinheit.

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_4v4.svg" style="height: 30px;">

Dieser Parameter ist entscheidend, um zu verstehen, wie sich die Wellen entlang der Leitung ausbreiten und mit den Anschlüssen an jedem Ende interagieren.

Übertragungsleitungen: Transienter Betrieb

Die Stromleitungen, die entlang von Straßen zu sehen sind, können als einphasige, zweiadrige, verlustfreie Übertragungsleitung modelliert werden.
Betrachten Sie einen Linienabschnitt, der durch Reihen ...

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Lehre

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Electrical Engineering

Elektrotechnik

Unit 1

Einheit 1

Transmission Lines: Transient Operation

KEY TERMS AND CONCEPTS

KERNBEGRIFFE UND KONZEPTE

wave speed on lossless transmission lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx.

Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation. Kirchhoff’s Current Law, or KCL, is used for the current relation. As Δx becomes very small, these relations turn into partial differential equations that link voltage and current to their changes in time and position.

Laplace transforms are then applied to these equations. This step assumes zero initial conditions and converts the partial differential equations into ordinary differential equations. The solutions show that wave speed depends on the inductance and capacitance per unit length of the transmission line. The voltage and current can be written as sums of forward and backward traveling waves.

The forward wave moves in the positive x-direction. The backward wave moves in the negative x-direction. A time shift appears in the solution, which helps describe how the waves travel along the line. These expressions also lead to the characteristic impedance, which depends on the line inductance and capacitance per unit length and helps describe how the waves interact with terminations at each end.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

wave-speed-on-lossless-transmission-lines

traveling waves: lossless lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx. Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation.

boundary conditions: lossless lines

Transmission Line Reflections at Both Ends

Single-phase, two-wire, lossless transmission lines show how voltage and current waves reflect at both ends of a circuit. In this model, the line has a length, a surge impedance, and a wave velocity. These are set by the line’s inductance and capacitance per unit length. A home electrical wiring system can be treated this way in a simple circuit model. At the receiving end, the boundary condition says that the voltage equals the receiving-end impedance times the current. This relationship is...

bewley lattice diagram

Tracing Transient Waves with a Bewley Diagram

The Bewley lattice diagram organizes voltage-wave reflections in transmission-line transients. It helps students follow how a signal moves along a line and bounces back from each end. The diagram was developed by L. V. Bewley. The vertical axis shows transient time, and the horizontal axis shows the line position x. Diagonal lines show traveling waves. These lines make the wave motion easier to read because each segment marks a wave moving through the line. Each reflection is found by...

lossy lines and overvoltages

Signal Attenuation and Power Losses

Transmission lines with series resistance and shunt conductance can weaken signals, change wave shape, and waste power. These effects are called attenuation, distortion, and power losses. They matter in long power lines and other practical transmission systems. When constant resistance and conductance are present, the voltage and current equations change. The propagation constant shows that the wave includes both forward-traveling and backward-traveling parts. As the wave moves along the line,...

insulation coordination

BIL and Surge Protection for Power Equipment

Insulation coordination matches electric equipment insulation strength with protective device settings to guard against expected overvoltages. Engineers choose these levels using judgment and cost. The goal is to keep equipment safe while avoiding unnecessary expense. Equipment can usually survive short, high transient overvoltages. Repeated tests with the same waveform can still give inconsistent results. For that reason, standard impulse voltage waveforms are used in testing. These waveforms...

key terms and concepts

Learn how inductance and capacitance set wave speed on a lossless transmission line, and how forward and backward waves lead to characteristic impedance.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines | JoVE K12

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Wave Speed on Lossless Transmission Lines

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