Name: differential equations and falling motion
Uploaded: 2026-01-12T12:30:58.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Eine Sicherheitsprüfung auf einem Schiff verwendet ein schweres Testgewicht. Das Gewicht wird gehoben und dann losgelassen, um zu untersuchen, wie Luftwiderstand die Bewegung beeinflusst. Sobald es losgelassen wird, beginnt das Gewicht in Ruhe und fällt durch die Luft.Die Schwerkraft zieht ihn nach unten, während die Luft gegen seine Bewegung nach oben drückt. Nach Newtons zweitem Gesetz hängt die Geschwindigkeitsänderung von der Nettokraft ab.Die Kombination dieser Kräfte ergibt eine Differentialgleichung, die Beschleunigung mit Geschwindigkeit verknüpft. Die Division der Gleichung durch die Masse ergibt eine einfachere Form.Die Definition des Verhältnisses der Widerstandskonstante zur Masse als Konstante b erleichtert die Trennung der Differentialgleichung.Die Integration der Gleichung und das Umschreiben der Gleichung, um die Gleichung für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu finden, ergibt eine Exponentialgleichung. Die Verwendung der Anfangsgeschwindigkeit von null hilft, die verbleibende Konstante in der Lösung zu bestimmen.Mit zunehmender Zeit nähert sich die Geschwindigkeit einem konstanten Wert, der als Endgeschwindigkeit bekannt ist. Mit einem Gewicht von 10 Kilogramm und einer Luftwiderstandskonstante von 2 Newton-Sekunden pro Meter prognostiziert das Modell eine Endgeschwindigkeit von 49 Metern pro Sekunde.

differentialgleichungen: problemlösung

Bei der Analyse der Bewegung fallender K&#xF6;rper ist es unerl&#xE4;sslich, neben der Schwerkraft auch den entgegenwirkenden Luftwiderstand zu ber&#xFC;cksichtigen. Ein praxisnahes Beispiel stellt das Fallenlassen eines schweren Pr&#xFC;fgewichts w&#xE4;hrend einer Sicherheits&#xFC;berpr&#xFC;fung auf einem Schiff dar. W&#xE4;hrend das Gewicht aus dem Ruhezustand f&#xE4;llt, beschleunigt die Schwerkraft es nach unten, w&#xE4;hrend der Luftwiderstand eine nach oben gerichtete Kraft aus&#xFC;bt, die mit zunehmender Geschwindigkeit zunimmt. Dieses dynamische Zusammenspiel der Kr&#xE4;fte l&#xE4;sst sich pr&#xE4;zise durch Differentialgleichungen beschreiben, die einen mathematischen Rahmen zur Modellierung der zeitlichen &#xC4;nderung der Geschwindigkeit des Objekts bieten.
Kr&#xE4;fte und Differentialmodellierung
Gem&#xE4;&#xDF; dem zweiten Newtonschen Gesetz bestimmt die auf das fallende Gewicht wirkende Nettokraft dessen Beschleunigung. Die Schwerkraft wirkt als konstante Kraft, die dem Produkt aus der Masse des Objekts und der Erdbeschleunigung entspricht, w&#xE4;hrend der Luftwiderstand typischerweise als proportional zur Geschwindigkeit des Objekts modelliert wird. Die Kombination dieser Kr&#xE4;fte ergibt eine Differentialgleichung erster Ordnung, die die &#xC4;nderungsrate der Geschwindigkeit in Abh&#xE4;ngigkeit von der Geschwindigkeit selbst beschreibt.
Exponentielles Verhalten und Grenzgeschwindigkeit
Die L&#xF6;sung der resultierenden Differentialgleichung liefert eine Geschwindigkeitsfunktion, die mit der Zeit zunimmt, sich jedoch asymptotisch einem endlichen Grenzwert ann&#xE4;hert. Dieses Verhalten reflektiert das allm&#xE4;hliche Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und Luftwiderstand und m&#xFC;ndet in einem Zustand, der als Grenzgeschwindigkeit bezeichnet wird &#x2013; dem Punkt, an dem die Beschleunigung verschwindet und der K&#xF6;rper mit konstanter Geschwindigkeit f&#xE4;llt. Bei einer Masse von 10 kg und einer Luftwiderstandskonstanten von 2 N&#xB7;s/m betr&#xE4;gt die berechnete Grenzgeschwindigkeit 49 m/s. Dieses Ergebnis verdeutlicht, wie Differentialgleichungen reale Bewegungen effektiv modellieren und die Rolle des Luftwiderstands bei der Begrenzung der Beschleunigung im freien Fall aufzeigen.

