Name: root locus paths and asymptotes
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

La construcción del locus radicular implica determinar el número de ramas que es igual al número de polos de circuito cerrado. El lugar geométrico de la raíz es simétrico con respecto al eje real.
El lugar geométrico de la raíz existe en la parte del eje real donde la suma del número total de polos finitos de bucle abierto y los ceros a la izquierda es impar.
Originado en los polos de bucle abierto, el lugar geométrico traza los polos del sistema de bucle cerrado con ganancia creciente y termina en los ceros de bucle abierto, donde los polos del sistema se estabilizan con la ganancia creciente.
Una función que se aproxima a infinito cuando s se aproxima a infinito tiene un polo en el infinito. Si se acerca a cero, tiene un cero en el infinito.
A medida que el lugar geométrico de la raíz se mueve hacia el infinito, se aproxima a ciertas líneas rectas conocidas como asíntotas. Para un sistema dado, se calculan la intersección y el ángulo del eje real. A medida que aumenta la ganancia, los ángulos comienzan a repetirse.
Su ecuación, basada en la intersección y el ángulo del eje real, revela la trayectoria de los loci desde los polos hasta el infinito.
El lugar geométrico se origina en los polos de bucle abierto y termina en los ceros de bucle abierto.

construcción del lugar de las raíces

La construcción de un lugar de raíces implica varios pasos clave para analizar y visualizar el comportamiento de los polos de un sistema con ganancia variable. La cantidad de ramas en el lugar de raíces es igual a la cantidad de polos en bucle cerrado y es simétrica respecto del eje real.
Para valores de ganancia positivos, el lugar geométrico de las raíces se encuentra en el eje real a la izquierda de un número impar de polos o ceros finitos de bucle abierto. El lugar geométrico de las raíces comienza en los polos de bucle abierto y traza las trayectorias de los polos de bucle cerrado a medida que aumenta la ganancia. Termina en los ceros de bucle abierto, donde los polos del sistema se estabilizan a medida que la ganancia continúa aumentando.
Si una función tiende al infinito cuando s tiende al infinito, tiene un polo en el infinito. Por el contrario, si una función tiende al cero, tiene un cero en el infinito. A medida que el lugar de las raíces se extiende hacia el infinito, sigue asíntotas específicas. Las ecuaciones de estas asíntotas están determinadas por la intersección con el eje real y sus ángulos, que indican los caminos que siguen los lugares geométricos desde los polos hasta el infinito.
Para calcular estas trayectorias para un sistema dado, se determina la intersección con el eje real y los ángulos de las asíntotas. Los ángulos se derivan en función del número de polos y ceros y comienzan a repetirse a medida que aumenta la ganancia. La fórmula para el ángulo de las asíntotas viene dada por:
<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16122/16122_PT_Equation_001.svg" style="height: 30px;">
donde k es un número entero, n es el número de polos y m es el número de ceros.
El gráfico completo del lugar de las raíces comienza en los polos de bucle abierto y termina en los ceros de bucle abierto. Este gráfico se adhiere a las reglas que rigen el método del lugar de las raíces, lo que garantiza que la estabilidad y la respuesta del sistema se puedan analizar y predecir en profundidad.
Si se siguen estos pasos, los ingenieros pueden utilizar eficazmente el método del lugar de las raíces para diseñar y ajustar los sistemas de control, garantizando el rendimiento y la estabilidad deseados en diversas condiciones de funcionamiento. Este enfoque proporciona una visualización clara de cómo migran los polos del sistema con una ganancia creciente, lo que ayuda al diseño robusto de estrategias de control.

Construcción del lugar de las raíces

La construcción del locus radicular implica determinar el número de ramas que es igual al número de polos de circuito cerrado. El locus de la raíz es simétrico alrededor de ...

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Ingeniería Eléctrica

Unit 1

Unidad 1

Root-Locus Method

Método del lugar de las raíces

KEY TERMS AND CONCEPTS

TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

Construction of Root Locus

root locus paths and asymptotes

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between.

The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or zeros. The paths begin at the open-loop poles and move as gain increases.

As gain continues to rise, the root locus ends at the open-loop zeros. At those points, the system poles settle. If a function goes to infinity as s approaches infinity, it has a pole at infinity. If a function goes to zero, it has a zero at infinity.

When the root locus extends toward infinity, it follows asymptotes. An asymptote is a line that shows the direction of a branch far from the poles and zeros. The asymptotes are found from the real-axis intercept and their angles. The angle formula depends on the number of poles, n, the number of zeros, m, and an integer k. These angles repeat as gain increases.

A complete root locus plot starts at the open-loop poles and ends at the open-loop zeros. It follows the rules of the root locus method so stability and response can be studied and predicted. Engineers use this plot to design and tune control systems for the desired performance across different operating conditions. The result is a clear picture of how system poles migrate with increasing gain.

Root Locus Paths and Asymptotes

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction. The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point. For a function written as a...

root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

Root locus helps show how cruise control stays stable as conditions change. In a car, cruise control keeps a set speed by adjusting the gas pedal automatically. It keeps checking the car’s speed and makes small pedal changes to hold that target speed. This system can be drawn as a block diagram, and its transfer function gives the math model. The model is useful when the car goes uphill, downhill, or faces strong wind resistance. To find the system poles for different pedal forces, the...

properties of the root locus

Root Locus Angle and Gain Rules

Root locus angle and gain rules help analyze higher-order control systems. The method works without factoring the denominator of the transfer function. It is especially useful for unity feedback systems, where the transfer function can be studied by tracking how poles and zeros shape the response. A pole is a point where the characteristic polynomial in the denominator of the transfer function equals zero. To check whether a point lies on the root locus, use the angle criterion. Add the angles...

construction of root locus

Root locus paths and asymptotes show how closed-loop poles move as gain changes. This method helps students track system stability by following the pole locations on a graph. It also shows where the poles start, where they may end, and how they travel in between. The number of root locus branches equals the number of closed-loop poles. The plot is symmetric about the real axis. For positive gain, the root locus lies on the real axis to the left of an odd number of finite open-loop poles or...

plotting and calibrating the root locus

Root Locus Breakaway and Stability Points

Root locus analysis tracks how system poles move as gain changes. It shows when poles leave the real axis, move into the complex plane, and affect stability. For high school students studying control systems, the key ideas are breakaway points, break-in points, and jω-axis crossings. Breakaway points are locations where the root locus leaves the real axis. Break-in points are locations where it returns to the real axis. At either type of point, the branches meet the real axis at an angle of...

root loci for positive-feedback systems

Root Locus Rules for Oscillator Feedback

Root locus rules help describe how oscillator feedback systems behave as gain changes. The Hartley oscillator is one example of a positive feedback system. It keeps oscillating by feeding the output back to the input in phase, which reinforces the signal. Positive feedback systems can also be treated as negative feedback systems with the feedback signal inverted. In root locus analysis, the locus is the set of points on the s-plane where the transfer function angle equals 360 degrees. The...

key terms and concepts

Learn how root locus branches move from open-loop poles to zeros, use asymptotes, and show how gain affects stability in control systems.

Root Locus Paths and Asymptotes | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Root Locus Paths and Asymptotes

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