Name: vector components and direction
Uploaded: 2025-11-26T05:44:17.000Z
Duration: 1 min 30 s
Channel: JoVE

Les vecteurs possèdent à la fois une amplitude et une direction. L’amplitude indique l’intensité, tandis que la direction spécifie l’orientation dans l’espace. Par exemple, la vitesse d’une voiture de 50 km/h vers l’est est est un vecteur, définissant sa vitesse et la direction de son mouvement.Les vecteurs sont représentés par des segments de ligne dirigés d’un point initial à un point terminal, indiqués par des lettres en gras ou une flèche en haut. Une demi-flèche sur le dessus est également couramment utilisée ; Les deux conventions sont valides.Deux vecteurs sont considérés comme égaux lorsqu’ils ont la même amplité, ce qui indique la force, et la même direction.L’addition de vecteurs consiste à positionner le point initial d’un vecteur au point terminal de l’autre pour former la résultante. Alternativement, si les deux vecteurs proviennent du même point, leur somme est représentée par la diagonale du parallélogramme qu’ils forment, à partir de ce même point.La soustraction de vecteurs implique l’ajout du négatif d’un vecteur, ce qui inverse la direction du vecteur. Le résultat est représenté par la diagonale du parallélogramme, allant du point terminal du vecteur soustrait au point terminal de l’autre vecteur.Dans le plan de coordonnées, les vecteurs sont représentés par des paires ordonnées de composants horizontaux et verticaux, généralement entourés de chevrons.

vecteurs

Vectors

Les vecteurs sont des entit&#233;s math&#233;matiques caract&#233;ris&#233;es &#224; la fois par leur norme et leur direction. Contrairement aux scalaires, qui sont d&#233;finis uniquement par leur norme, les vecteurs repr&#233;sentent des quantit&#233;s comme le d&#233;placement, la vitesse et la force, o&#249; la direction est essentielle. Les vecteurs sont repr&#233;sent&#233;s graphiquement par des segments de droite orient&#233;s, s&#8217;&#233;tendant d&#8217;un point initial &#224; un point terminal, g&#233;n&#233;ralement not&#233;s en caract&#232;res gras ou surmont&#233;s d&#8217;une fl&#232;che. Deux vecteurs sont consid&#233;r&#233;s comme &#233;gaux s&#8217;ils ont la m&#234;me norme et la m&#234;me direction, ind&#233;pendamment de leur point d&#8217;origine.L&#8217;addition de vecteurs consiste &#224; placer le point initial d&#8217;un vecteur au point terminal d&#8217;un autre. Si les vecteurs partent du m&#234;me point, leur somme est la diagonale du parall&#233;logramme form&#233;. La soustraction de vecteurs consiste &#224; additionner l&#8217;oppos&#233; du second vecteur. G&#233;om&#233;triquement, la diff&#233;rence forme la diagonale oppos&#233;e du parall&#233;logramme.La multiplication d&#8217;un vecteur par un scalaire affecte sa norme, en l&#8217;augmentant ou en la diminuant. Un scalaire n&#233;gatif inverse la direction du vecteur. Par exemple, si le vecteur v est multipli&#233; par &#8722;2, le vecteur r&#233;sultant pointe dans la direction oppos&#233;e et est deux fois plus long.Les vecteurs sont repr&#233;sent&#233;s par des paires ordonn&#233;es de leurs composantes horizontales et verticales. Si un vecteur v est repr&#233;sent&#233; dans le plan avec un point initial A&#12296;x_1, y_1&#12297; et un point terminal B&#12296;x_2, y_2&#12297;, alors le vecteur v peut s&#8217;&#233;crire&#160;:<figure class='image image-style-align-center' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;'><img style='aspect-ratio:1920/80;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40084/40084_Equation_1_editor_40084.svg' alt='40084_Equation_1.svg' /></figure>La norme d&#8217;un vecteur v = &#12296;a, b&#12297; est d&#233;duite du th&#233;or&#232;me de Pythagore&#160;:<figure class='image image-style-align-center' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;'><img style='aspect-ratio:1920/91;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40084/40084_Equation_2_editor_40084.svg' alt='40084_Equation_2.svg' /></figure>Les vecteurs peuvent &#233;galement &#234;tre exprim&#233;s comme des combinaisons lin&#233;aires de vecteurs unitaires. Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1, g&#233;n&#233;ralement not&#233; i pour la composante horizontale et j pour la composante verticale. Un vecteur v peut s&#8217;&#233;crire ainsi&#160;:<figure class='image image-style-align-center' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;'><img style='aspect-ratio:1920/75;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40084/40084_Equation_3_editor_40084.svg' alt='40084_Equation_3.svg' /></figure>Ici, a et b sont respectivement les composantes horizontales et verticales. Ces composantes peuvent &#233;galement &#234;tre d&#233;riv&#233;es de la norme et de l&#8217;angle directeur &#952; du vecteur :<figure class='image image-style-align-center image_resized' style='display:table;margin-left:auto;margin-right:auto;width:75%;'><img style='aspect-ratio:1920/219;' src='https://cloudfront.jove.com/files/ftp_upload/40084/40084_Equation_4_editor_40084.svg' alt='40084_Equation_4.svg' /></figure>Cette repr&#233;sentation simplifie les calculs impliquant l&#8217;addition, la soustraction et la multiplication de vecteurs, notamment lorsqu&#8217;il s&#8217;agit de composantes vectorielles dans le plan cart&#233;sien.