Differentialgleichungen: Problemlösung

Bei der Analyse der Bewegung fallender K&#xF6;rper ist es unerl&#xE4;sslich, neben der Schwerkraft auch den entgegenwirkenden Luftwiderstand zu ...

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Lehre

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Calculus

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Einheit

Differential Equations

Differentialgleichungen

KEY TERMS AND CONCEPTS

SCHLÜSSELBEGRIFFE UND KONZEPTE

Differential Equations: Problem Solving

differential equations and falling motion

Differential equations can model the motion of a falling object when gravity and air resistance act at the same time. In this example, a heavy test weight is released from rest during a ship safety check. Gravity pulls the weight downward, and air resistance pushes upward as the speed increases.

Newton’s Second Law links the net force on the weight to its acceleration. Gravity provides a constant downward force equal to mass times gravitational acceleration. Air resistance is modeled as a force proportional to the object’s velocity, so the upward drag grows as the weight moves faster.

When these forces are combined, the result is a first-order differential equation. It relates how fast the velocity changes to the velocity itself. Solving the equation gives a velocity function that rises over time but levels off toward a finite limit.

That limit is terminal velocity, which is the speed reached when acceleration stops and the object falls at a constant rate. For a 10 kg mass with a drag constant of 2 N·s/m, the terminal velocity is 49 m/s. This example shows how differential equations describe real motion and explain how air resistance limits free fall.

Differential Equations and Falling Motion

differential-equations-and-falling-motion

introduction to differential equations

Modeling Motion with Second-Order Equations

Differential equations connect a function with its derivatives. They are used to describe changing systems in science and engineering. A differential equation is classified by order, which is the highest derivative it contains. A first-order equation includes only the first derivative, while a second-order equation includes the second derivative of the unknown function. A common second-order differential equation comes from a spring-mass system. In this idealized model, a mass is attached to a...

modeling with differential equations

Population Growth: Exponential vs. Logistic

Population growth can be modeled with differential equations by treating population size, P(t), as a function of time. The derivative of P(t) shows how fast the population changes. A simple starting idea is that the growth rate is proportional to the population size. That assumption gives an exponential growth model. In this model, the population rises continuously and faster over time. It can be a useful first approximation, but it does not match long-term behavior in nature. Real...

separable differential equations

Solving Separable Differential Equations

A separable differential equation is a first-order differential equation that can be written with dy/dx as a product of one function of x and one function of y. This form makes it possible to separate the variables so that all y terms stay on one side and all x terms stay on the other. After the variables are separated, each side can be integrated with respect to its own variable. The result is a relationship between x and y. Depending on the functions involved, that relationship may be...

orthogonal trajectories

Perpendicular Curves in Calculus

Orthogonal trajectories are a pair of curve families that cross at right angles. In this example, the starting family is made of parabolas that open sideways along the x-axis. They share the same shape, but a scaling parameter changes how wide each curve is. Every curve in the family passes through the origin and spreads out at a different rate. To find the orthogonal trajectories, the slope of each parabola must be calculated first. The slope of a tangent shows how steep the curve is at a...

linear differential equations

Integrating Factors for Motion with Drag

The integrating factor method solves first-order linear differential equations that are not separable. It is especially useful when a system has a constant driving force and a resistive force that depends on the changing variable. In these problems, the equation can be rearranged so the left-hand side becomes a product rule after multiplication by an integrating factor. A clear example is a car moving under a constant engine force while air resistance acts against its motion. Newton’s second...

differential equations: problem solving

Differential equations can model the motion of a falling object when gravity and air resistance act at the same time. In this example, a heavy test weight is released from rest during a ship safety check. Gravity pulls the weight downward, and air resistance pushes upward as the speed increases. Newton’s Second Law links the net force on the weight to its acceleration. Gravity provides a constant downward force equal to mass times gravitational acceleration. Air resistance is modeled as a...

key terms and concepts

See how differential equations model a falling weight, including gravity, air resistance, and terminal velocity in a ship safety check example.

Differential Equations and Falling Motion | JoVE K12

The JoVE Core Calculus collection provides a comprehensive visual guide to the entire calculus sequence, seamlessly connecting mathematical theory to real-world applications in physics and economics. Through dynamic animated lessons, the course transitions smoothly from foundational single-variable concepts to advanced multivariable topics. Students will explore everything from standard differentiation and integration to spatial vectors, multi-dimensional derivatives, and complex vector fields. By breaking down abstract coordinate systems, infinite series, and spatial motion, this structured approach builds the robust analytical skills and advanced mastery essential for STEM success.

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Differential Equations and Falling Motion

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