Name: complex numbers as vectors in polar form
Uploaded: 2024-11-21T14:54:13.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

Les nombres complexes, décrits en coordonnées cartésiennes, peuvent être représentés comme des vecteurs. Ceux-ci peuvent être exprimés sous forme polaire, mettant en évidence leur amplitude et leur angle.
Lorsque des nombres complexes sont entrés dans une fonction, le résultat est un autre nombre complexe. Cela met en évidence une caractéristique clé : le point zéro de la fonction, à partir duquel la représentation vectorielle peut provenir.
Considérons une fonction définie comme le produit du numérateur des facteurs complexes divisé par le produit du dénominateur.
Comme chaque facteur complexe est essentiellement un vecteur, l'intensité de la fonction en tout point est calculée comme le produit des longueurs nulles divisé par le produit des longueurs des pôles.
L'angle de la fonction est calculé comme la somme des angles zéro soustraits de la somme des angles des pôles. Ces angles sont mesurés à partir de l’extension positive de l’axe réel des vecteurs tracés à partir du zéro ou du pôle de la fonction jusqu’au point donné.
Pour résoudre une fonction complexe en un point spécifique, on calcule les vecteurs provenant des zéros et des pôles de la fonction et se terminant au point choisi. La substitution d’équations vectorielles donne l’intensité et l’angle.

représentation vectorielle des nombres complexes

Vector Representation of Complex Numbers

Les nombres complexes, représentés en coordonnées cartésiennes, peuvent également être visualisés sous forme de vecteurs. Ces vecteurs peuvent être exprimés sous forme polaire, ce qui met en valeur leur norme et leur angle. Lorsqu'un nombre complexe est entré dans une fonction, la sortie est un autre nombre complexe, mettant en évidence le point zéro de la fonction à partir duquel la représentation vectorielle peut provenir.

Considérons une fonction définie comme le produit des facteurs complexes du numérateur divisé par le produit des facteurs complexes du dénominateur. Chaque facteur complexe, considéré comme un vecteur, permet de calculer la norme de la fonction en tout point comme le produit des normes des vecteurs aux zéros de la fonction divisé par le produit des normes des vecteurs aux pôles.

L'angle de la fonction en un point quelconque est déterminé par la somme des angles des vecteurs partant des zéros moins la somme des angles des vecteurs partant des pôles. Ces angles sont mesurés entre l'axe réel positif et les vecteurs tracés depuis les zéros ou les pôles de la fonction jusqu'au point d'intérêt.

Pour résoudre une fonction complexe en un point spécifique, des vecteurs sont tracés à partir de chaque zéro et pôle de la fonction jusqu'au point choisi. Les normes et les angles de ces vecteurs sont ensuite utilisés pour déterminer la valeur de la fonction à ce point. La norme de la fonction est le produit des normes des vecteurs à partir des zéros divisé par le produit des normes des vecteurs à partir des pôles. L'angle de la fonction est trouvé en soustrayant la somme des angles à partir des pôles de la somme des angles à partir des zéros.

En remplaçant ces équations vectorielles dans la fonction, on peut obtenir à la fois la norme et l'angle de la fonction au point spécifié. Cette approche permet une analyse complète des fonctions complexes, fournissant des informations sur leur comportement et leurs propriétés grâce à l'utilisation d'une représentation vectorielle sous forme polaire.

Représentation vectorielle des nombres complexes

Les nombres complexes, décrits en coordonnées cartésiennes, peuvent être représentés comme des vecteurs. Ceux-ci peuvent être exprimés sous forme polaire, mettant en évidence leur ampleur et ...

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complex numbers as vectors in polar form

Complex numbers can be shown as vectors, not just as points in Cartesian coordinates. In polar form, a vector is described by its magnitude, or length, and its angle. This makes complex numbers easier to compare by size and direction.

The same idea also helps describe complex functions. When a complex number goes into a function, the output is another complex number. The function can be viewed as having a zero point, and the vector picture starts from that point.

For a function written as a product of complex factors in the numerator divided by a product of complex factors in the denominator, each factor can be treated like a vector. The magnitude of the function at any point is found by multiplying the lengths of the vectors from the zeros and dividing by the lengths of the vectors from the poles. A zero is a point where the function can start, and a pole is a point where the denominator creates a special point in the function.

The angle of the function is found in a similar way. It is the sum of the angles from the zeros minus the sum of the angles from the poles. These angles are measured from the positive real axis to the vectors drawn from each zero or pole to the point of interest.

To solve the function at a specific point, vectors are drawn from every zero and pole to that point. Their magnitudes and angles are then used to calculate the value of the function. By replacing the function with these vector equations, both the magnitude and angle at the chosen point can be found.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form

control system problem

Root Locus and Closed-Loop Stability

Root locus and closed-loop stability are key ideas in control systems. A basic thermostat is an open-loop system, so its transfer function poles affect the response but do not set stability. When feedback is added, the system becomes closed-loop, like an advanced thermostat that changes heating based on room temperature. In a closed-loop system, stability depends on the new poles of the closed-loop transfer function. If those poles move into the unstable region, the system can start to...

vector representation of complex numbers

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root-locus method

Cruise Control Stability with Root Locus

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properties of the root locus

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construction of root locus

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Learn how complex numbers can be treated as vectors in polar form, and how zeros, poles, magnitude, and angle help evaluate complex functions.

Complex Numbers as Vectors in Polar Form | JoVE K12

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Complex Numbers as Vectors in Polar Form

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