Name: parseval's theorem in signal power
Uploaded: 2024-09-26T13:17:01.000Z
Duration: 1 min 18 s
Channel: JoVE

Le théorème de Parseval stipule que si une fonction est périodique, alors la puissance moyenne du signal sur une période est égale à la somme des grandeurs carrées de tous les coefficients de Fourier complexes.
Pour valider le théorème de Parseval, supposons que la fonction a une série de Fourier complexe de forme standard. En substituant cela et en résolvant davantage, on obtient la preuve du théorème.
Il est intéressant de noter que le théorème de Parseval peut également être exprimé en termes de coefficients de Fourier de la série de Fourier trigonométrique.
Dans le traitement audio, le théorème de Parseval est utilisé pour comparer l'énergie d'une onde sonore originale avec sa version compressée.
L’interprétation technique de ce théorème fournit des informations pratiques. Si la fonction représente un signal électrique, tel qu’un courant ou une tension, alors le carré de la fonction représente la puissance instantanée dans une résistance de 1 ohm.
Ce théorème relie également l’énergie dissipée dans la résistance pendant une période à la série de Fourier, fournissant deux expressions différentes - l’une en termes de série de Fourier trigonométrique et l’autre en termes de phase d’amplitude série de Fourier.

théorème de parseval

Le théorème de Parseval est un concept fondamental du traitement du signal et de l'analyse harmonique. Il affirme que pour une fonction périodique, la puissance moyenne du signal sur une période est égale à la somme des carrés des grandeurs de tous ses coefficients de Fourier complexes. Ce théorème, qui porte le nom de Marc-Antoine Parseval, constitue un outil puissant pour analyser la distribution d'énergie dans les signaux.

Il est intéressant de noter que le théorème de Parseval s'applique également à la forme trigonométrique de la série de Fourier, qui exprime une fonction en termes de sinus et cosinus. Dans ce cas, les coefficients de Fourier peuvent être reliés aux coefficients de la série trigonométrique, ce qui permet d'appliquer le théorème sous cette autre forme.

Pour valider le théorème de Parseval, nous commençons par considérer une fonction x(t) avec une représentation en série de Fourier complexe :

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 30px;">

Où c_n sont les coefficients de Fourier complexes et ω_0 est la fréquence angulaire fondamentale. Le théorème stipule :

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16063/16063_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 36px;">

Où T est la période de la fonction. La substitution de la série de Fourier dans le membre de gauche et la résolution confirment l'égalité, prouvant ainsi le théorème.

Le théorème de Parseval est crucial dans les applications pratiques, notamment dans le traitement audio. Il permet de comparer l'énergie contenue dans une onde sonore originale à celle contenue dans sa version compressée. Cette comparaison est essentielle pour garantir que le processus de compression ne dégrade pas de manière significative la qualité du signal audio en perdant trop d'énergie.

D'un point de vue technique, le théorème de Parseval offre des informations précieuses. Par exemple, si la fonction en question représente un signal électrique tel que le courant ou la tension, le carré de cette fonction représente la puissance instantanée dissipée dans une résistance de 1 ohm. Par conséquent, le théorème relie l'énergie dissipée dans la résistance pendant une période à la représentation en série de Fourier du signal. Cette relation est exprimée sous deux formes différentes : l'une utilisant la série de Fourier trigonométrique et l'autre utilisant la forme amplitude-phase de la série de Fourier. Ainsi, le théorème de Parseval sert non seulement d'outil d'analyse puissant, mais fait également le lien entre les concepts théoriques et les applications pratiques de l'ingénierie.

Théorème de Parseval

Le théorème de Parseval stipule que si une fonction est périodique, alors la puissance moyenne du signal sur une période est égale à la somme du carré ...

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Parseval's Theorem

parseval's theorem in signal power

Parseval's theorem links signal power to Fourier series coefficients. For a periodic function, it says the average power over one period equals the sum of the squared magnitudes of its complex Fourier coefficients. This makes the theorem useful for studying how energy is distributed in a signal.

The theorem also works for the trigonometric form of the Fourier series. In that form, a function is written using sine and cosine terms. The Fourier coefficients can be related to the trigonometric series coefficients, so the same idea can be applied in this alternate form.

To verify Parseval's theorem, start with a function x(t) written as a complex Fourier series. In this form, Cn are the complex Fourier coefficients, and ω0 is the fundamental angular frequency. The theorem states the equality between average power over a period T and the sum of the squared coefficient magnitudes. Substituting the Fourier series into the left-hand side and simplifying confirms the result.

Parseval's theorem is important in audio processing. It can compare the energy in an original sound wave with the energy in a compressed version. This helps show whether compression has kept most of the signal energy and avoided major loss in sound quality.

The theorem is also useful in engineering with current or voltage signals. In that case, the square of the function represents the instantaneous power dissipated in a 1-ohm resistor. Parseval's theorem then connects the energy dissipated over one period to the Fourier series form of the signal. It can be written using either the trigonometric Fourier series or the amplitude-phase form, which makes it a practical bridge between signal theory and real engineering problems.

Parseval's Theorem in Signal Power

trigonometric fourier series

Fourier Coefficients and Harmonic Terms

Fourier series describe periodic functions by writing them as sums of sine and cosine waves. The trigonometric Fourier series uses a function with period T and represents it with simple harmonic terms. This approach helps break a complex repeating signal into parts that are easier to study. In the standard form, the series includes a0, an, and bn. The term a0 gives the average value of the function over one period. The coefficients an and bn show how much each cosine and sine term contributes...

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Fourier Series in Audio Signal Processing

Fourier series are used in audio signal processing to break complex sounds into simpler sinusoidal parts. This helps explain how musical notes and other periodic signals can be analyzed and rebuilt from frequency components. The exponential Fourier series writes a periodic signal as a sum of complex exponentials at positive and negative harmonic frequencies. These harmonic terms capture the repeated pattern in the signal. Euler's identity connects the exponential form to cosine and sine, which...

properties of fourier series i

Fourier Series Properties in Signal Processing

Fourier series properties help describe periodic signals in signal processing and communications. A Fourier series breaks a signal into sine and cosine parts. These properties make it easier to study how signals behave and how they can be handled in real systems. Linearity is one of the most important properties. If two periodic signals are added together or combined in a linear way, the new signal has Fourier coefficients that are the same linear combination of the original coefficients. This...

properties of fourier series ii

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parseval's theorem

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convergence of fourier series

Fourier Series Truncation and Gibbs Ripples

Fourier series can represent a periodic signal as an infinite sum of complex exponentials. For practical use, that infinite series is cut off after a finite number of terms. The result is a partial sum that gives a workable approximation of the original signal. Truncating the series creates a challenge near discontinuities. The approximation develops the Gibbs phenomenon, which is the set of persistent oscillations and overshoots around a jump in the signal. These high-frequency ripples do not...

discrete-time fourier series

DTFS for Periodic Signal Analysis

Discrete-Time Fourier Series (DTFS) helps analyze periodic signals in discrete time by breaking them into frequency components. It is the discrete-time counterpart of the continuous-time Fourier series. Instead of using integrals, DTFS uses summations because the signal is discrete. For a discrete-time periodic signal x[n] with period N0, the DTFS coefficients X[k] are found from the DTFS formula. The index k runs from 0 to N0 − 1. These coefficients describe the signal in the frequency domain...

key terms and concepts

Learn how Parseval's theorem connects a periodic signal’s average power to Fourier coefficients, with uses in audio compression and electrical signals.

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Parseval's Theorem in Signal Power

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