Vecteurs

Les vecteurs sont des entit&#233;s math&#233;matiques caract&#233;ris&#233;es &#224; la fois par leur norme et leur direction. Contrairement aux ...

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Polar Coordinates and Vectors

Coordonnées polaires et vecteurs

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

vector components and direction

Vectors describe quantities with both magnitude and direction. This makes them different from scalars, which have magnitude only. Common examples include displacement, velocity, and force, where direction matters.

A vector is shown as a directed line segment from an initial point to a terminal point. It may also be written with bold letters or with an arrow above the symbol. Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction, even when they start in different places.

Vector addition uses tip-to-tail placement. One vector is moved so its initial point begins at the terminal point of another vector. If both vectors start at the same point, their sum is the diagonal of the parallelogram they form.

Vector subtraction is done by adding the negative of the second vector. Geometrically, the difference is the opposite diagonal of the same parallelogram. Multiplying a vector by a scalar changes its length, so the vector can stretch or shrink. A negative scalar also reverses the direction. For example, multiplying vector v by -2 makes the new vector point the opposite way and makes it twice as long.

Vectors can be written as ordered pairs of horizontal and vertical components. If a vector has initial point A⟨x1, y1⟩ and terminal point B⟨x2, y2⟩, it can be expressed from those coordinates. The magnitude of v = ⟨a, b⟩ is found with the Pythagorean theorem.

Vectors can also be written with unit vectors. A unit vector has length one. The standard unit vectors are i for the horizontal direction and j for the vertical direction. In this form, v = ai + bj, where a and b are the horizontal and vertical components.

Those components can also be found from the vector’s magnitude and direction angle θ. This component form makes vector addition, subtraction, and scalar multiplication easier in the Cartesian plane. It is especially useful when working with vectors through their horizontal and vertical parts.

Vector Components and Direction

polar coordinates

Plotting Points with Polar Coordinates

Polar coordinates give a way to plot points in a plane using distance and angle. Instead of x and y values, this system uses a radial distance and an angular direction. It is especially useful for problems with circular or rotational symmetry, including waves, oscillations, and orbital paths in physics and engineering. A point in polar form is written as P(r, θ). The value r is the distance from the pole, which plays the same role as the origin in the Cartesian plane. The angle θ is measured...

graphs of polar equations

Polar Curves: Circles, Roses, and Limacons

Polar equations can be used to graph curves with radial symmetry or repeating patterns. In the polar coordinate system, a point is described by its distance from the pole, or central point, and by an angle from the polar axis, or reference direction. This format is different from rectangular coordinates and is especially useful for certain curve shapes. A circle centered at the pole appears when the radius stays constant as the angle changes. A line through the pole appears when the angle...

vectors

Vectors describe quantities with both magnitude and direction. This makes them different from scalars, which have magnitude only. Common examples include displacement, velocity, and force, where direction matters. A vector is shown as a directed line segment from an initial point to a terminal point. It may also be written with bold letters or with an arrow above the symbol. Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction, even when they start in different places. Vector...

the dot product

Dot Product From Direction and Angle

The dot product measures how much one vector acts along another vector’s direction. Vectors are quantities with both size and direction. This calculation gives one number that shows how aligned two vectors are. One way to find the dot product is to combine the horizontal parts and the vertical parts of the two vectors. The matching parts are multiplied, and the results are added together. This form shows why the value depends on both direction and strength. The dot product becomes larger when...

key terms and concepts

Learn how vectors use magnitude, direction, components, unit vectors, and the parallelogram rule for addition, subtraction, and scalar multiplication.

Vector Components and Direction | JoVE K12

The JoVE Math Fundamentals collection is designed to build a deep and comprehensive understanding of essential mathematics. Covering the foundations of algebra, geometry, trigonometry, and analytic reasoning, this course establishes a strong base for future studies. The collection connects core mathematical concepts with real-world practice, equipping learners to solve complex problems, master problem-solving skills, and apply abstract ideas.

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Vector Components and Direction

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