Name: wave speed on lossless transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:41.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

Les lignes électriques observées le long des rues peuvent être modélisées comme une ligne de transmission monophasée, à deux fils et sans perte.
Considérons une section de ligne caractérisée par une inductance série et une capacité de shunt, avec une directionnalité de l’émetteur à l’extrémité réceptrice.
En utilisant les lois de Kirchhoff, les équations de la tension et du courant sont écrites et divisées par Delta x. Lorsque Delta x tend vers zéro, des équations impliquant des dérivées partielles sont dérivées puisque la position et le temps sont des variables.
Les transformées de Laplace sont appliquées en supposant des conditions initiales nulles et en simplifiant les dérivées à une seule variable.
En les différenciant, on obtient des équations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec des solutions respectives. La vitesse est fonction des valeurs d’inductance et de capacité.
En prenant des transformées de Laplace inverses et en appliquant un décalage temporel, on obtient des fonctions représentant des ondes de tension et de courant. Ces expressions représentent les ondes qui se déplacent vers l’avant et vers l’arrière.
Pour évaluer les constantes, les solutions sont substituées dans l’équation du second ordre.
Les coefficients des fonctions exponentielles des deux côtés sont équivalents, ce qui donne les courants avant et arrière en termes de tensions directe et arrière, respectivement, et d’impédance caractéristique.

lignes de transmission : fonctionnement transitoire

Traveling Waves: Lossless Lines

Le contenu fourni explore le comportement des ondes progressives sur les lignes de transmission sans perte monophasées. Il commence par une ligne de transmission sans perte monophasée à deux fils de longueur Δ_x, caractérisée par une inductance de boucle LH/m et une capacité ligne à ligne C F/m. Ces paramètres donnent une inductance série LΔ_x et une capacité shunt CΔ_x.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_figure_001.svg" style="height: 125px;">

La tension v(x,t) et le courant i(x,t) à n'importe quelle position x et à n'importe quel moment t sur la ligne sont exprimés à l'aide de la loi de tension de Kirchhoff (KVL) et de la loi de courant de Kirchhoff (KCL).

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_1v2.svg" style="height: 70px;">

Lorsque Δ_x se rapproche de zéro, des équations aux dérivées partielles apparaissent, capturant les relations entre la tension, le courant et leurs taux de variation par rapport au temps et à la position. Des transformées de Laplace sont appliquées pour convertir ces équations aux dérivées partielles en équations différentielles ordinaires, en supposant des conditions initiales nulles.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_2v2.svg" style="height: 70px;">

Les solutions à ces équations révèlent que la vitesse des ondes progressives dépend de l’inductance et de la capacité par unité de longueur de la ligne de transmission.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_3v4.svg" style="height: 30px;">

Ces solutions décrivent les ondes directes et inverses ; les ondes directes se déplacent dans la direction x positive et les ondes inverses se déplacent dans la direction x négative. La solution intègre un décalage temporel et produit des fonctions qui décrivent la tension et le courant comme des sommes d'ondes directes et inverses. Ces ondes se déplacent dans des directions opposées le long de la ligne de transmission, influencées par l'inductance et la capacité de la ligne. Ces expressions conduisent à l'impédance caractéristique de la ligne, une fonction de l'inductance et de la capacité par unité de longueur.

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16175/16175_PT_Equation_4v4.svg" style="height: 30px;">

Ce paramètre est crucial pour comprendre comment les ondes se propagent le long de la ligne et interagissent avec les terminaisons à chaque extrémité.

Lignes de transmission : fonctionnement transitoire

Les lignes électriques observées le long des rues peuvent être modélisées comme une ligne de transmission monophasée, à deux fils et sans perte.
Considérons une section de ligne caractérisée par une série ...

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Transmission Lines: Transient Operation

Lignes de transmission : régime transitoire

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

wave speed on lossless transmission lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx.

Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation. Kirchhoff’s Current Law, or KCL, is used for the current relation. As Δx becomes very small, these relations turn into partial differential equations that link voltage and current to their changes in time and position.

Laplace transforms are then applied to these equations. This step assumes zero initial conditions and converts the partial differential equations into ordinary differential equations. The solutions show that wave speed depends on the inductance and capacitance per unit length of the transmission line. The voltage and current can be written as sums of forward and backward traveling waves.

The forward wave moves in the positive x-direction. The backward wave moves in the negative x-direction. A time shift appears in the solution, which helps describe how the waves travel along the line. These expressions also lead to the characteristic impedance, which depends on the line inductance and capacitance per unit length and helps describe how the waves interact with terminations at each end.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines

wave-speed-on-lossless-transmission-lines

traveling waves: lossless lines

Traveling waves on a lossless transmission line are shaped by the line’s inductance and capacitance. The model starts with a single-phase, two-wire line of length Δx. It has loop inductance L H/m and line-to-line capacitance C F/m. A short section of the line can then be treated as a series inductance LΔx and a shunt capacitance CΔx. Voltage v(x,t) and current i(x,t) are written for any position x and time t along the line. Kirchhoff’s Voltage Law, or KVL, is used for the voltage relation.

boundary conditions: lossless lines

Transmission Line Reflections at Both Ends

Single-phase, two-wire, lossless transmission lines show how voltage and current waves reflect at both ends of a circuit. In this model, the line has a length, a surge impedance, and a wave velocity. These are set by the line’s inductance and capacitance per unit length. A home electrical wiring system can be treated this way in a simple circuit model. At the receiving end, the boundary condition says that the voltage equals the receiving-end impedance times the current. This relationship is...

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Tracing Transient Waves with a Bewley Diagram

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key terms and concepts

Learn how inductance and capacitance set wave speed on a lossless transmission line, and how forward and backward waves lead to characteristic impedance.

Wave Speed on Lossless Transmission Lines | JoVE K12

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Wave Speed on Lossless Transmission Lines

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