Name: spring-loaded column buckling analysis
Uploaded: 2024-05-23T13:00:07.000Z
Duration: 1 min 23 s
Channel: JoVE

Considérons deux barres rigides de même longueur, AB et BC, reliées l’une à l’autre et un ressort de constante k relié au point B. Quelle sera l’amplitude de la charge critique pour ce système si la charge F est appliquée verticalement vers le bas au point A ?
La barre est déviée d’un petit angle en raison de la charge appliquée, ce qui entraîne un allongement X du ressort.
Le diagramme de corps libre pour les deux barres est dessiné et l’équation d’équilibre des forces est appliquée pour la direction horizontale. 
En considérant la barre AB séparément, l’équation d’équilibre pour le moment des forces est appliquée au point B. La résolution de cette équation donne la réaction de support au point A.
De même, l’application de l’équilibre du moment des forces au point B donne à nouveau la réaction de support au point C.
En substituant les supports de réaction aux points A et B dans l’équation d’équilibre des forces, on obtient la force totale du ressort équilibrant les deux supports de réaction. Ici, l’allongement du ressort ne peut pas être nul, ce qui donne la valeur de charge critique correspondante pour le système donné.

la formule d'euler pour les colonnes : résolution de problèmes

La formule d'Euler est utilisée en ingénierie des structures pour déterminer la charge de flambage des colonnes dans diverses conditions. Cependant, lorsqu'il s'agit de systèmes intégrant à la fois des éléments rigides et des composants élastiques, tels que des ressorts, l'analyse nécessite une approche plus fine pour déterminer la charge critique. Le problème décrit implique deux barres rigides reliées à un point de pivotement avec un ressort attaché et une charge verticale appliquée à une extrémité.

Le système comprend deux barres rigides verticales, AB et BC, de longueur égale, reliées au point de pivotement B, semblable à une articulation du genou. Un ressort de tension de constante k est attaché à B, agissant horizontalement. Lorsqu'une charge verticale F est appliquée vers le bas au point A, les barres tournent autour du point de pivotement B. Le ressort agit contre cette force, ramenant le point B à son emplacement d'origine et entraînant un allongement X du ressort.

Tout d’abord, pour analyser ce système, un diagramme de corps-libre pour chaque barre est utilisé et les principes de l’équilibre statique sont appliqués pour analyser les forces agissant sur les barres. La charge axiale F fait pivoter le système au point B, ce qui entraîne à la fois une force horizontale et verticale dans les tiges.

Une équation d'équilibre pour les forces horizontales agissant sur le système est établie, qui inclut la force du ressort due à l'allongement X. La force du ressort s'oppose au mouvement latéral du point B. Le pivotement du système au point B induit également un moment de flexion dans les deux barres. Le moment d'équilibre en B pour la barre AB permet de déterminer la force de réaction au point A. Cela implique de calculer le moment généré par la charge appliquée F et de l'assimiler au moment dû à la force de réaction. De même, l'examen du moment des forces autour du point B pour la barre BC donne la force de réaction au point C. Cette étape inclut également la force du ressort et son bras de levier par rapport au point B. 

Nous pouvons calculer la force totale du ressort en substituant les réactions à points A et C dans l’équation d’équilibre des forces horizontales. Cette force contrebalance les moments générés par les forces de réaction aux points A et C.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 12px;">

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_2v2.svg" style="text-align: center; height: 18px;">

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 12px;">

La charge critique du système est déterminée en reconnaissant que l'allongement X du ressort est directement lié à la charge appliquée F. La stabilité du système est compromise lorsque l'allongement du ressort (et donc la force du ressort) atteint une valeur qui ne peut pas être équilibrée par l'intégrité structurelle de l’ensemble, entraînant un flambage. L'expression mathématique exacte de la charge critique peut être dérivée des équations d'équilibre, intégrant la constante de raideur k, la longueur des barres et la géométrie du système au début du flambage.

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/15678/15678_Equation_4v2.svg" style="text-align: center; height: 42px;">

La formule d'Euler pour les colonnes : Résolution de problèmes

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Euler&#39;s Formula to Columns: Problem Solving

spring-loaded column buckling analysis

Spring-loaded column buckling analysis uses static equilibrium to find the critical load in a rigid bar system. The setup has two equal-length rigid bars, AB and BC, joined at pivot point B. A tension spring with constant k is attached to B and pulls horizontally. A vertical load F is applied at point A, and the bars rotate around the pivot like a knee joint.

As point B moves, the spring stretches by an amount X. The spring then pushes back against the sideways motion of B. To study the forces, free-body diagrams are drawn for each bar. Static equilibrium is then applied to track the horizontal and vertical forces in the rods.

The axial load F creates force components in the bars and also produces a bending moment at the joint. The moment equilibrium around B for bar AB is used to find the reaction force at point A. The same method is applied to bar BC to determine the reaction force at point C. This step also includes the spring force and its moment arm relative to B.

After the reactions at A and C are found, they are used in the horizontal force balance to calculate the total spring force. That spring force counteracts the moments created by the reactions in the structure. The critical load is identified when the spring elongation, and therefore the spring force, can no longer be balanced by the assembly. At that point, buckling begins.

The final expression for the critical load depends on the spring constant k, the bar length, and the geometry of the system at the onset of buckling. This makes the problem a useful example of how a spring changes the stability of a column-like structure. It also shows how Euler’s formula can be adapted when rigid members and elastic parts work together.

Spring-Loaded Column Buckling Analysis

stability of structures

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euler&#39;s formula for pin-ended columns

Critical Buckling Load in Pin-Ended Columns

Critical buckling load in pin-ended columns is a key idea in structural engineering. It explains when a column under compressive axial load becomes unstable and starts to buckle. A pin-connected column with a centric load F at one end has a reaction force of F' = -F at the other end. When the applied load rises above the critical load, buckling begins. To find the critical load, the column PQ can be treated like a vertical beam. Point O is chosen on the elastic curve of the beam at a distance...

euler&#39;s formula to columns with other end conditions

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key terms and concepts

Use static equilibrium to analyze a spring-loaded rigid bar system, find reaction forces, and determine the critical load where buckling begins.

Spring-Loaded Column Buckling Analysis | JoVE K12

JoVE Core Mechanical Engineering offers concise, easy-to-understand animated videos covering key topics such as equilibrium, forces, truss analysis, and structural mechanics. Explore their real-world applications, and witness these concepts in action through scientist-led experiments.

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Spring-Loaded Column Buckling Analysis

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